דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: נגזרת של loga x - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על נגזרת של log_a x לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות עוסקות בפונקציות לוגריתמיות בבסיס כללי: log בבסיס 3 של ביטוי ריבועי, משיק לגרף log_a x שעובר דרך ראשית הצירים, פונקציה log_a x פחות x ונקודת הקיצון שלה, והפרש של שני לוגריתמים באותו בסיס. רוב השאלות ברמה בינונית, עם שאלה קלה ושתי קשות. מתאים לבוחן קצר או לשאלה במבחן, וכל שאלה כוללת פתרון מלא וייצוא לוורד.

9 שאלותקלה: 1בינונית: 6קשה: 2

שאלה 1 · נגזרת של loga xשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡3(x2+5)f(x)=\log_3\left(x^2+5\right).

-4-3-2-11234123

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x=2.

שאלה 2 · נגזרת של loga xשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x, כאשר a>1a>1 הוא פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=x0x=x_0 עובר דרך ראשית הצירים, ושיפועו 13e\frac{1}{3e}.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה ואת ערך הפרמטר aa.

שאלה 3 · הנקודה שבה שיפוע המשיק לגרף לוגריתם בבסיס a הוא הגדול ביותרשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡a(x2+9)f(x)=\log_a\left(x^2+9\right), כאשר a>1a>1 הוא פרמטר.

מצאו את שיעור ה-xx של הנקודה שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא הגדול ביותר. נמקו.

שאלה 4 · נגזרת של loga xשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡a(x2+9)f(x)=\log_a\left(x^2+9\right), כאשר a>1a>1 הוא פרמטר.

א.

מצאו את שיעור ה-xx של הנקודה שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא הגדול ביותר. נמקו.

ב.

נתון כי השיפוע הגדול ביותר של משיק לגרף הפונקציה הוא 19\frac19. מצאו את aa.

שאלה 5 · לוגריתם בבסיס a מול הישר y=x: ערך המקסימום של ההפרש כתלות בבסיסשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡ax−xf(x)=\log_ax-x, המוגדרת בתחום x>0x>0, כאשר a>1a>1 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aa את שיעורי נקודת הקיצון של ff, וקבעו את סוגה.

ב.

מצאו את הערך של aa שעבורו ערך המקסימום של ff הוא 00, ואת נקודת המקסימום במקרה זה.

ג.

הראו כי לכל a>e1ea>e^{\frac1e} מתקיים log⁡ax<x\log_ax<x לכל x>0x>0.

שאלה 6 · נגזרת של loga xשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x, כאשר a>1a>1 הוא פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=e2x=e^2 חותך את ציר ה-yy בנקודה (0,14)\left(0,\frac14\right).

א.

מצאו את aa.

ב.

מצאו את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-xx.

שאלה 7 · נגזרת של loga xשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡ax−log⁡a(x2+25)f(x)=\log_a x-\log_a\left(x^2+25\right), המוגדרת עבור x>0x>0, כאשר a>0a>0, a≠1a\ne1 הוא פרמטר.

א.

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של הפונקציה.

ב.

נתון כי נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום, וערך הפונקציה בה הוא −12-\frac12. מצאו את aa.

שאלה 8 · נקודת קיצון של הפרש לוגריתמים בבסיס כללי שאינה תלויה בבסיסשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡ax−log⁡a(x2+25)f(x)=\log_a x-\log_a\left(x^2+25\right), המוגדרת עבור x>0x>0, כאשר a>0a>0, a≠1a\ne1 הוא פרמטר.

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של הפונקציה.

שאלה 9 · סכום של שני לוגריתמים בבסיס 2: נקודת קיצון ומשיק בשיפוע נתוןשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=log⁡2x+log⁡2(4−x)f(x)=\log_2x+\log_2(4-x).

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

הראו כי f′(x)=2(2−x)x(4−x)ln⁡2f'(x)=\frac{2(2-x)}{x(4-x)\ln2}, ומצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ג.

מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה שבה המשיק מקביל לישר y=23ln⁡2xy=\frac{2}{3\ln2}x.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.