שאלות פתוחות: מנסרה ישרה - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על מנסרה ישרה לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מחשבים אורכים, זוויות ושטחים במנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית או מקבילית, מוצאים את הגובה כשהוא לא ידוע מתוך זווית או שטח של משולש בתוך המנסרה, ומשתמשים באלכסוני פאות צדדיות. יש גם שאלה שבה הקודקודים נתונים בשיעורים. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. מורים יכולים לבחור מכאן שאלות למבחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

23 שאלותקלה: 5בינונית: 14קשה: 4

שאלה 1 · מנסרה ישרהשאלה קצרה · קלה

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ הבסיס ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠C=90∘\angle C=90^\circ∠C=90∘) שניצביו AC=3AC=3AC=3 ס"מ ו-BC=4BC=4BC=4 ס"מ, וגובה המנסרה הוא 555 ס"מ.
ABCA'B'C'

א.

מצאו את אורך האלכסון A′BA'BA′B של הפאה ABB′A′ABB'A'ABB′A′.

ב.

מצאו את הזווית בין האלכסון A′BA'BA′B למקצוע הבסיס ABABAB.

שאלה 2 · מנסרה ישרהשאלה קצרה · בינונית

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ הבסיס ABCABCABC הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים שבו ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘ ו-AB=AC=5AB=AC=5AB=AC=5 ס"מ. נתון כי ∠BA′C=60∘\angle BA'C=60^\circ∠BA′C=60∘.

א.

הוכיחו כי המשולש BA′CBA'CBA′C שווה צלעות.

ב.

מצאו את גובה המנסרה.

שאלה 3 · מנסרה ישרה: איפה על המקצוע הזווית ישרה ומה גובה המנסרהשאלה מלאה · קשה

נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=5AB=5AB=5, AD=22AD=2\sqrt2AD=22​, ∠BAD=45∘\angle BAD=45^\circ∠BAD=45∘. גובה המנסרה אינו ידוע. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע DCDCDC ושונה מ-DDD, כך ש-DE→=t⋅DC→\overrightarrow{DE}=t\cdot\overrightarrow{DC}DE=t⋅DC, כאשר 0<t≤10<t\le10<t≤1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​.
uvwABCDA'B'C'D'E

א.

חשבו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​ ו-v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​. נמקו.

ב.

נתון כי הזווית D′EBD'EBD′EB ישרה. מצאו את ttt, והסבירו מדוע התשובה אינה תלויה בגובה המנסרה.

ג.

עבור הערך של ttt שמצאתם בסעיף ב, חשבו את אורך הקטע EBEBEB.

ד.

נתון כי עבור הערך של ttt שמצאתם בסעיף ב, שטח המשולש D′EBD'EBD′EB הוא 353\sqrt535​.

מצאו את גובה המנסרה.

שאלה 4 · מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: זווית ונפחיםשאלה מלאה · קלה

במנסרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ נתונים הקודקודים: A(1,0,2)A(1,0,2)A(1,0,2), B(3,2,2)B(3,2,2)B(3,2,2), C(3,4,4)C(3,4,4)C(3,4,4), D(1,2,4)D(1,2,4)D(1,2,4), D′(4,−1,7)D'(4,-1,7)D′(4,−1,7).
ABCDA'B'C'D'

א.

הראו כי AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}AB=DC וכי ∣AB→∣=∣AD→∣|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|∣AB∣=∣AD∣. מה ניתן להסיק על המרובע ABCDABCDABCD?

ב.

חשבו את גודל הזווית DABDABDAB.

ג.

הראו כי DD′→\vec{DD'}DD′ מאונך ל-DA→\overrightarrow{DA}DA ול-DC→\overrightarrow{DC}DC. מה ניתן להסיק על המנסרה?

ד.

חשבו את שטח הבסיס ABCDABCDABCD ואת נפח המנסרה.

ה.

הנקודה EEE היא אמצע המקצוע DD′DD'DD′. חשבו את נפח הפירמידה ABCDEABCDEABCDE.

שאלה 5 · מנסרה ישרהשאלה קצרה · בינונית

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ הבסיס ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘). נתון: AB=117AB=\sqrt{117}AB=117​ ס"מ, ואורכי האלכסונים של שתי הפאות הצדדיות הם AC′=10AC'=10AC′=10 ס"מ ו-BC′=145BC'=\sqrt{145}BC′=145​ ס"מ.

מצאו את גובה המנסרה.

שאלה 6 · מנסרה ישרה עם גובה לא ידוע: נקודה על מקצוע שיוצרת ניצבותשאלה מלאה · קשה

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ הבסיס ABCABCABC הוא משולש ישר-זווית שבו ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘, AB=2AB=2AB=2 ו-AC=23AC=2\sqrt3AC=23​. גובה המנסרה אינו ידוע. הנקודה MMM היא אמצע הצלע BCBCBC, והנקודה NNN היא אמצע המקצוע CC′CC'CC′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline vAC=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​.
uvwABCA'B'C'MN

א.

הביעו את A′M→\vec{A'M}A′M ואת MN→\overrightarrow{MN}MN באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ב.

נתון: A′M→⊥MN→\vec{A'M}\perp\overrightarrow{MN}A′M⊥MN. מצאו את גובה המנסרה.

ג.

חשבו את אורך הקטע A′MA'MA′M.

ד.

חשבו את גודל הזווית AMA′AMA'AMA′.

שאלה 7 · וקטורים במנסרה ישרה: מהבעת וקטורים לשטח משולששאלה מלאה · קלה

נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. ABCDABCDABCD מקבילית. נתון: AB=4AB=4AB=4, AD=2AD=2AD=2, AA′=3AA'=3AA′=3, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘. הנקודה EEE היא אמצע המקצוע DCDCDC. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​.
uvwABCDA'B'C'D'E

א.

הביעו את AE→\overrightarrow{AE}AE באמצעות u‾\underline uu​ ו-v‾\underline vv​.

ב.

הראו כי ED′→=−12u‾+w‾\vec{ED'}=-\frac12\underline u+\underline wED′=−21​u​+w​ ו-EB→=12u‾−v‾\overrightarrow{EB}=\frac12\underline u-\underline vEB=21​u​−v​.

ג.

חשבו את u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​ ואת u‾2\underline u^2u​2, v‾2\underline v^2v​2, w‾2\underline w^2w​2. נמקו.

ד.

חשבו את האורכים של EB→\overrightarrow{EB}EB ושל ED′→\vec{ED'}ED′.

ה.

(1)

חשבו את גודל הזווית D′EBD'EBD′EB.

(2)

חשבו את שטח המשולש D′EBD'EBD′EB.

שאלה 8 · מנסרה ישרהשאלה קצרה · בינונית

בסיס של מנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ הוא משולש ישר זווית שבו ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘, AC=6AC=6AC=6 ו-BC=10BC=10BC=10. שטח המשולש A′BCA'BCA′BC הוא 505050.

א.

הוכיחו כי המשולש A′BCA'BCA′BC ישר זווית.

ב.

מצאו את גובה המנסרה.

שאלה 9 · מנסרה ישרה: גובה משלושה קטעיםשאלה קצרה · קשה

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ הבסיס ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘). נתון: AB=117AB=\sqrt{117}AB=117​ ס"מ, ואורכי האלכסונים של שתי הפאות הצדדיות הם AC′=10AC'=10AC′=10 ס"מ ו-BC′=145BC'=\sqrt{145}BC′=145​ ס"מ.
CBAC'B'A'

מצאו את גובה המנסרה.

שאלה 10 · וקטורים במנסרה ישרה: מהבעת וקטורים לזוויתשאלה מלאה · קלה

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ הבסיסים הם משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 2, וגובה המנסרה הוא AA′=3AA'=3AA′=3. הנקודה MMM היא אמצע הצלע BCBCBC. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline vAC=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​.
uvwABCA'B'C'M

א.

הביעו את AM→\overrightarrow{AM}AM באמצעות u‾\underline uu​ ו-v‾\underline vv​.

ב.

הביעו את A′M→\vec{A'M}A′M באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ג.

חשבו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​ ו-v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​. נמקו.

ד.

הראו כי ∣AM→∣=3|\overrightarrow{AM}|=\sqrt3∣AM∣=3​.

ה.

הסבירו מדוע המשולש AMA′AMA'AMA′ ישר-זווית, וחשבו את גודל הזווית AMA′AMA'AMA′.

עוד 9 שאלות על מנסרה ישרה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(1,-1,3)$ , $B(3,1,4)$ , $C(5,2,2)$ , $D(3,0,1)$ , $D'(-2,6,-1)$ .
מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: גובה, אלכסוני המנסרה ומשולש בחתך (שאלת ביניים · קשה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. אורכי אלכסוני המעוין הם $AC=8$ ו- $BD=6$ , ואורך האלכסון $AB'$ של הפאה הצדדית…
מנסרה ישרה: אלכסון של פאה צדדית (שאלה קצרה · קלה)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר זווית ( $\angle C=90^\circ$ ) שניצביו $AC=3$ ס"מ ו- $BC=4$ ס"מ, וגובה המנסרה הוא $5$ ס"מ.
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: טענות על ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=2$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ , נפח המנסרה הוא 12. הנקודה $F$ היא…
וקטורים במנסרה משולשת ישרה: גובה המנסרה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ( $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC$ ). הנקודה $F$ נמצאת על…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית עם זווית קהה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=3$ , $AD=2$ , $AA'=3$ , $\angle BAD=120^\circ$ . הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $AB$ …
וקטורים במנסרה ישרה עם בסיס שווה-שוקיים: ניצבות וזווית (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיסים הם משולשים שווי-שוקיים שבהם $AB=AC$ ו- $\angle BAC=120^\circ$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן:…
מנסרה ישרה: הוכחה שמשולש שווה צלעות (שאלה קצרה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים שבו $\angle BAC=90^\circ$ ו- $AB=AC=5$ ס"מ. נתון כי…
מנסרה ישרה שבסיסה משושה משוכלל: גובה, אלכסונים וחתך מלבני (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDEFA'B'C'D'E'F'$ שבסיסה $ABCDEF$ הוא משושה משוכלל שאורך צלעו $3$ . אורך האלכסון $AB'$ של הפאה הצדדית $ABB'A'$ הוא $5$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 2
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(-2,4,7)$ , $B(0,5,4)$ , $C(1,3,1)$ , $D(-1,2,4)$ , $D'(-10,5,-1)$ .
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מעוין: טענות על מכפלות סקלריות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, $\angle BAD=60^\circ$ , נפח המנסרה הוא $8\sqrt3$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: אורך, זווית ושטח משולש · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 1
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=2$ , $AD=1$ , $AA'=4$ , $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $DC$ ומחלקת אותו ביחס…
וקטורים במנסרה ישרה: מפגש תיכונים, ניצבות וזווית · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 1
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיסים הם משולשים שווי צלעות. הנקודה $M$ היא מפגש התיכונים של המשולש $ABC$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ ,…