שאלות פתוחות: פירמידה ישרה ותכונת הגובה - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על פירמידה ישרה ותכונת הגובה לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מחשבים גובה ומקצועות בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, משולש שווה שוקיים עם זווית של 120 מעלות או משושה משוכלל, ומשתמשים בכך שכאשר המקצועות הצדדיים שווים הגובה יורד למרכז המעגל החוסם. יש גם פירמידות שהקודקודים שלהן נתונים בשיעורים במרחב. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מכאן מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

22 שאלותקלה: 7בינונית: 11קשה: 4

שאלה 1 · פירמידה ישרה ותכונת הגובהשאלה קצרה · קלה

בפירמידה ישרה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ריבוע ABCDABCDABCD, אורך צלע הבסיס הוא 626\sqrt262​ ס"מ ואורך מקצוע צדדי הוא 101010 ס"מ.

א.

מצאו את גובה הפירמידה.

ב.

נסמן ב-OOO את מפגש אלכסוני הבסיס. מצאו את הזווית בין המקצוע הצדדי SASASA לקטע OAOAOA.

שאלה 2 · פירמידה ישרה ותכונת הגובהשאלה קצרה · בינונית

בסיס הפירמידה הישרה SABCSABCSABC הוא משולש שווה שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) שבו ∠BAC=120∘\angle BAC=120^\circ∠BAC=120∘. גובה הפירמידה הוא 888 ס"מ, ואורך המקצוע הצדדי 101010 ס"מ.

א.

מצאו את רדיוס המעגל החוסם את בסיס הפירמידה.

ב.

מצאו את אורכי הצלעות של המשולש ABCABCABC.

שאלה 3 · פירמידה ישרה במערכת צירים: מציאת הקודקוד ונקודה על הגובהשאלה מלאה · קשה

בפירמידה המשולשת SABOSABOSABO הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xxx וציר ה-yyy בהתאמה, ו-OOO היא ראשית הצירים. נתון: AO=6AO=6AO=6, BO=8BO=8BO=8. כל המקצועות הצדדיים של הפירמידה שווים ל-13, והקודקוד SSS נמצא מעל מישור xyxyxy.
OABSxyz

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד SSS.

ב.

חשבו את נפח הפירמידה.

ג.

הנקודה DDD היא אמצע המקצוע ABABAB, והנקודה PPP נמצאת על הקטע DSDSDS.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP שעבורה ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ∠APB=90∘.

ד.

האם יש על הקטע DSDSDS נקודה PPP שעבורה ∠OPA=90∘\angle OPA=90^\circ∠OPA=90∘? נמקו.

שאלה 4 · פירמידה במערכת צירים: גובה ונפחשאלה מלאה · קלה

בפירמידה המשולשת SABOSABOSABO הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xxx וציר ה-yyy בהתאמה, ו-OOO היא ראשית הצירים. נתון: AO=4AO=4AO=4, BO=6BO=6BO=6, ושיעורי הנקודה SSS הם (2,3,4)(2,3,4)(2,3,4). הנקודה DDD היא אמצע המקצוע ABABAB.
OABSDxyz

א.

רשמו את שיעורי הנקודות AAA, BBB ו-DDD.

ב.

חשבו את אורכי המקצועות SASASA, SBSBSB ו-SOSOSO. מה אפשר להסיק על הפירמידה?

ג.

הראו כי DS→⊥OA→\overrightarrow{DS}\perp\overrightarrow{OA}DS⊥OA ו-DS→⊥OB→\overrightarrow{DS}\perp\overrightarrow{OB}DS⊥OB, והסבירו מדוע DSDSDS הוא גובה הפירמידה.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה.

ה.

חשבו את גודל הזווית SODSODSOD בעזרת הווקטורים OS→\overrightarrow{OS}OS ו-OD→\overrightarrow{OD}OD.

שאלה 5 · פירמידה ישרה ותכונת הגובהשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה SABCDSABCDSABCD הבסיס ABCDABCDABCD הוא מלבן שבו AB=6AB=6AB=6 ו-BC=8BC=8BC=8. נתון: SA=SB=SC=13SA=SB=SC=13SA=SB=SC=13.

א.

הוכיחו כי הפירמידה ישרה, כלומר גם SD=13SD=13SD=13.

ב.

מצאו את גובה הפירמידה.

שאלה 6 · פירמידה ישרה: מהנפח לקודקוד, וזווית ראש לפי גובהשאלה מלאה · קשה

נתונות הנקודות A(1,0,2)A(1,0,2)A(1,0,2), B(3,4,2)B(3,4,2)B(3,4,2) ו-D(−3,2,2)D(-3,2,2)D(−3,2,2). הנקודה CCC נבחרת כך ש-ABCDABCDABCD הוא מקבילית.
SABCD

א.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC, והוכיחו כי ABCDABCDABCD הוא ריבוע.

ב.

הנקודה SSS היא קודקוד הראש של פירמידה ישרה SABCDSABCDSABCD שנפחה 40, והיא נמצאת מעל מישור הבסיס (שיעור ה-zzz שלה גדול מ-2).

מצאו את שיעורי הנקודה SSS.

ג.

חשבו את גודל הזווית ASCASCASC.

ד.

פירמידה ישרה TABCDTABCDTABCD בנויה על אותו בסיס, והקודקוד TTT נמצא מעל מישור הבסיס. נתון כי הזווית ATCATCATC ישרה. מצאו את גובה הפירמידה TABCDTABCDTABCD.

שאלה 7 · פירמידה ישרה עם בסיס ריבועי: מהוכחה לנפח ולזוויתשאלה מלאה · קלה

בפירמידה מרובעת SABCDSABCDSABCD קודקוד הראש הוא S(3,3,6)S(3,3,6)S(3,3,6) וקודקודי הבסיס הם A(1,1,0)A(1,1,0)A(1,1,0), B(5,1,0)B(5,1,0)B(5,1,0), C(5,5,0)C(5,5,0)C(5,5,0), D(1,5,0)D(1,5,0)D(1,5,0).
SABCD

א.

הראו כי AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}AB=DC, כי AB→⊥BC→\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}AB⊥BC וכי ∣AB→∣=∣BC→∣|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|∣AB∣=∣BC∣. מה ניתן להסיק על המרובע ABCDABCDABCD?

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה MMM, מפגש האלכסונים של הבסיס.

ג.

הראו כי SA=SB=SC=SDSA=SB=SC=SDSA=SB=SC=SD. מה ניתן להסיק על הפירמידה?

ד.

נתון כי SMSMSM הוא גובה הפירמידה.

חשבו את נפח הפירמידה.

ה.

חשבו את גודל הזווית SBMSBMSBM.

שאלה 8 · פירמידה ישרה ותכונת הגובהשאלה קצרה · בינונית

בסיס הפירמידה הישרה SABCDEFSABCDEFSABCDEF הוא משושה משוכלל ABCDEFABCDEFABCDEF שאורך צלעו 444. נתון: ∠ASD=90∘\angle ASD=90^\circ∠ASD=90∘.

א.

מצאו את גובה הפירמידה.

ב.

נסמן ב-OOO את מרכז הבסיס. מצאו את הזווית בין המקצוע הצדדי SASASA לקטע OAOAOA.

שאלה 9 · הוכחה שפירמידה שבסיסה מלבן היא ישרהשאלה קצרה · קשה

בפירמידה SABCDSABCDSABCD הבסיס ABCDABCDABCD הוא מלבן שבו AB=6AB=6AB=6 ו-BC=8BC=8BC=8. נתון: SA=SB=SC=13SA=SB=SC=13SA=SB=SC=13.
ABCDS

הוכיחו כי הפירמידה ישרה, כלומר גם SD=13SD=13SD=13.

שאלה 10 · גובה של פירמידה ישרה שבסיסה ריבועשאלה קצרה · קלה

בפירמידה ישרה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ריבוע ABCDABCDABCD, אורך צלע הבסיס הוא 626\sqrt262​ ס"מ ואורך מקצוע צדדי הוא 101010 ס"מ.
ABCDS

מצאו את גובה הפירמידה.

עוד 6 שאלות על פירמידה ישרה ותכונת הגובה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פירמידה במערכת צירים: בסיס במישור xz (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $z$ בהתאמה (ראו ציור). הנקודה $O$ היא ראשית הצירים.…
עקב הגובה בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה שוקיים (שאלת ביניים · קשה)
בסיס הפירמידה הישרה $SABC$ הוא משולש שווה שוקיים $ABC$ , שבו $AB=AC=15$ ס"מ ו- $BC=18$ ס"מ. $O$ הוא עקב הגובה של הפירמידה, ו- $D$ היא אמצע הצלע…
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: בסיס ישר-זווית וגובה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 6. נתון: $\angle ASB=\angle ASC=60^\circ$ ,…
פירמידה ישרה בהצגה אלגברית: בסיס ריבועי משופע (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(2,2,5)$ וקודקודי הבסיס הם $A(1,0,1)$ , $B(4,1,1)$ , $C(3,4,1)$ , $D(0,3,1)$ .
גובה של פירמידה ישרה שבסיסה משושה משוכלל (שאלה קצרה · בינונית)
בסיס הפירמידה הישרה $SABCDEF$ הוא משושה משוכלל $ABCDEF$ שאורך צלעו $4$ . נתון: $\angle ASD=90^\circ$ .
פירמידה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית (שאלת ביניים · בינונית)
בסיס הפירמידה הישרה $SABC$ הוא המשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle ACB=90^\circ$ ), שבו $AC=16$ ס"מ ו- $BC=12$ ס"מ. אורך כל מקצוע צדדי של…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פירמידה במערכת צירים: פירמידה ישרה, גובה, נפח וזווית · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 2
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ בהתאמה (ראה ציור). הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $BO=4$ , $AO=2$ .…
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: מכפלות סקלריות, ניצבות למישור ונפח · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 1
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3. נתון: $\angle ASB=\angle BSC=\angle ASC=30^\circ$ . נסמן:…
פירמידה ישרה בהצגה אלגברית: ריבוע, גובה, נפח וזווית · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(-2,3,3)$ וקודקודי הבסיס הם $A(-3,2,1)$ , $B(-3,4,1)$ , $C(-1,4,1)$ , $D(-1,2,1)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פירמידה ישרה: גובה, גובה הפאה ואלכסון הבסיס בעזרת משפט פיתגורס (שאלה קצרה · קלה)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה ריבוע $ABCD$ . אורך צלע הבסיס הוא 12 ס"מ, וגובה הפירמידה $SO$ הוא 8 ס"מ. $F$ …
פירמידה: אוהל ילדים (שאלה מלאה · קלה)
אוהל משחק לילדים בנוי בצורת פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה ריבוע (ראו סרטוט). אורך כל צלע של ריבוע הבסיס הוא 1.6…
נרות: ממד מיחס, מארזים, ציפוי ושינוי ממדים (שאלה מלאה · קלה)
נויה מכינה נרות בשני סוגים של תבניות: נר מסוג א' בצורת קובייה, ונר מסוג ב' בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע.…