דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: הקשר בין הפונקציה המעריכית לסדרה הנדסית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הקשר בין הפונקציה המעריכית לסדרה הנדסית, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות מציאת a ו-b בפונקציה מהצורה b·aˣ לפי שתי נקודות, סדרה שאיבריה הם ערכי הפונקציה במספרים הטבעיים, סכום סדרה הנדסית אינסופית, נקודות על הגרף ששיעורי ה-x שלהן יוצרים סדרה חשבונית, וסדרה שסכומה נתון בנוסחה מעריכית. רוב השאלות ברמה קלה, ויש גם בינוניות וקשות. אפשר לבחור מהן לבוחן או למבחן, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

15 שאלותקלה: 8בינונית: 5קשה: 2

שאלה 1 · הקשר בין הפונקציה המעריכית לסדרה הנדסיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=b⋅axf(x)=b\cdot a^x, כאשר a>0a>0, b>0b>0. ידוע: f(1)=6f(1)=6 ו-f(4)=48f(4)=48.

-1123451020304050
א.

מצאו את aa ואת bb.

ב.

מגדירים סדרה cn=f(n)c_n=f(n) עבור n=1,2,3,…n=1,2,3,\dots . חשבו את סכום חמשת האיברים הראשונים של הסדרה.

שאלה 2 · הקשר בין הפונקציה המעריכית לסדרה הנדסיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=axf(x)=a^x, כאשר a>0a>0, a≠1a\ne1. על גרף הפונקציה בוחרים שלוש נקודות ששיעורי ה-xx שלהן יוצרים סדרה חשבונית שהפרשה d≠0d\ne0.

א.

הראו כי שיעורי ה-yy של שלוש הנקודות יוצרים סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

ב.

האם ייתכן ששיעורי ה-yy של שלוש הנקודות יוצרים גם סדרה חשבונית? אם כן, מצאו ערכים מתאימים של aa ו-dd; אם לא, הוכיחו.

שאלה 3 · הקשר בין הפונקציה המעריכית לסדרה הנדסיתשאלה קצרה · קשה

סכום nn האיברים הראשונים של סדרה ana_n נתון לכל nn טבעי על ידי Sn=2n+2+cS_n=2^{n+2}+c, כאשר cc קבוע.

מצאו את ערך cc שעבורו קיימת פונקציה מעריכית f(x)=b⋅axf(x)=b\cdot a^x המקיימת an=f(n)a_n=f(n) לכל n≥1n\ge1, ורשמו את הפונקציה f(x)f(x) המתאימה.

שאלה 4 · סכום איברים של סדרה הנדסית שאיבריה ערכי פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=3⋅2xf(x)=3\cdot2^x.

מגדירים סדרה cn=f(n)c_n=f(n) עבור n=1,2,3,…n=1,2,3,\dots . חשבו את סכום חמשת האיברים הראשונים של הסדרה.

שאלה 5 · הקשר בין הפונקציה המעריכית לסדרה הנדסיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=3axf(x)=3a^x, כאשר 0<a<10<a<1. מגדירים סדרה bn=f(n)b_n=f(n) עבור n=1,2,3,…n=1,2,3,\dots . סכום כל איברי הסדרה האינסופית הוא 66.

מצאו את aa.

שאלה 6 · שטחי טרפזים מתחת לגרף מעריכי יוצרים סדרה הנדסיתשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=4⋅(12)xf(x)=4\cdot\left(\frac12\right)^x. לכל n=1,2,3,…n=1,2,3,\dots מסמנים ב-PnP_n את הנקודה (n,f(n))\left(n,f(n)\right) שעל גרף הפונקציה, וב-QnQ_n את הנקודה (n,0)(n,0) שעל ציר ה-xx. נסמן ב-SnS_n את שטח הטרפז QnPnPn+1Qn+1Q_nP_nP_{n+1}Q_{n+1}.

א.

הראו כי Sn=3⋅(12)nS_n=3\cdot\left(\frac12\right)^n, והסיקו שהשטחים S1,S2,S3,…S_1,S_2,S_3,\dots יוצרים סדרה הנדסית. מצאו את האיבר הראשון שלה ואת מנתה.

ב.

חשבו את סכום השטחים של כל הטרפזים, עבור n=1,2,3,…n=1,2,3,\dots.

ג.

מהו המספר הקטן ביותר של טרפזים ראשונים (החל מ-n=1n=1) שסכום שטחיהם גדול מ-2.92.9?

שאלה 7 · הקשר בין הפונקציה המעריכית לסדרה הנדסיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(2k−1)xf(x)=(2k-1)^x, כאשר kk פרמטר, ומגדירים סדרה an=f(n)a_n=f(n) עבור n=1,2,3,…n=1,2,3,\dots .

מצאו את כל ערכי kk שעבורם הסדרה היא סדרה הנדסית מתכנסת (יש לה סכום אינסופי) וסכום כל איבריה גדול מ-11.

שאלה 8 · ערכי פונקציה מעריכית בנקודות זוגיות יוצרים סדרה הנדסיתשאלת ביניים · בינונית

גרף הפונקציה f(x)=b⋅axf(x)=b\cdot a^x, כאשר a>0a>0 ו-b>0b>0, עובר דרך הנקודות (2,18)(2,18) ו-(5,486)(5,486).

א.

מצאו את aa ואת bb.

ב.

מגדירים סדרה cn=f(2n)c_n=f(2n) עבור n=1,2,3,…n=1,2,3,\dots. הראו כי הסדרה cnc_n הנדסית, מצאו את האיבר הראשון שלה ואת מנתה, וחשבו את סכום ארבעת האיברים הראשונים שלה.

ג.

מהו המספר הקטן ביותר של איברים ראשונים בסדרה cnc_n שסכומם גדול מ-1,000,0001{,}000{,}000?

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (7)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.