שאלות פתוחות: נפח מנסרה - כיתה י"ב 4 יח"ל

נפח מנסרה לכיתה י"ב (4 יחידות) - שאלות פתוחות על מנסרות ישרות ומשופעות. התלמידים מחשבים נפח של מנסרות שקודקודיהן נתונים בשיעורים, כולל מנסרות משופעות שבהן צריך קודם למצוא את הגובה, ונפח של מנסרה ישרה שבסיסה מעוין מתוך אורכי שני האלכסונים של המנסרה. בשאלות אחרות הנפח נתון ומוצאים ממנו את הגובה ואורכים נוספים. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. בחרו מהן לבוחן בנפחים או לשאלה במבחן על וקטורים במרחב, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

35 שאלותקלה: 4בינונית: 23קשה: 8

שאלה 1 · מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: זווית ונפחיםשאלה מלאה · קלה

במנסרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ נתונים הקודקודים: A(1,0,2)A(1,0,2)A(1,0,2), B(3,2,2)B(3,2,2)B(3,2,2), C(3,4,4)C(3,4,4)C(3,4,4), D(1,2,4)D(1,2,4)D(1,2,4), D′(4,−1,7)D'(4,-1,7)D′(4,−1,7).
ABCDA'B'C'D'

א.

הראו כי AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}AB=DC וכי ∣AB→∣=∣AD→∣|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|∣AB∣=∣AD∣. מה ניתן להסיק על המרובע ABCDABCDABCD?

ב.

חשבו את גודל הזווית DABDABDAB.

ג.

הראו כי DD′→\vec{DD'}DD′ מאונך ל-DA→\overrightarrow{DA}DA ול-DC→\overrightarrow{DC}DC. מה ניתן להסיק על המנסרה?

ד.

חשבו את שטח הבסיס ABCDABCDABCD ואת נפח המנסרה.

ה.

הנקודה EEE היא אמצע המקצוע DD′DD'DD′. חשבו את נפח הפירמידה ABCDEABCDEABCDE.

שאלה 2 · נפח מנסרהשאלה קצרה · בינונית

בסיס המנסרה הישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הוא מעוין שאורך צלעו 555 ס"מ. אורכי שני האלכסונים של המנסרה הם AC′=10AC'=10AC′=10 ס"מ ו-BD′=62BD'=6\sqrt2BD′=62​ ס"מ.

א.

מצאו את אורכי האלכסונים של הבסיס ABCDABCDABCD ואת גובה המנסרה.

ב.

חשבו את נפח המנסרה.

שאלה 3 · מנסרה ישרה: מציאת קודקוד מתוך נפחשאלה מלאה · קשה

נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבה: A(1,0,1)A(1,0,1)A(1,0,1), B(2,2,3)B(2,2,3)B(2,2,3), C(4,3,5)C(4,3,5)C(4,3,5), D(3,1,3)D(3,1,3)D(3,1,3).
ABCDA'B'C'D'

א.

הוכיחו כי המרובע ABCDABCDABCD הוא מעוין.

ב.

חשבו את זוויות המעוין ואת שטחו.

ג.

נתון כי נפח המנסרה הוא 34, והשיעור zzz של הקודקוד D′D'D′ חיובי. מצאו את שיעורי D′D'D′.

ד.

הנקודה EEE נמצאת על הישר DD′DD'DD′ ומקיימת DE→=k⋅DD′→\overrightarrow{DE}=k\cdot\vec{DD'}DE=k⋅DD′, כאשר k>0k>0k>0. נפח הפירמידה ABCDEABCDEABCDE שווה לנפח המנסרה. מצאו את kkk ואת שיעורי EEE. האם EEE נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′?

שאלה 4 · מנסרה בהצגה אלגברית: קודקוד חסר, תיבה ונפחשאלה מלאה · קלה

נתונה מנסרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. בסיס המנסרה ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתון: A(2,1,0)A(2,1,0)A(2,1,0), B(5,1,4)B(5,1,4)B(5,1,4), D(2,3,0)D(2,3,0)D(2,3,0), A′(−2,1,3)A'(-2,1,3)A′(−2,1,3).
ABCDA'B'C'D'

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ב.

(1)

הראו כי AB→⊥AD→\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}AB⊥AD.

(2)

הראו כי AA′AA'AA′ מאונך לבסיס ABCDABCDABCD, והסיקו שהמנסרה היא תיבה.

ג.

חשבו את נפח התיבה.

ד.

חשבו את אורך האלכסון AC′AC'AC′ של התיבה.

שאלה 5 · נפח מנסרהשאלה קצרה · בינונית

במנסרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתונים הקודקודים A(1,0,2)A(1,0,2)A(1,0,2), B(3,2,3)B(3,2,3)B(3,2,3), D(3,−1,0)D(3,-1,0)D(3,−1,0) ו-C′(7,−3,5)C'(7,-3,5)C′(7,−3,5).

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC, והראו כי הבסיס ABCDABCDABCD הוא ריבוע.

ב.

חשבו את נפח המנסרה.

שאלה 6 · וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצוע וזווית ישרהשאלה מלאה · קשה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=6AB=6AB=6, AD=4AD=4AD=4, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘, ונפח המנסרה הוא 72372\sqrt3723​.
הנקודה EEE נמצאת על המקצוע C′D′C'D'C′D′ ומקיימת C′E→=t⋅C′D′→\vec{C'E}=t\cdot\vec{C'D'}C′E=t⋅C′D′, כאשר 0≤t≤10\le t\le10≤t≤1.
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'E

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-ttt את הווקטורים B′A→\vec{B'A}B′A ו-B′E→\vec{B'E}B′E.

ב.

מצאו את הערך של ttt שעבורו B′A→\vec{B'A}B′A מאונך ל-B′E→\vec{B'E}B′E.

ג.

חשבו את גובה המנסרה.

ד.

עבור הערך של ttt שמצאתם בסעיף ב, חשבו את שטח המשולש AB′EAB'EAB′E.

ה.

עבור t=12t=\frac12t=21​ (כלומר כאשר EEE היא אמצע המקצוע C′D′C'D'C′D′), קבעו אם הזווית AB′EAB'EAB′E חדה, ישרה או קהה. נמקו.

שאלה 7 · גובה מנסרה ישרה שבסיסה מקבילית מתוך הנפחשאלה קצרה · קלה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית.
נתון: AB=2AB=2AB=2, AD=22AD=2\sqrt2AD=22​, ∠BAD=45∘\angle BAD=45^\circ∠BAD=45∘, נפח המנסרה הוא 12.
ABCDA'B'C'D'

חשבו את אורך הגובה של המנסרה.

שאלה 8 · נפח מנסרהשאלה קצרה · בינונית

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה EEE היא אמצע המקצוע D′C′D'C'D′C′. נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}AD=v, AA′→=w→\overrightarrow{AA'}=\vec{w}AA′=w. נתון: ∣u→∣=∣v→∣=6|\vec{u}|=|\vec{v}|=6∣u∣=∣v∣=6, ∣w→∣=4|\vec{w}|=4∣w∣=4, ∣AE→∣=79|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{79}∣AE∣=79​.
ABCDA'B'C'D'E

א.

מצאו את הזווית ∠BAD\angle BAD∠BAD.

ב.

חשבו את נפח המנסרה.

שאלה 9 · תיבה במערכת צירים: מקבילית עם נקודה משתנהשאלה מלאה · קשה

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד DDD נמצא בראשית הצירים. הקודקודים AAA, CCC, D′D'D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-xxx, של ציר ה-yyy ושל ציר ה-zzz בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: DC=5DC=5DC=5, AD=4AD=4AD=4, נפח התיבה הוא 120.
הנקודה FFF נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′ ומקיימת DF→=13DD′→\overrightarrow{DF}=\frac13\vec{DD'}DF=31​DD′. הנקודה KKK היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′CBB'C'CBB′C′C. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע CC′CC'CC′, ו-ttt הוא שיעור ה-zzz שלה. הנקודה MMM מקיימת: המרובע FEKMFEKMFEKM הוא מקבילית.
yzABCDA'B'C'D'EFKx

א.

מצאו את שיעורי הנקודות FFF ו-KKK.

ב.

הביעו באמצעות ttt את שיעורי הנקודה MMM.

ג.

נתון כי הנקודות AAA, MMM, FFF נמצאות על ישר אחד. מצאו את ttt.

ד.

עבור ttt שמצאתם, חשבו את גודל הזווית FEKFEKFEK ואת שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM.

ה.

עבור ttt שמצאתם, השוו בין שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM לבין שטח המשולש AFKAFKAFK. נמקו.

שאלה 10 · נפח מנסרהשאלה קצרה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCDABCDABCD ריבוע. אורך אלכסון התיבה הוא 999 ס"מ, ואורך האלכסון של כל פאה צדדית הוא 65\sqrt{65}65​ ס"מ.

חשבו את נפח התיבה.

עוד 16 שאלות על נפח מנסרה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

וקטורים בתיבה שגובהה משתנה: זווית וגובה (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה $AA'=h$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ .…
נפח מנסרה (שאלה קצרה · בינונית)
בסיס מנסרה משולשת ישרה הוא משולש ישר זווית. היקף הבסיס הוא $70$ ס"מ ואורך היתר שלו הוא $29$ ס"מ. גובה המנסרה הוא $4$ ס"מ.
וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצוע (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע $AA'$ …
מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(1,-1,3)$ , $B(3,1,4)$ , $C(5,2,2)$ , $D(3,0,1)$ , $D'(-2,6,-1)$ .
מנסרה בהצגה אלגברית: קודקוד עליון לא ידוע ונקודה נעה על מקצוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(1,0,2)$ , $B(3,2,1)$ , $D(5,-2,6)$ , $B'(7,p,q)$ , כאשר $p$ ו- $q$ מספרים.
נפח מנסרה (שאלה קצרה · בינונית)
במנסרה $ABCA'B'C'$ נתונים הקודקודים: $A(1,1,0)$ , $B(3,2,2)$ , $C(1,3,1)$ , $A'(-2,-1,4)$ .
נפח מנסרה ישרה שבסיסה מעוין מתוך אורכי אלכסוני המנסרה (שאלה קצרה · קשה)
בסיס המנסרה הישרה $ABCDA'B'C'D'$ הוא מעוין שאורך צלעו $5$ ס"מ. אורכי שני האלכסונים של המנסרה הם $AC'=10$ ס"מ ו- $BD'=6\sqrt2$ ס"מ.
וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודות $F$ ו- $H$ הן אמצעי המקצועות $AB$ ו- $D'C'$ בהתאמה. הנקודה $E$ מקיימת:…
מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: מציאת קודקוד עליון מתוך הנפח (שאלת ביניים · קשה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבה: $A(1,0,1)$ , $B(2,2,3)$ , $C(4,3,5)$ , $D(3,1,3)$ .
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: טענות על ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=2$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ , נפח המנסרה הוא 12. הנקודה $F$ היא…
תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה- $x$ ,…
וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפז (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $ABB'A'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים במנסרה ישרה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ , והנקודה $Q$ נמצאת על המקצוע $DD'$ …
וקטורים במנסרה ישרה עם זווית קהה בבסיס: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $A'B'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ …
מנסרה בהצגה אלגברית: הוכחה שהיא תיבה, נפח וזווית בין אלכסונים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(1,-2,3)$ , $C(5,-4,8)$ , $D(3,-6,7)$ , $B'(7,-2,0)$ .
מנסרה בהצגה אלגברית: בסיס מלבני, הוכחה שהיא תיבה ונפח (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(1,-2,3)$ , $B(3,0,4)$ , $C(5,-4,8)$ , $D(3,-6,7)$ , $B'(7,-2,0)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 2
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(-2,4,7)$ , $B(0,5,4)$ , $C(1,3,1)$ , $D(-1,2,4)$ , $D'(-10,5,-1)$ .
וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודות $E$ ו- $G$ הן אמצעי המקצועות $AA'$ ו- $CC'$ בהתאמה. הנקודה $F$ מקיימת: $\overrightarrow{AF}=\frac14\overrightarrow{AB}$ . הנקודה $H$ …
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מעוין: טענות על מכפלות סקלריות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, $\angle BAD=60^\circ$ , נפח המנסרה הוא $8\sqrt3$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית, שטח ונקודות על ישר · בגרות 472 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה- $x$ , של ציר ה- $y$ ושל…
וקטורים בתיבה: מפגש אלכסוני פאה, ניצבות וזוויות של מרובע · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 1
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים במנסרה ישרה: הוכחת ניצבות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2026, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ , והנקודה $P$ מקיימת $\overrightarrow{AP}=\frac34\vec{AA'}$ . נסמן:…
מנסרה בהצגה אלגברית: הוכחה שהיא תיבה, נפח וזווית בין אלכסונים · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(0,1,-1)$ , $C(3,-1,-2)$ , $D(1,1,0)$ , $B'(8,11,-9)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נרות: ממד מיחס, מארזים, ציפוי ושינוי ממדים (שאלה מלאה · קלה)
נויה מכינה נרות בשני סוגים של תבניות: נר מסוג א' בצורת קובייה, ונר מסוג ב' בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע.…
חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה תיבה $OABCO'A'B'C'$ . הקודקוד $O$ בראשית הצירים, הקודקוד $A$ על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , הקודקוד $C$ על…