שאלות פתוחות: נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על נפח בעזרת וקטורים, כולל הוכחה שוקטור הוא גובה, לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מוכיחים שקטע מקודקוד מאונך לבסיס בעזרת מכפלה סקלרית ואז מחשבים נפח של פירמידה או מנסרה שקודקודיהן נתונים בשיעורים. יש גם שאלה שבה מוצאים את עקב הגובה במישור בסיס, ומקבילון שכל מקצועותיו שווים והזוויות בקודקוד 60 מעלות. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר לבחור מהן שאלות למבחן לקראת הבגרות, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

35 שאלותקלה: 6בינונית: 22קשה: 7

שאלה 1 · נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובהשאלה קצרה · קלה

בפירמידה SABCDSABCDSABCD הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתונים הקודקודים A(1,0,2)A(1,0,2)A(1,0,2), B(3,2,3)B(3,2,3)B(3,2,3), D(2,−2,4)D(2,-2,4)D(2,−2,4) ו-S(5,−2,−2)S(5,-2,-2)S(5,−2,−2).

הראו כי SASASA הוא גובה הפירמידה, וחשבו את נפח הפירמידה.

שאלה 2 · נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובהשאלה קצרה · בינונית

במנסרה המשולשת ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ נתונים הקודקודים A(3,4,1)A(3,4,1)A(3,4,1), B(1,2,0)B(1,2,0)B(1,2,0), C(3,−2,4)C(3,-2,4)C(3,−2,4) ו-A′(5,0,−4)A'(5,0,-4)A′(5,0,−4).

א.

הראו כי הקטע A′BA'BA′B מאונך למישור הבסיס ABCABCABC, וחשבו את אורכו.

ב.

חשבו את נפח הפירמידה A′BCC′B′A'BCC'B'A′BCC′B′, שבסיסה הפאה הצדדית BCC′B′BCC'B'BCC′B′.

שאלה 3 · נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובהשאלה קצרה · קשה

בפירמידה DABCDABCDABC נתונים הקודקודים A(1,2,0)A(1,2,0)A(1,2,0), B(3,2,1)B(3,2,1)B(3,2,1), C(1,4,1)C(1,4,1)C(1,4,1) ו-D(4,5,0)D(4,5,0)D(4,5,0). הנקודה HHH נמצאת במישור ABCABCABC, כלומר AH→=s⋅AB→+t⋅AC→\overrightarrow{AH}=s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AC}AH=s⋅AB+t⋅AC עבור מספרים sss ו-ttt, והישר DHDHDH מאונך למישור ABCABCABC.

א.

מצאו את שיעורי HHH.

ב.

חשבו את נפח הפירמידה DABCDABCDABC.

שאלה 4 · פירמידה במערכת צירים: גובה ונפחשאלה מלאה · קלה

בפירמידה המשולשת SABOSABOSABO הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xxx וציר ה-yyy בהתאמה, ו-OOO היא ראשית הצירים. נתון: AO=4AO=4AO=4, BO=6BO=6BO=6, ושיעורי הנקודה SSS הם (2,3,4)(2,3,4)(2,3,4). הנקודה DDD היא אמצע המקצוע ABABAB.
OABSDxyz

א.

רשמו את שיעורי הנקודות AAA, BBB ו-DDD.

ב.

חשבו את אורכי המקצועות SASASA, SBSBSB ו-SOSOSO. מה אפשר להסיק על הפירמידה?

ג.

הראו כי DS→⊥OA→\overrightarrow{DS}\perp\overrightarrow{OA}DS⊥OA ו-DS→⊥OB→\overrightarrow{DS}\perp\overrightarrow{OB}DS⊥OB, והסבירו מדוע DSDSDS הוא גובה הפירמידה.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה.

ה.

חשבו את גודל הזווית SODSODSOD בעזרת הווקטורים OS→\overrightarrow{OS}OS ו-OD→\overrightarrow{OD}OD.

שאלה 5 · נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובהשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה DABCDABCDABC נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AC→=v→\overrightarrow{AC}=\vec{v}AC=v, AD→=w→\overrightarrow{AD}=\vec{w}AD=w. נתון: ∣u→∣=∣v→∣=4|\vec{u}|=|\vec{v}|=4∣u∣=∣v∣=4, ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘, ∣w→∣=5|\vec{w}|=5∣w∣=5, w→⋅u→=8\vec{w}\cdot\vec{u}=8w⋅u=8, w→⋅v→=12\vec{w}\cdot\vec{v}=12w⋅v=12.
הנקודה GGG נמצאת במישור ABCABCABC ומקיימת AG→=au→+bv→\overrightarrow{AG}=a\vec{u}+b\vec{v}AG=au+bv, ו-DGDGDG הוא גובה הפירמידה (מאונך למישור ABCABCABC).

א.

מצאו את aaa ואת bbb.

ב.

חשבו את גובה הפירמידה ואת נפחה.

שאלה 6 · נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובהשאלה קצרה · קשה

במנסרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתונים הקודקודים A(1,0,1)A(1,0,1)A(1,0,1), B(3,4,5)B(3,4,5)B(3,4,5), D(3,1,−1)D(3,1,-1)D(3,1,−1) ו-A′(5,−4,3)A'(5,-4,3)A′(5,−4,3).

א.

הראו כי המנסרה היא תיבה, וחשבו את נפחה.

ב.

חשבו את נפח הפירמידה המשולשת A′BC′DA'BC'DA′BC′D.

שאלה 7 · וקטורים בפירמידה עם מקצועות מאונכים: גובה ונפחשאלה מלאה · קלה

נתונה פירמידה SABCSABCSABC (ראו סרטוט). המקצועות הצדדיים SASASA, SBSBSB ו-SCSCSC מאונכים זה לזה, ואורך כל אחד מהם 6. נסמן: SA→=u‾\overrightarrow{SA}=\underline uSA=u​, SB→=v‾\overrightarrow{SB}=\underline vSB=v​, SC→=w‾\overrightarrow{SC}=\underline wSC=w​. הנקודה MMM נמצאת במישור ABCABCABC, וידוע כי SM→=13u‾+13v‾+13w‾\overrightarrow{SM}=\frac13\underline u+\frac13\underline v+\frac13\underline wSM=31​u​+31​v​+31​w​.
uvwABCSM

א.

מצאו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​, ואת u‾2\underline u^2u​2, v‾2\underline v^2v​2, w‾2\underline w^2w​2.

ב.

(1)

הביעו את הווקטורים AB→\overrightarrow{AB}AB, AC→\overrightarrow{AC}AC ו-BC→\overrightarrow{BC}BC באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

(2)

הראו כי המשולש ABCABCABC שווה צלעות, ומצאו את אורך צלעו.

ג.

הראו כי SM→\overrightarrow{SM}SM מאונך למישור ABCABCABC.

ד.

(1)

חשבו את האורך ∣SM→∣|\overrightarrow{SM}|∣SM∣.

(2)

חשבו את נפח הפירמידה SABCSABCSABC.

שאלה 8 · נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובהשאלה קצרה · בינונית

במקבילון ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ אורך כל המקצועות הוא 222, ונתון ∠BAD=∠A′AB=∠A′AD=60∘\angle BAD=\angle A'AB=\angle A'AD=60^\circ∠BAD=∠A′AB=∠A′AD=60∘. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}AD=v, AA′→=w→\overrightarrow{AA'}=\vec{w}AA′=w. הנקודה EEE נמצאת על האלכסון ACACAC, כך ש-A′EA'EA′E מאונך למישור הבסיס ABCDABCDABCD.
ABDCA'B'C'D'E

א.

הביעו את הווקטור AE→\overrightarrow{AE}AE באמצעות u→\vec{u}u ו-v→\vec{v}v.

ב.

חשבו את נפח המקבילון.

שאלה 9 · וקטורים בפירמידה: מציאת עקב הגובה ונפחשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה SABCSABCSABC (ראו סרטוט). אורך כל אחד מן המקצועות הצדדיים SASASA, SBSBSB, SCSCSC הוא 4. נתון: ∠ASB=∠ASC=90∘\angle ASB=\angle ASC=90^\circ∠ASB=∠ASC=90∘, ∠BSC=60∘\angle BSC=60^\circ∠BSC=60∘. נסמן: SA→=u‾\overrightarrow{SA}=\underline uSA=u​, SB→=v‾\overrightarrow{SB}=\underline vSB=v​, SC→=w‾\overrightarrow{SC}=\underline wSC=w​. הנקודה MMM נמצאת במישור ABCABCABC, ו-SMSMSM מאונך למישור ABCABCABC.
uvwABCS

א.

חשבו את המכפלות הסקלריות: u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​.

ב.

הביעו את SM→\overrightarrow{SM}SM באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ג.

חשבו את גובה הפירמידה לבסיס ABCABCABC.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה SABCSABCSABC.

שאלה 10 · וקטורים בפירמידה שבסיסה ריבוע: אורך מקצוע ונפחשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCDSABCD. הבסיס ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline wAS=w​. נתון: SD→⋅AD→=0\overrightarrow{SD}\cdot\overrightarrow{AD}=0SD⋅AD=0, SB→⋅AB→=0\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{AB}=0SB⋅AB=0, ∣w‾∣=11|\underline w|=11∣w​∣=11.
ABCDS

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​ את הווקטורים SD→\overrightarrow{SD}SD, SB→\overrightarrow{SB}SB ו-SC→\overrightarrow{SC}SC.

ב.

מצאו את הערכים של w‾⋅v‾\underline w\cdot\underline vw​⋅v​ ושל w‾⋅u‾\underline w\cdot\underline uw​⋅u​.

ג.

מצאו את האורך ∣SC→∣|\overrightarrow{SC}|∣SC∣.

ד.

הראו כי SCSCSC מאונך ל-BCBCBC ול-DCDCDC.

ה.

מצאו את נפח הפירמידה SABCDSABCDSABCD. היעזרו בסעיף ד.

עוד 21 שאלות על נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה פירמידה $SABC$ שבסיסה המשולש $ABC$ , וקודקודיה $A(1,2,0)$ , $B(3,3,1)$ , $C(0,4,2)$ , $S(1,-1,3)$ .
וקטורים בפירמידה: מנפח לאורך מקצוע ולזווית (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=8$ . המקצוע $SD$ מאונך ל- $AD$ , והמקצוע $SB$ מאונך ל- $AB$ . נסמן:…
משולש ישר-זווית במרחב ופירמידה מעליו (שאלה מלאה · קלה)
נתונות שלוש נקודות: $A(3,1,2)$ , $B(1,2,0)$ , $C(3,4,-1)$ .
נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה $SABCD$ שבשרטוט הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית שקודקודיה $A(1,1,1)$ , $B(3,2,3)$ , $C(3,5,3)$ , $D(1,4,1)$ , והקודקוד הוא $S(0,3,4)$ . הנקודה…
פירמידה במרחב: מציאת הקודקוד מתנאי ניצבות וגובה מקודקוד אחר (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הנקודות $A(3,1,5)$ , $B(2,-1,3)$ , $C(5,-1,-1)$ , והנקודה $D(x,y,0)$ .
הוכחה שמקצוע צדדי הוא גובה הפירמידה ונפחה (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה $SABCD$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. נתונים הקודקודים $A(1,0,2)$ , $B(3,2,3)$ , $D(2,-2,4)$ ו- $S(5,-2,-2)$ .
נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה $SABCD$ נתונים הקודקודים $A(1,1,0)$ , $B(3,1,2)$ , $C(3,5,2)$ , $D(1,5,0)$ ו- $S(-1,3,4)$ . הנקודה $K$ היא נקודת מפגש האלכסונים של הבסיס…
נפח פירמידה שבסיסה פאה צדדית של מנסרה (שאלה קצרה · קשה)
במנסרה המשולשת $ABCA'B'C'$ נתונים הקודקודים $A(3,4,1)$ , $B(1,2,0)$ , $C(3,-2,4)$ ו- $A'(5,0,-4)$ .
נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה $SABCD$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. נתונים הקודקודים $A(5,3,-3)$ , $B(10,10,1)$ , $C(6,8,5)$ , $D(1,1,1)$ וקודקוד הראש $S(0,8,-1)$ .…
פירמידה שבסיסה מלבן: מכפלות סקלריות, זיהוי המקצוע שהוא גובה ונפח (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=6$ ו- $AD=4$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה $SABC$ שבשרטוט כל המקצועות שווים ל- $6$ . נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\vec{v}$ ,…
פירמידה במערכת צירים: בסיס במישור xz (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $z$ בהתאמה (ראו ציור). הנקודה $O$ היא ראשית הצירים.…
נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $SOAB$ הנקודה $O$ היא ראשית הצירים, $A(0,0,4)$ , $B(6,0,0)$ ו- $S(3,7,2)$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $AB$ .
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: בסיס ישר-זווית וגובה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 6. נתון: $\angle ASB=\angle ASC=60^\circ$ ,…
נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה $SABC$ (ראו סרטוט) הבסיס $ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו 6. נתון: $SA=5$ , $\cos\angle SAB=\cos\angle SAC=0.6$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מלבן: גובה ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=6$ ו- $AD=4$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 5. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
שלוש נקודות במרחב: זווית, שטח, ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות שלוש נקודות: $A(6,-2,6)$ , $B(3,1,3)$ , $C(6,4,-2)$ .
נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,3,-2)$ , $B(3,5,-1)$ , $C(-1,4,0)$ , $D(5,-5,6)$ .
הוכחה בעזרת וקטורים שהקטע אל מפגש התיכונים הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה $SABC$ שבשרטוט כל המקצועות שווים ל- $6$ . נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\vec{v}$ ,…
פירמידה במערכת צירים: הוכחה שהקטע מאמצע מקצוע הוא גובה, נפח וזווית (שאלת ביניים · בינונית)
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $z$ בהתאמה (ראו ציור). הנקודה $O$ היא ראשית הצירים.…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פירמידה במערכת צירים: פירמידה ישרה, גובה, נפח וזווית · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 2
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ בהתאמה (ראה ציור). הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $BO=4$ , $AO=2$ .…
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: מכפלות סקלריות, ניצבות למישור ונפח · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 1
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3. נתון: $\angle ASB=\angle BSC=\angle ASC=30^\circ$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה: מכפלות סקלריות, גובה ונפח · בגרות 472 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 4. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\overrightarrow{AS}=\underline w$ .
שלוש נקודות במרחב: זווית, שטח, ניצבות למישור ונפח פירמידה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
נתונות שלוש נקודות: $A(1,0,7)$ , $B(3,2,1)$ , $C(3,-2,-2)$ .