מבחן לדוגמה: הפונקציה המעריכית: חקירה - כיתה י"ב 5 יח"ל

הסבירו מדוע המשולש $ABC$ ישר זווית, והביעו באמצעות $a$ ו-$t$ את שטח המשולש $S(t)$.

נתון כי $S(0)=8$. מצאו את $a$, והראו כי $S(t+1)=3\cdot S(t)$ לכל $t$. מה המשמעות של השוויון לגבי שטח המשולש כאשר מזיזים את הנקודה $A$ לאורך הגרף?

מצאו את $t$ שעבורו המשולש $ABC$ שווה שוקיים. תנו תשובה מדויקת, ולאחר מכן קירוב עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

מגדירים סדרה $c_n=f(n)$ עבור $n=1,2,3,\dots$ . חשבו את סכום חמשת האיברים הראשונים של הסדרה.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{7e^x}{e^{2x}-7e^x+6}$, המוגדרת באותו תחום שבו מוגדרת הפונקציה $f(x)$.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך בין גרף הפונקציה $f(x)$ ובין גרף הפונקציה $g(x)$.

לפניכם סרטוט הגרפים של שתי הפונקציות, $f(x)$ ו-$g(x)$. כל אחד מהחלקים של הגרפים מסומן בסרטוט בספרה אחרת.

רשמו לאיזו פונקציה שייך כל אחד מהחלקים המסומנים בסרטוט. נמקו את תשובתכם.

לפניכם שני ביטויים, I-II. קבעו, בנוגע לכל אחד מהביטויים, אם הוא שלילי או חיובי. נמקו ללא חישוב. I. $\int_{-3}^{-1}(f(x)-g(x))dx$ II. $\int_{\ln\frac{12}{7}}^{\ln3}(f(x)-g(x))dx$

חשבו את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$ ובין הישרים $x=\ln8$ ו-$x=\ln13$.

בתת-סעיפים (1)-(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $m$, אם יש צורך.

נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ משיק לציר ה-$x$.

מצאו את הערך של הפרמטר $m$.

הסבירו מדוע: $\int_0^1\left[\ln\left(f(x)\right)-\ln(5)\right]dx<\ln\left(\frac{16}{5}\right)$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$ המאונכות לצירים.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונות הנקודות $A(0,1)$ ו-$B\left(1,f(1)\right)$ על גרף הפונקציה.

חשבו את השטח של המשולש שצלעותיו נמצאות על הקטע $AB$, על הישר $y=1$ ועל הישר $x=1$.

ידוע כי בתחום $0\le x\le1$ פונקציית הנגזרת $f'(x)$ יורדת.

האם $\int_0^1\left(f(x)-1\right)dx$ גדול מהשטח שמצאתם בסעיף ד? נמקו.

מצאו את $k$.

מצאו את משוואות שני המשיקים, וחשבו את שטח המשולש שהם יוצרים עם ציר ה-$x$.

מצאו את $A$ ואת $k$.

מצאו את הזמן שבו קצב הירידה של הריכוז הוא הגדול ביותר, וחשבו את הריכוז בזמן זה.