מבחן לדוגמה: הפונקציה הלוגריתמית: חקירה - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את הפונקציה ההפוכה $f^{-1}(x)$ (הביעו באמצעות $a$ ו-$b$), ומצאו את האסימפטוטה האופקית של גרף $f^{-1}$.

ידוע כי לגרף $f^{-1}$ יש אסימפטוטה אופקית $y=2$, וכי הגרף עובר דרך הנקודה $(1,3)$. מצאו את $a$ ואת $b$, וחשבו את $f(e+2)$.

מצאו את $g(2)$ ואת $g'(2)$.

הביעו באמצעות $a$ את שיעורי נקודת הקיצון של $f$, וקבעו את סוגה.

מצאו את הערך של $a$ שעבורו ערך המקסימום של $f$ הוא $0$, ואת נקודת המקסימום במקרה זה.

הראו כי לכל $a>e^{\frac1e}$ מתקיים $\log_ax<x$ לכל $x>0$.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

הראו כי $f'(x)=1-\ln x$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. (היעזרו בכך ש-$x\ln x\to0$ כאשר $x\to0^+$.)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה והקעירות כלפי מטה של הפונקציה $f(x)$.

ידוע כי הפונקציה $f(x)$ חותכת את ציר ה-$x$ בנקודה אחת בלבד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\ln\big(f(x)-27\big)$, המוגדרת בתחום שבו $f(x)>27$.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

הראו כי $f'(x)=1-\ln x$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. (היעזרו בכך ש-$x\ln x\to0$ כאשר $x\to0^+$.)

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$.

הביעו באמצעות $t$ את המרחק של הנקודה $A$ מהישר $y=x$.

מצאו את הנקודה על גרף $f(x)$ הקרובה ביותר לישר $y=x$, ואת המרחק שלה מהישר.

מצאו את המרחק הקטן ביותר בין נקודה על גרף $f(x)$ לנקודה על גרף $g(x)$, ואת שתי הנקודות שבהן הוא מתקבל.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואת האסימפטוטה האופקית שלה.

הראו כי $f'(x)=2e^x\left(e^x-2\right)$, מצאו את נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה, והסבירו מדוע גרף $f(x)$ משיק לציר ה-$x$.

הראו כי $f(x)<4$ לכל $x<\ln2$, והסבירו מדוע $\int_{-2}^{-1}\ln\left(f(x)\right)dx<\ln4$.