שאלות פתוחות: הפונקציה y=aˣ: תחום, חיתוך עם ציר ה-y, אסימפטוטה ועלייה או ירידה - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על הפונקציה y=aˣ - תחום, חיתוך עם ציר ה-y, אסימפטוטה ועלייה או ירידה - לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מוצאים את הבסיס מתוך נתון על ערכי הפונקציה, מחשבים שיעורים של נקודות על הגרף, קובעים לאילו ערכי פרמטר הפונקציה עולה או יורדת, ובודקים מספר נקודות חיתוך עם פרבולה. יש גם שאלות חקירה של מכפלת ביטוי ב-e בחזקה. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. המורה יכול לבחור שאלות לבוחן או למבחן, לקבל פתרון מלא ולייצא לוורד.

26 שאלותקלה: 7בינונית: 16קשה: 3

שאלה 1 · הפונקציה y=aˣ: תחום, חיתוך עם ציר ה-y, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax, כאשר a>0a>0a>0 ו-a≠1a\neq1a=1. נתון כי f(2)⋅f(3)=32f(2)\cdot f(3)=32f(2)⋅f(3)=32.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את תחום ה-xxx שבו 0<f(x)<10<f(x)<10<f(x)<1.

שאלה 2 · הפונקציה y=aˣ: תחום, חיתוך עם ציר ה-y, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax, כאשר a>1a>1a>1. הנקודה AAA היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy, והנקודה BBB נמצאת על הגרף ושיעור ה-xxx שלה הוא 222. שיפוע הישר ABABAB הוא 444.
y=f(x)
AB

מצאו את aaa.

שאלה 3 · הפונקציה y=aˣ: תחום, חיתוך עם ציר ה-y, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax, a>1a>1a>1. הנקודות AAA ו-BBB נמצאות על גרף הפונקציה, ושיעור ה-xxx של BBB חיובי. אמצע הקטע ABABAB נמצא על ציר ה-yyy, ושיעור ה-yyy שלו הוא 54\frac5445​. שיפוע הישר ABABAB הוא 34\frac3443​.

מצאו את aaa ואת שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

שאלה 4 · הפונקציה y=aˣ: תחום, חיתוך עם ציר ה-y, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=2xf(x)=2^xf(x)=2x ו-g(x)=−x2+2x−1g(x)=-x^2+2x-1g(x)=−x2+2x−1.

הראו כי גרפי הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) אינם נחתכים.

שאלה 5 · הפונקציה y=aˣ: תחום, חיתוך עם ציר ה-y, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(m−1m+2)xf(x)=\left(\frac{m-1}{m+2}\right)^xf(x)=(m+2m−1​)x, כאשר mmm פרמטר.

א.

מצאו את ערכי mmm שעבורם f(x)f(x)f(x) היא פונקציה מעריכית יורדת.

ב.

מצאו את ערכי mmm שעבורם f(x)f(x)f(x) היא פונקציה מעריכית יורדת וגם מתקיים f(−2)>4f(-2)>4f(−2)>4.

שאלה 6 · חקירה עם פרמטר: מקום נקודות הקיצון ופרמטר משטחשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(a−2x)⋅e2xf(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}f(x)=(a−2x)⋅e2x, המוגדרת לכל xxx. aaa הוא פרמטר, a>2a>2a>2.

א.

מצאו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

הראו כי לכל ערך של aaa, נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) נמצאת על גרף הפונקציה h(x)=e2xh(x)=e^{2x}h(x)=e2x.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=2e2xg(x)=2e^{2x}g(x)=2e2x. הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם גרף g(x)g(x)g(x). דרך A העבירו אנך לציר ה-xxx.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), על ידי האנך, על ידי ציר ה-xxx ועל ידי ציר ה-yyy.

ד.

מצאו את הערך של aaa שעבורו השטח שבסעיף ג שווה ל-2, ומצאו עבורו את שיעורי הנקודה A.

שאלה 7 · הפונקציה y=aˣ: תחום, חיתוך עם ציר ה-y, אסימפטוטה ועלייה או ירידהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(m−2)xf(x)=(m-2)^xf(x)=(m−2)x, כאשר mmm פרמטר.

א.

מצאו את ערכי mmm שעבורם f(x)f(x)f(x) היא פונקציה מעריכית.

ב.

מצאו את ערכי mmm שעבורם f(x)f(x)f(x) היא פונקציה מעריכית יורדת.

שאלה 8 · חקירת הפונקציה (x+a)e⁻ˣ והזזה אנכית עד השקה לצירשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x+a)e−xf(x)=(x+a)e^{-x}f(x)=(x+a)e−x. לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=2x=2x=2.

א.

חשבו את aaa.

הציבו a=−1a=-1a=−1 וענו על הסעיפים ב-ג.

ב.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

(4)

מצאו את התחום שבו הפונקציה f(x)f(x)f(x) חיובית.

(5)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k. נתון כי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx.

מצאו את kkk. נמקו.

שאלה 9 · פונקציה מעריכית יורדת: בסיס מהפרש ערכים ושתי נקודות על הגרףשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax, כאשר 0<a<10<a<10<a<1. נתון כי f(−1)−f(1)=83f(-1)-f(1)=\frac83f(−1)−f(1)=38​.

א.

מצאו את aaa, וקבעו אם הפונקציה f(x)f(x)f(x) עולה או יורדת.

ב.

הנקודות AAA ו-BBB נמצאות על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x). שיעור ה-xxx של BBB גדול ב-222 משיעור ה-xxx של AAA, ושיעור ה-yyy של AAA גדול ב-888 משיעור ה-yyy של BBB. מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ג.

מצאו את ערכי xxx שעבורם f(x)−f(x+2)>8f(x)-f(x+2)>8f(x)−f(x+2)>8.

שאלה 10 · חקירת הפונקציה (x−4)eˣשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)exf(x)=(x-4)e^xf(x)=(x−4)ex.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=(x−3)exf'(x)=(x-3)e^xf′(x)=(x−3)ex, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ג.

מצאו את התחום שבו f(x)f(x)f(x) חיובית, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. נתון: כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞, f(x)→0f(x)\to0f(x)→0.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k. מצאו את kkk שעבורו גרף g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx. היעזרו בנקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x).

עוד 10 שאלות על הפונקציה y=aˣ: תחום, חיתוך עם ציר ה-y, אסימפטוטה ועלייה או ירידה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-5$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(6-2x)\cdot e^{x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-4)^2$ , המוגדרת לכל $x$ .
הפונקציות eˣ ו-9−2eˣ: חקירה ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונות שתי הפונקציות: $f(x)=e^x$ , $g(x)=9-2e^x$ .
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה- $x$ שלה חיובי. לפניכם שני…
מציאת הבסיס של פונקציה מעריכית ממכפלת ערכים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=a^x$ , כאשר $a>0$ ו- $a\neq1$ . נתון כי $f(2)\cdot f(3)=32$ .
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (מעריך 3x-2) (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-6x)\cdot e^{3x-2}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
חקירת מכפלה של שני גורמים מעריכיים, ושטח מתחת לגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-e^{x})\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
הפונקציות eˣ+1 ו-7−2eˣ: חקירה, חיתוך ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות שתי הפונקציות: $f(x)=e^x+1$ , $g(x)=7-2e^x$ .
פונקציה מעריכית עולה: בסיס, תכונות הגרף ואי-שוויון (שאלת ביניים · בינונית)
גרף הפונקציה $f(x)=a^x$ , כאשר $a>0$ ו- $a\ne1$ , עובר דרך הנקודה $\left(-2,\frac{1}{25}\right)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת הפונקציה (x+a)eˣ והזזה אנכית עד השקה לציר · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 3
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^x$ . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=1$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-3$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-6)^2$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 4
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה- $x$ שלה חיובי. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-4x)\cdot e^{2x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{16}{e}$ .
הפונקציות eˣ ו-4−eˣ: חקירה, חיתוך ושטח עם הצירים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 4
נתונות שתי הפונקציות: $f(x)=e^x$ , $g(x)=-e^x+4$ .