דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: הפונקציה y=aˣ: תכונות וגרף - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הפונקציה y=aˣ, תכונותיה והגרף שלה, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן ישר אופקי או אנכי שחותך שני גרפים מעריכיים ושאלות על המרחק בין נקודות החיתוך, מתי פונקציה מעריכית עם פרמטר בבסיס עולה או יורדת, נקודות על הגרף שאמצע הקטע ביניהן ידוע, וחקירה של פונקציות עם e^x. רוב השאלות ברמה קלה ובינונית, ויש גם קשות. אפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

67 שאלותקלה: 41בינונית: 20קשה: 6

שאלה 1 · הפונקציה y=aˣ: תכונות וגרףשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=9xf(x)=9^x ו-g(x)=3xg(x)=3^x. הישר y=ky=k, כאשר k>1k>1, חותך את גרף הפונקציה f(x)f(x) בנקודה AA ואת גרף הפונקציה g(x)g(x) בנקודה BB. אורך הקטע ABAB הוא 22.

-2-112246810

מצאו את kk ואת שיעורי הנקודות AA ו-BB.

שאלה 2 · הפונקציה y=aˣ: תכונות וגרףשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=3xf(x)=3^x ו-g(x)=3−xg(x)=3^{-x}. הישר x=tx=t, כאשר t>0t>0, חותך את גרף הפונקציה f(x)f(x) בנקודה AA ואת גרף הפונקציה g(x)g(x) בנקודה BB. אורך הקטע ABAB הוא 83\dfrac83.

א.

מצאו את tt.

ב.

נסמן ב-OO את ראשית הצירים. חשבו את שטח המשולש OABOAB.

שאלה 3 · הפונקציה y=aˣ: תכונות וגרףשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=axf(x)=a^x, כאשר a>1a>1. הנקודות AA ו-BB נמצאות על גרף הפונקציה. אמצע הקטע ABAB נמצא על ציר ה-yy, ושיעור ה-yy שלו הוא 54\dfrac54. שיפוע הישר ABAB הוא 34\dfrac34.

מצאו את aa ואת שיעורי הנקודות AA ו-BB.

שאלה 4 · פונקציות מעריכיות: סימן הנגזרת מתוך שני גרפיםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: k(x)=xexk(x)=xe^x, ונתונה הפונקציה: m(x)=3ex−2m(x)=3e^x-2, המוגדרות לכל xx.

א.

מצאו את האסימפטוטה של k(x)k(x) המאונכת לציר ה-yy, את תחומי העלייה והירידה של k(x)k(x) ואת נקודת החיתוך של גרף k(x)k(x) עם ציר ה-yy.

ב.

מצאו את האסימפטוטה של m(x)m(x) המאונכת לציר ה-yy, הראו כי m(x)m(x) עולה לכל xx, ומצאו את נקודת החיתוך של גרף m(x)m(x) עם ציר ה-yy.

ג.

הגרפים של k(x)k(x) ו-m(x)m(x) נחתכים בשתי נקודות בדיוק, שבהן x=cx=c ו-x=dx=d, c<dc<d.

הראו כי k(0)<m(0)k(0)<m(0) וכי k(2)<m(2)k(2)<m(2). סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של שני הגרפים, והסבירו מדוע c<0c<0 ו-d>2d>2.

ד.

נתונה הפונקציה f(x)=ex−2x−2f(x)=\frac{e^x-2}{x-2}, המוגדרת לכל x≠2x\ne2.

הראו כי f′(x)=k(x)−m(x)(x−2)2f'(x)=\frac{k(x)-m(x)}{(x-2)^2}.

ה.

היעזרו בסקיצה מסעיף ג, והביעו באמצעות cc ו-dd את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x).

ו.

מצאו את האסימפטוטות של f(x)f(x) המאונכות לצירים ואת נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x) עם ציר ה-xx.

שאלה 5 · חקירת פונקציה מעריכית ומנה הנשענת עליהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=xex−3ex+1f(x)=xe^x-3e^x+1 המוגדרת לכל xx.

א.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x) המאונכות לציר ה-yy (אם יש כאלה).

(2)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה-yy.

(3)

מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה f(x)f(x).

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=1−exex−x+1g(x)=\frac{1-e^x}{e^x-x+1}, המוגדרת לכל xx.

(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה g(x)g(x) המאונכות לציר ה-yy.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x) עם ציר ה-xx (אם יש כאלה).

(3)

הוכיחו כי: g′(x)=f(x)(ex−x+1)2g'(x)=\frac{f(x)}{(e^x-x+1)^2}.

ג.

היעזרו בסקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x) ומצאו כמה נקודות מקסימום וכמה נקודות מינימום יש לפונקציה g(x)g(x). נמקו את התשובה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x).

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי הישר: x=−2x=-2.

שאלה 6 · הפונקציה y=aˣ: תכונות וגרףשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(m−1m+2)xf(x)=\left(\dfrac{m-1}{m+2}\right)^x, כאשר mm פרמטר, m≠−2m\ne-2.

מצאו את כל ערכי mm שעבורם f(x)f(x) היא פונקציה מעריכית יורדת ומתקיים גם f(−2)>4f(-2)>4.

שאלה 7 · חקירת מנה מעריכית והערכת אינטגרל בעזרת מיתרשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ex+2xex−xf(x)=\frac{e^x+2x}{e^x-x}, המוגדרת לכל xx.

א.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x) המאונכות לצירים.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה-yy.

ב.
(1)

הראו כי f′(x)=3ex(1−x)(ex−x)2f'(x)=\frac{3e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ד.

נתונות הנקודות A(0,1)A(0,1) ו-B(1,f(1))B\left(1,f(1)\right) על גרף הפונקציה.

חשבו את השטח של המשולש שצלעותיו נמצאות על הקטע ABAB, על הישר y=1y=1 ועל הישר x=1x=1.

ה.

ידוע כי בתחום 0≤x≤10\le x\le1 פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) יורדת.

האם ∫01(f(x)−1)dx\int_0^1\left(f(x)-1\right)dx גדול מהשטח שמצאתם בסעיף ד? נמקו.

שאלה 8 · חקירת : פרמטר משטח מתחת לגרף הנגזרת, ופונקציה קדומה ונקודות הפיתול שלהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=x2ea+2x3f(x)=x^2e^{a+2x^3} המוגדרת לכל xx, aa הוא פרמטר.

א.
(1)

מצאו את התחום שבו הפונקציה f(x)f(x) חיובית.

(2)

מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

נתון כי השטח הכלוא בין הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) לבין ציר ה-xx הוא e93\sqrt[3]{\frac{e}{9}}.

מצאו את הערך של aa.

הציבו a=1a=1, וענו על הסעיפים ג-ה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ד.

הפונקציה f(x)f(x) היא נגזרת של הפונקציה g(x)g(x) (g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)).

(1)

מהו תחום העלייה של הפונקציה g(x)g(x)? נמקו.

(2)

כמה נקודות פיתול יש לפונקציה g(x)g(x)? נמקו.

ה.

נסמן ב-B את נקודת הפיתול שבה הערך של הפונקציה g(x)g(x) הוא הגבוה מבין כל נקודות הפיתול שלה. נתון כי שיעור ה-yy של הנקודה B הוא e3\frac{e}{3}.

מצאו את הפונקציה g(x)g(x).

שאלה 9 · משולשים ישרי זווית שקודקודיהם על גרף מעריכישאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=axf(x)=a^x, כאשר a>1a>1. לכל מספר tt מסמנים את הנקודות A(t,f(t))A\left(t,f(t)\right) ו-B(t+2,f(t+2))B\left(t+2,f(t+2)\right) שעל גרף הפונקציה, ואת הנקודה C(t+2,f(t))C\left(t+2,f(t)\right).

א.

הסבירו מדוע המשולש ABCABC ישר זווית, והביעו באמצעות aa ו-tt את שטח המשולש S(t)S(t).

ב.

נתון כי S(0)=8S(0)=8. מצאו את aa, והראו כי S(t+1)=3⋅S(t)S(t+1)=3\cdot S(t) לכל tt. מה המשמעות של השוויון לגבי שטח המשולש כאשר מזיזים את הנקודה AA לאורך הגרף?

ג.

מצאו את tt שעבורו המשולש ABCABC שווה שוקיים. תנו תשובה מדויקת, ולאחר מכן קירוב עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

שאלה 10 · פונקציה מעריכית חיובית תמיד: גרפים שאינם נחתכיםשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=2xf(x)=2^x ו-g(x)=−x2+2x−1g(x)=-x^2+2x-1.

הראו כי גרפי הפונקציות f(x)f(x) ו-g(x)g(x) אינם נחתכים.

עוד 5 שאלות על הפונקציה y=aˣ: תכונות וגרף

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. פונקציות מעריכיות: חיתוכי שני גרפים קובעים את הקיצון של מנה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: k(x)=(x−2)exk(x)=(x-2)e^x, ונתונה הפונקציה: m(x)=ex−1m(x)=e^x-1, המוגדרות לכל xx.

  2. חקירת מנה מעריכית עם פרמטר: טענה על אינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=ex+3xex−x+bf(x)=\frac{e^x+3x}{e^x-x}+b, המוגדרת לכל xx. bb הוא פרמטר.

  3. מנה של ביטויים ב- עם פרמטר: גרף הנגזרת והערכת אינטגרל לפי קעירות (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=2e2x+6exe2x+3+bf(x)=\frac{2e^{2x}+6e^x}{e^{2x}+3}+b, המוגדרת לכל xx. bb הוא פרמטר.

  4. הבסיס של הפונקציה a בחזקת |x| מתוך מיתר אופקי (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה g(x)=a∣x∣g(x)=a^{|x|}, כאשר a>0a>0 ו-a≠1a\neq 1. הישר y=9y=9 חותך את גרף הפונקציה g(x)g(x) בשתי נקודות, AA ו-BB. אורך הקטע ABAB הוא…

  5. זיהוי גרפים של פונקציות מעריכיות לפי הבסיס, ונקודות על ישר אופקי (שאלת ביניים · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם הגרפים I, II ו-III של הפונקציות f(x)=2xf(x)=2^x, g(x)=4xg(x)=4^x ו-h(x)=(12)xh(x)=\left(\frac12\right)^x, לא בהכרח בסדר זה.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (48)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.