שאלות פתוחות: נפח פירמידה - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על נפח פירמידה לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מחשבים נפח של פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע כשנתונה הזווית בין מקצוע צדדי לאלכסון הבסיס, נפח של ארבעון משוכלל, נפח של פירמידה שנחתכת מתוך תיבה, ומוצאים ממדים כשהנפח נתון. יש גם פירמידות שקודקודיהן נתונים בשיעורים ופירמידות עם זוויות ישרות או זוויות של 60 מעלות בקודקוד הראש. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מהן בוחן בנפחים או לשלב שאלה במבחן על גופים, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

42 שאלותקלה: 14בינונית: 19קשה: 9

שאלה 1 · נפח פירמידהשאלה קצרה · קלה

נתונה פירמידה ישרה SABCDSABCDSABCD שבסיסה הריבוע ABCDABCDABCD, שאורך צלעו 666 ס"מ. הזווית בין המקצוע הצדדי SASASA לבין אלכסון הבסיס ACACAC היא 60∘60^\circ60∘.

חשבו את נפח הפירמידה.

שאלה 2 · נפח פירמידהשאלה קצרה · בינונית

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ ממוקמת כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(6,0,0)B(6,0,0)B(6,0,0), D(0,4,0)D(0,4,0)D(0,4,0) ו-A′(0,0,3)A'(0,0,3)A′(0,0,3).

א.

חשבו את נפח הפירמידה B′ABCB'ABCB′ABC.

ב.

חשבו את נפח הפירמידה ACB′D′ACB'D'ACB′D′.

שאלה 3 · פירמידה ישרה במערכת צירים: מציאת הקודקוד ונקודה על הגובהשאלה מלאה · קשה

בפירמידה המשולשת SABOSABOSABO הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xxx וציר ה-yyy בהתאמה, ו-OOO היא ראשית הצירים. נתון: AO=6AO=6AO=6, BO=8BO=8BO=8. כל המקצועות הצדדיים של הפירמידה שווים ל-13, והקודקוד SSS נמצא מעל מישור xyxyxy.
OABSxyz

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד SSS.

ב.

חשבו את נפח הפירמידה.

ג.

הנקודה DDD היא אמצע המקצוע ABABAB, והנקודה PPP נמצאת על הקטע DSDSDS.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP שעבורה ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ∠APB=90∘.

ד.

האם יש על הקטע DSDSDS נקודה PPP שעבורה ∠OPA=90∘\angle OPA=90^\circ∠OPA=90∘? נמקו.

שאלה 4 · נפח פירמידהשאלה קצרה · קלה

נתון ארבעון משוכלל (פירמידה משולשת שכל מקצועותיה שווים) שאורך כל אחד ממקצועותיו הוא 666 ס"מ.

א.

חשבו את גובה הארבעון.

ב.

חשבו את נפח הארבעון.

שאלה 5 · מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחיםשאלה מלאה · בינונית

במנסרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ נתונים הקודקודים: A(1,−1,3)A(1,-1,3)A(1,−1,3), B(3,1,4)B(3,1,4)B(3,1,4), C(5,2,2)C(5,2,2)C(5,2,2), D(3,0,1)D(3,0,1)D(3,0,1), D′(−2,6,−1)D'(-2,6,-1)D′(−2,6,−1).
ABCDA'B'C'D'

א.

הוכיחו כי המרובע ABCDABCDABCD הוא מעוין.

ב.

חשבו את זוויות המעוין ABCDABCDABCD.

ג.

(1)

הראו כי המנסרה ישרה.

(2)

חשבו את נפח המנסרה.

ד.

הנקודה EEE מקיימת DE→=14⋅DD′→\overrightarrow{DE}=\frac14\cdot\vec{DD'}DE=41​⋅DD′.

(1)

הסבירו מדוע הנקודה EEE נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′.

(2)

חשבו את נפח הפירמידה ABCDEABCDEABCDE.

שאלה 6 · וקטורים בפירמידה: מציאת עקב הגובה ונפחשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה SABCSABCSABC (ראו סרטוט). אורך כל אחד מן המקצועות הצדדיים SASASA, SBSBSB, SCSCSC הוא 4. נתון: ∠ASB=∠ASC=90∘\angle ASB=\angle ASC=90^\circ∠ASB=∠ASC=90∘, ∠BSC=60∘\angle BSC=60^\circ∠BSC=60∘. נסמן: SA→=u‾\overrightarrow{SA}=\underline uSA=u​, SB→=v‾\overrightarrow{SB}=\underline vSB=v​, SC→=w‾\overrightarrow{SC}=\underline wSC=w​. הנקודה MMM נמצאת במישור ABCABCABC, ו-SMSMSM מאונך למישור ABCABCABC.
uvwABCS

א.

חשבו את המכפלות הסקלריות: u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​.

ב.

הביעו את SM→\overrightarrow{SM}SM באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ג.

חשבו את גובה הפירמידה לבסיס ABCABCABC.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה SABCSABCSABC.

שאלה 7 · נפח פירמידהשאלה קצרה · קלה

בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, הגובה שווה לאורך צלע הבסיס. נפח הפירמידה הוא 727272 סמ"ק.

מצאו את אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה.

שאלה 8 · וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: בסיס ישר-זווית וגובהשאלה מלאה · בינונית

נתונה פירמידה ישרה SABCSABCSABC שבסיסה משולש ABCABCABC (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 6. נתון: ∠ASB=∠ASC=60∘\angle ASB=\angle ASC=60^\circ∠ASB=∠ASC=60∘, ∠BSC=90∘\angle BSC=90^\circ∠BSC=90∘. נסמן: SA→=u‾\overrightarrow{SA}=\underline uSA=u​, SB→=v‾\overrightarrow{SB}=\underline vSB=v​, SC→=w‾\overrightarrow{SC}=\underline wSC=w​. הנקודה MMM נמצאת במישור ABCABCABC. ידוע כי SM→=12v‾+12w‾\overrightarrow{SM}=\frac12\underline v+\frac12\underline wSM=21​v​+21​w​.
uvwABCSM

א.

חשבו את המכפלות הסקלריות: u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​.

ב.

(1)

הביעו את הווקטורים AB→\overrightarrow{AB}AB ו-AC→\overrightarrow{AC}AC באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

(2)

חשבו את אורכי הווקטורים AB→\overrightarrow{AB}AB ו-AC→\overrightarrow{AC}AC.

(3)

מצאו את גודל הזווית BACBACBAC.

ג.

הראו כי SM→\overrightarrow{SM}SM מאונך למישור ABCABCABC.

ד.

נסמן: ∣SM→∣=m|\overrightarrow{SM}|=m∣SM∣=m.

הביעו את נפח הפירמידה SABCSABCSABC באמצעות mmm.

שאלה 9 · וקטורים בפירמידה: מציאת עקב האנך מקודקוד למישורשאלה מלאה · קשה

בפירמידה המשולשת ABCDABCDABCD המקצועות ADADAD, BDBDBD ו-CDCDCD מאונכים זה לזה, ונתון: DA=DB=2DA=DB=2DA=DB=2, DC=1DC=1DC=1 (ראו סרטוט). הנקודה EEE נמצאת על המישור ABCABCABC, ומתקיים BE→=s⋅BA→+t⋅BC→\overrightarrow{BE}=s\cdot\overrightarrow{BA}+t\cdot\overrightarrow{BC}BE=s⋅BA+t⋅BC (sss, ttt מספרים). נסמן: DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline uDA=u​, DB→=v‾\overrightarrow{DB}=\underline vDB=v​, DC→=w‾\overrightarrow{DC}=\underline wDC=w​.
uvwDABCE

א.

הביעו את DE→\overrightarrow{DE}DE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​, sss ו-ttt.

ב.

נתון כי DE→\overrightarrow{DE}DE מאונך למישור ABCABCABC.

מצאו את sss ואת ttt.

ג.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ד.

מצאו את המרחק של הקודקוד DDD מהמישור ABCABCABC.

שאלה 10 · נפח פירמידהשאלה קצרה · קלה

בפירמידה ישרה הבסיס הוא מלבן שמידותיו 888 ס"מ ו-666 ס"מ. אורך כל אחד מן המקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא 131313 ס"מ.

חשבו את נפח הפירמידה.

עוד 22 שאלות על נפח פירמידה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ , ומתקיים:…
וקטורים בפירמידה: מנפח לאורך מקצוע ולזווית (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=8$ . המקצוע $SD$ מאונך ל- $AD$ , והמקצוע $SB$ מאונך ל- $AB$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה ריבועית: הגובה והנפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 2. הנקודה $O$ היא נקודת…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מלבן: גובה ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=6$ ו- $AD=4$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים בפירמידה: הגובה שקובע את הזווית (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס…
וקטורים בפירמידה עם מקצועות מאונכים: גובה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה $SABC$ (ראו סרטוט). המקצועות הצדדיים $SA$ , $SB$ ו- $SC$ מאונכים זה לזה, ואורך כל אחד מהם 6. נסמן: $\overrightarrow{SA}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…
פירמידה ישרה: מהנפח לקודקוד, וזווית ראש לפי גובה (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הנקודות $A(1,0,2)$ , $B(3,4,2)$ ו- $D(-3,2,2)$ . הנקודה $C$ נבחרת כך ש- $ABCD$ הוא מקבילית.
וקטורים בפירמידה עם מקצועות ניצבים שווים: זווית, ניצבות ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה, ואורך כל אחד מהם 3 (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ ,…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש (בסיס עם צלעות שונות) (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BS$ כך ש- $\overrightarrow{BE}=\frac13\overrightarrow{BS}$ . הנקודה…
נפח פירמידה שכל מקצועותיה אלכסונים של פאות תיבה (שאלה קצרה · קשה)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת כך ש- $A(0,0,0)$ , $B(6,0,0)$ , $D(0,4,0)$ ו- $A'(0,0,3)$ .
וקטורים בפירמידה שבסיסה ריבוע: אורך מקצוע ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 6. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים בפירמידה: נקודה על מקצוע צדדי, ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש- $\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CS}$ . הנקודה…
פירמידה שמקצועותיה הצדדיים שווים: עקב הגובה בעזרת וקטורים ונפח (שאלת ביניים · קשה)
נתונה פירמידה $SABC$ (ראו סרטוט). אורך כל אחד מן המקצועות הצדדיים $SA$ , $SB$ , $SC$ הוא 4. נתון: $\angle ASB=\angle ASC=90^\circ$ ,…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 6, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . המקצוע $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה,…
פירמידה ישרה בהצגה אלגברית: בסיס ריבועי משופע (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(2,2,5)$ וקודקודי הבסיס הם $A(1,0,1)$ , $B(4,1,1)$ , $C(3,4,1)$ , $D(0,3,1)$ .
נפח פירמידה (שאלה קצרה · קלה)
$SABCD$ היא פירמידה שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע הנמצא במישור $xy$ . נתון: $A(0,0,0)$ , $B(3,4,0)$ . המקצוע $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה, אורכו שווה…
פירמידה ריבועית ישרה: מקצוע צדדי מתוך הנפח (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, הגובה שווה לאורך צלע הבסיס. נפח הפירמידה הוא $72$ סמ"ק.
וקטורים בפירמידה: ניצבות בבסיס ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש- $\overrightarrow{BF}=\frac23\overrightarrow{BC}$ . נסמן:…
פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע: הוכחות, עקב הגובה ונפח (שאלת ביניים · בינונית)
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(2,2,5)$ וקודקודי הבסיס הם $A(1,0,1)$ , $B(4,1,1)$ , $C(3,4,1)$ , $D(0,3,1)$ .
פירמידה ישרה עם בסיס ריבועי: מהוכחה לנפח ולזווית (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(3,3,6)$ וקודקודי הבסיס הם $A(1,1,0)$ , $B(5,1,0)$ , $C(5,5,0)$ , $D(1,5,0)$ .
נפח פירמידה ישרה שבסיסה מלבן מתוך המקצוע הצדדי (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה ישרה הבסיס הוא מלבן שמידותיו $8$ ס"מ ו- $6$ ס"מ. אורך כל אחד מן המקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא $13$ ס"מ.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 2
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(-2,4,7)$ , $B(0,5,4)$ , $C(1,3,1)$ , $D(-1,2,4)$ , $D'(-10,5,-1)$ .
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: מכפלות סקלריות, ניצבות למישור ונפח · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 1
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3. נתון: $\angle ASB=\angle BSC=\angle ASC=30^\circ$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות למישור · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ , ומתקיים:…
וקטורים בפירמידה: מכפלות סקלריות, גובה ונפח · בגרות 472 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 4. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\overrightarrow{AS}=\underline w$ .
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
פירמידה ישרה בהצגה אלגברית: ריבוע, גובה, נפח וזווית · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(-2,3,3)$ וקודקודי הבסיס הם $A(-3,2,1)$ , $B(-3,4,1)$ , $C(-1,4,1)$ , $D(-1,2,1)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נרות: ממד מיחס, מארזים, ציפוי ושינוי ממדים (שאלה מלאה · קלה)
נויה מכינה נרות בשני סוגים של תבניות: נר מסוג א' בצורת קובייה, ונר מסוג ב' בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע.…
פירמידה: וקטור מקביל למישור, נפח וישרים מצטלבים (שאלה מלאה · קשה)
בפירמידה $ABCD$ , המקצוע $DC$ מאונך למישור $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $AD$ . הנקודה $F$ מקיימת:…
מנסרה ופירמידה במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה $ABCD$ המקצוע $DC$ מאונך למישור $ABC$ . נתון: $A(0,0,0)$ , $C(0,n,0)$ , $B(p,2,0)$ , $n$ ו- $p$ פרמטרים…