שאלות פתוחות: הלוגריתם הטבעי ln x - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הלוגריתם הטבעי ln x לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות תחום הגדרה וערך מינימלי של ln על ביטוי ריבועי עם פרמטר, פונקציה ln x ועוד ln(a-x), זוג מספרים שמקיימים שוויון לוגריתמי מפתיע, בעיה מילולית על שני חומרים במבחנה שכמותם משתנה בזמן, ופונקציות עם eˣ שבהן פותרים בעזרת ln. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. השאלות מתאימות לדף עבודה לפני חקירת פונקציות לוגריתמיות, ולכל אחת יש פתרון מלא שאפשר לייצא לוורד.

22 שאלותקלה: 6בינונית: 12קשה: 4

שאלה 1 · הלוגריתם הטבעי ln xשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−2bx+b2+4)f(x)=\ln\left(x^2-2bx+b^2+4\right)f(x)=ln(x2−2bx+b2+4), כאשר bbb פרמטר.

א.

הראו כי הפונקציה מוגדרת לכל xxx, ומצאו את שיעורי נקודת המינימום של fff (הביעו באמצעות bbb).

ב.

הראו כי משוואת המשיק לגרף fff בנקודת המינימום אינה תלויה ב-bbb, ומצאו אותה.

שאלה 2 · הלוגריתם הטבעי ln xשאלה קצרה · בינונית

במבחנה נמצאים שני חומרים. כמות החומר AAA (בגרמים) קטנה עם הזמן לפי A(t)=100e−0.2tA(t)=100e^{-0.2t}A(t)=100e−0.2t, וכמות החומר BBB (בגרמים) גדלה לפי B(t)=25e0.1tB(t)=25e^{0.1t}B(t)=25e0.1t, כאשר t≥0t\ge0t≥0 הוא הזמן בשעות.

א.

באיזה רגע כמויות שני החומרים שוות? מהי הכמות של כל חומר באותו רגע?

ב.

באיזה רגע קצב הירידה של כמות החומר AAA שווה לקצב הגדילה של כמות החומר BBB?

שאלה 3 · הפרמטר ב- $x^{2} e^{a - x^{3}}$ : מספר פתרונות, נקודות פיתול של קדומה ואסימפטוטהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2ea−x3f(x)=x^2e^{a-x^3}f(x)=x2ea−x3 המוגדרת לכל xxx, aaa הוא פרמטר.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות aaa במידת הצורך).

ב.

מצאו את תחום הערכים של aaa שבעבורו למשוואה f(x)=1f(x)=1f(x)=1 יש בדיוק שלושה פתרונות.

ג.

הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא נגזרת של הפונקציה g(x)g(x)g(x). נסמן ב-B וב-D את נקודות הפיתול של g(x)g(x)g(x), כאשר הערך של ggg ב-B גבוה מהערך שלה ב-D. נתון כי ההפרש בין שיעור ה-yyy של B לשיעור ה-yyy של D הוא e−e33\frac{e-\sqrt[3]{e}}{3}3e−3e​​.

מצאו את aaa.

ד.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם. נתון כי הישר y=1y=1y=1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

מצאו את g(x)g(x)g(x) ואת נקודת החיתוך של הגרף שלה עם ציר ה-yyy.

שאלה 4 · הלוגריתם הטבעי ln xשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(15+2x−x2)f(x)=\ln\left(15+2x-x^2\right)f(x)=ln(15+2x−x2).

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת המקסימום של הפונקציה, ואת ערכה.

שאלה 5 · הלוגריתם הטבעי ln xשאלה קצרה · בינונית

מספרים חיוביים aaa ו-bbb מקיימים ln⁡(a+b)=ln⁡a+ln⁡b\ln(a+b)=\ln a+\ln bln(a+b)=lna+lnb.

א.

הביעו את bbb באמצעות aaa, ומצאו לאילו ערכים של aaa קיים bbb חיובי כזה.

ב.

מצאו את aaa ואת bbb אם ידוע בנוסף כי a=ba=ba=b.

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם שתי אסימפטוטות: מספר פתרונות ושטח הפוךשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=2e2xe2x−6ex+8f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-6e^x+8}f(x)=e2x−6ex+82e2x​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודת הקיצון שלה.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=6exe2x−6ex+8g(x)=\frac{6e^x}{e^{2x}-6e^x+8}g(x)=e2x−6ex+86ex​. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

ג.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m לכל ערך של mmm.

ד.

השטח הכלוא בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) ובין הישרים x=ln⁡5x=\ln5x=ln5 ו-x=ln⁡dx=\ln dx=lnd (d>5d>5d>5) שווה ל-ln⁡3\ln3ln3. מצאו את ddd.

שאלה 7 · שתי פונקציות מעריכיות: חקירה, זיהוי גרפים ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=2e2xe2x−6ex+5f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-6e^x+5}f(x)=e2x−6ex+52e2x​ ו-g(x)=6exe2x−6ex+5g(x)=\frac{6e^x}{e^{2x}-6e^x+5}g(x)=e2x−6ex+56ex​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה המשותף של הפונקציות.

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

(3)

הראו כי f′(x)=4e2x(5−3ex)(e2x−6ex+5)2f'(x)=\frac{4e^{2x}\left(5-3e^x\right)}{\left(e^{2x}-6e^x+5\right)^2}f′(x)=(e2x−6ex+5)24e2x(5−3ex)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

ג.

(1)

הראו כי f(x)−g(x)=2e2x−6exe2x−6ex+5f(x)-g(x)=\frac{2e^{2x}-6e^x}{e^{2x}-6e^x+5}f(x)−g(x)=e2x−6ex+52e2x−6ex​, וכי המונה של הביטוי הוא הנגזרת של המכנה שלו.

לפניכם סרטוט הגרפים של שתי הפונקציות. כל אחד מהחלקים של הגרפים מסומן בספרה.
345612

(2)

רשמו לאיזו פונקציה שייך כל אחד מהחלקים. נמקו בעזרת הסימן של f(x)−g(x)f(x)-g(x)f(x)−g(x) בכל קטע ובעזרת סעיף ב.

ד.

היעזרו בסעיף ג(1) וחשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) ובין הישרים x=ln⁡6x=\ln6x=ln6 ו-x=ln⁡10x=\ln10x=ln10.

שאלה 8 · הלוגריתם הטבעי ln xשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡x+ln⁡(a−x)f(x)=\ln x+\ln(a-x)f(x)=lnx+ln(a−x), כאשר a>0a>0a>0 פרמטר.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של fff, ומצאו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה (הביעו באמצעות aaa).

ב.

נתון כי הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 222. מצאו את aaa.

שאלה 9 · הוכחת אי-זוגיות של לוגריתם טבעי בעזרת הכפלה בצמודשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+x2+1)f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)f(x)=ln(x+x2+1​). ידוע כי הפונקציה מוגדרת לכל xxx.

הראו כי fff היא פונקציה אי-זוגית.

שאלה 10 · תחום ההגדרה של לוגריתם טבעי של ביטוי ריבועישאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(15+2x−x2)f(x)=\ln\left(15+2x-x^2\right)f(x)=ln(15+2x−x2).

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

עוד 7 שאלות על הלוגריתם הטבעי ln x

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הלוגריתם הטבעי ln x (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ . ידוע כי הפונקציה מוגדרת ועולה לכל $x$ .
תחום ההגדרה, נקודת האפס ותחומי הסימן של ln של מינוס מנה של לוגריתמים (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1+\ln x}{\ln x}$ . ידוע כי $f$ יורדת בכל אחד מהתחומים $0<x<1$ ו- $x>1$ .
פונקציה לוגריתמית רציונלית: חקירה, זיהוי גרף בלי צירים ומלבן (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\ln(x)}{(\ln(x))^2-1}$ .
שתי פונקציות מעריכיות עם מכנה משותף: חקירה, זיהוי גרפים ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-7e^x+6}$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית: פונקציה קדומה עם נקודת פיתול, ln|g| וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac1x\left(a+\frac{2}{(\ln x-1)^2}\right)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
מספרים שהלוגריתם של סכומם שווה לסכום הלוגריתמים (שאלה קצרה · בינונית)
מספרים חיוביים $a$ ו- $b$ מקיימים $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ .
נקודות חיתוך ואי-שוויון בין ריבוע של ln x לבין ביטוי ליניארי ב-ln x (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=1+(\ln x)^2$ ו- $g(x)=3-\ln x$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה לוגריתמית רציונלית: חקירה, זיהוי גרף בלי צירים ומלבן · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(\ln(x))^2}{(\ln(x))^2-1}$ .
שתי פונקציות מעריכיות עם מכנה משותף: חקירה, זיהוי גרפים ושטח · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-5e^x+4}$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית: פונקציה קדומה עם נקודת פיתול, ln|g| וזיהוי גרף · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 5
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac1x\left(a+\frac{1}{(\ln x)^2}\right)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

תחום ההגדרה של ln(f(x)) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln(b-x)$ , כאשר $b$ פרמטר. גרף הפונקציה עובר בנקודה $(2,0)$ .
אי-שוויונות עם ln (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln(x-a)$ , כאשר $a$ פרמטר.