שאלות פתוחות: טריגונומטריה במרחב: מנסרה ופירמידה - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על טריגונומטריה במרחב במנסרה ובפירמידה, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות עוסקות בזווית בין מישור אלכסוני למישור הבסיס במנסרה משולשת ישרה, בזווית בין פאות צדדיות בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, בזווית בין מקצוע צדדי לבסיס בפירמידה משולשת ישרה, ובפירמידה שבסיסה מלבן ומקצוע אחד מאונך לבסיס. רוב השאלות ברמה קלה, ויש גם בינוניות וקשות. אפשר לבחור מהן למבחן או לדף עבודה, וכל שאלה כוללת פתרון מלא וייצוא לוורד.

32 שאלותקלה: 25בינונית: 3קשה: 4

שאלה 1 · טריגונומטריה במרחב: מנסרה ופירמידהשאלה קצרה · קלה

נתונה מנסרה משולשת ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ שבסיסה משולש שווה-צלעות שאורך צלעו aaa. הזווית בין המישור A′BCA'BCA′BC למישור הבסיס ABCABCABC היא 60∘60^\circ60∘. MMM אמצע BCBCBC (ראו ציור).
ABCA'B'C'M

א.

הביעו באמצעות aaa את גובה המנסרה.

ב.

מצאו את הזווית בין המקצוע A′BA'BA′B למישור הבסיס.

שאלה 2 · טריגונומטריה במרחב: מנסרה ופירמידהשאלה קצרה · בינונית

הבסיס של המנסרה הישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים: ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘ ו-AC=BC=4AC=BC=4AC=BC=4. גובה המנסרה הוא AA′=42AA'=4\sqrt{2}AA′=42​ (ראו ציור).
ABCA'B'C'

א.

מצאו את הזווית בין האלכסון A′BA'BA′B למישור הפאה BCC′B′BCC'B'BCC′B′.

ב.

מצאו את הזווית בין האלכסון A′BA'BA′B למישור הבסיס ABCABCABC.

שאלה 3 · טריגונומטריה במרחב: מנסרה ופירמידהשאלה קצרה · קשה

בפירמידה ישרה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ריבוע, הזווית בין כל פאה צדדית למישור הבסיס היא α\alphaα. נסמן ב-β\betaβ את הזווית בין שתי פאות צדדיות סמוכות, למשל בין הפאה SABSABSAB לפאה SBCSBCSBC (הזווית נמדדת בתוך הפירמידה). OOO מרכז הבסיס, MMM אמצע ABABAB, ו-FFF היא עקב האנך מ-AAA למקצוע SBSBSB (ראו ציור).
ABCDSOMF

א.

הביעו את cos⁡β\cos\betacosβ באמצעות α\alphaα.

ב.

חשבו את β\betaβ עבור α=60∘\alpha=60^\circα=60∘.

שאלה 4 · טריגונומטריה במרחב: מנסרה ופירמידהשאלה קצרה · קלה

נתונה פירמידה משולשת ישרה SABCSABCSABC: הבסיס ABCABCABC הוא משולש שווה-צלעות שאורך צלעו 666 ס"מ, ואורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים הוא 555 ס"מ. OOO מרכז הבסיס ו-MMM אמצע BCBCBC (ראו ציור).
ABCSOM

מצאו את הזווית בין פאה צדדית למישור הבסיס.

שאלה 5 · טריגונומטריה במרחב: מנסרה ופירמידהשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה משולשת ישרה SABCSABCSABC הבסיס ABCABCABC הוא משולש שווה-צלעות, ועקב הגובה OOO הוא מרכז הבסיס. הזווית בין המקצוע הצדדי SASASA למישור הבסיס היא 60∘60^\circ60∘. MMM אמצע BCBCBC (ראו ציור).
ABCSOM

א.

מצאו את הזווית בין פאה צדדית למישור הבסיס.

ב.

מצאו את הזווית בין שני מקצועות צדדיים, ∠ASB\angle ASB∠ASB.

שאלה 6 · זווית בין שני מקצועות צדדיים בפירמידה משולשת ישרהשאלה קצרה · קשה

בפירמידה משולשת ישרה SABCSABCSABC הבסיס ABCABCABC הוא משולש שווה-צלעות, ועקב הגובה OOO הוא מרכז הבסיס. הזווית בין המקצוע הצדדי SASASA למישור הבסיס היא 60∘60^\circ60∘. MMM אמצע BCBCBC (ראו ציור).
ABCSOM

מצאו את הזווית בין שני מקצועות צדדיים, ∠ASB\angle ASB∠ASB.

שאלה 7 · גובה, זווית פאה וזווית מקצוע בפירמידה ריבועית ישרהשאלת ביניים · בינונית

SABCDSABCDSABCD היא פירמידה ישרה שבסיסה הריבוע ABCDABCDABCD, שאורך צלעו 6 ס"מ. OOO הוא מרכז הבסיס (עקב הגובה של הפירמידה), ו-MMM הוא אמצע הצלע BCBCBC. גובה הפאה הצדדית, SMSMSM, הוא 5 ס"מ (ראו סרטוט).
בתשובות שאינן שלמות עגלו את הזוויות לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
ABCDSOM

א.

מצאו את גובה הפירמידה SOSOSO ואת הזווית בין הפאה הצדדית SBCSBCSBC לבין מישור הבסיס.

ב.

מצאו את אורך המקצוע הצדדי SCSCSC ואת הזווית בין המקצוע SCSCSC לבין מישור הבסיס.

ג.

מצאו את הזווית ∠BSC\angle BSC∠BSC שבין שני מקצועות צדדיים סמוכים.

שאלה 8 · זוויות של פאה, מקצוע ומישור אלכסוני עם הבסיס בפירמידה שמקצוע שלה ניצב לבסיסשאלת ביניים · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCDSABCD שבסיסה המלבן ABCDABCDABCD, והמקצוע SASASA מאונך למישור הבסיס. נתון: AB=6AB=6AB=6 ס"מ, AD=8AD=8AD=8 ס"מ, והזווית בין הפאה SCDSCDSCD לבין מישור הבסיס היא 45∘45^\circ45∘.
בתשובות שאינן שלמות עגלו את הזוויות לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
ABCDS

א.

הסבירו מדוע הזווית בין הפאה SCDSCDSCD לבין מישור הבסיס היא ∠SDA\angle SDA∠SDA, ומצאו את גובה הפירמידה SASASA.

ב.

מצאו את הזווית בין המקצוע SCSCSC לבין מישור הבסיס.

ג.

מצאו את הזווית בין המישור SBDSBDSBD לבין מישור הבסיס.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (24)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מנסרה: בסיס, פאה, מקצוע, אלכסון וגובה (שאלה קצרה · קלה)
במנסרה משופעת $ABCA'B'C'$ הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר זווית שבו $\angle ACB=90^\circ$ , $AC=6$ , $BC=8$ . עקב האנך…
פירמידה: קודקוד הראש, בסיס, פאות, מקצועות וגובה (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה $SABC$ המקצוע $SA$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . בבסיס $\angle ABC=90^\circ$ , $AB=8$ , $BC=6$ . שטח הפאה…
מנסרה: בסיס, פאה, מקצוע, אלכסון וגובה (שאלה קצרה · קלה)
במנסרה משופעת $ABCA'B'C'$ הבסיס $ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו $6$ . עקב האנך מהקודקוד $A'$ למישור הבסיס…
מנסרה: בסיס, פאה, מקצוע, אלכסון וגובה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה מנסרה ישרה שבסיסה משושה משוכלל שאורך צלעו $4$ . גובה המנסרה הוא $6$ . (אלכסון של מנסרה הוא קטע שמחבר שני…
מנסרה: בסיס, פאה, מקצוע, אלכסון וגובה (שאלה קצרה · קשה)
בשרטוט מנסרה משופעת $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו $6$ . עקב האנך מהקודקוד $A'$ למישור הבסיס…
מקבילון, תיבה וקובייה (שאלה קצרה · קלה)
בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB<AD$ . אורך אלכסון המלבן הוא $10$ , והזווית החדה בין אלכסוני…
מקבילון, תיבה וקובייה (שאלה קצרה · קלה)
אורך האלכסון של הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ הוא $6$ .
מנסרה ישרה (שאלה קצרה · קלה)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים שבו $\angle BAC=90^\circ$ ו- $AB=AC=5$ …
מנסרה ישרה (שאלה קצרה · קלה)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר זווית ( $\angle ACB=90^\circ$ ). נתון: $AB=\sqrt{117}$ ס"מ,…
מנסרה ישרה (שאלה קצרה · קלה)
בסיס של מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הוא משולש ישר זווית שבו $\angle ACB=90^\circ$ , $AC=6$ ו- $BC=10$ . שטח המשולש…
פירמידה: קודקוד הראש, בסיס, פאות, מקצועות וגובה (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה $SABC$ הבסיס $ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו $6$ , והמקצוע $SA$ מאונך למישור הבסיס. נתון:…
פירמידה: קודקוד הראש, בסיס, פאות, מקצועות וגובה (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה $SABCD$ שבשרטוט הבסיס הוא המלבן $ABCD$ , והמקצוע $SA$ מאונך למישור הבסיס. נתון: $AB=3$ , $AD=4$ ,…
פירמידה ישרה ותכונת הגובה (שאלה קצרה · קלה)
בסיס הפירמידה הישרה $SABC$ הוא משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) שבו $\angle BAC=120^\circ$ . גובה הפירמידה הוא…
פירמידה ישרה ותכונת הגובה (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה $SABCD$ הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=6$ ו- $BC=8$ . נתון: $SA=SB=SC=13$ .
פירמידה ישרה ותכונת הגובה (שאלה קצרה · קלה)
בסיס הפירמידה הישרה $SABCDEF$ הוא משושה משוכלל $ABCDEF$ שאורך צלעו $4$ . נתון: $\angle ASD=90^\circ$ .
פירמידה ישרה ותכונת הגובה (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה ריבוע $ABCD$ , אורך צלע הבסיס הוא $6\sqrt2$ ס"מ ואורך מקצוע צדדי הוא $10$ ס"מ.
שטח מעטפת ושטח פנים של מנסרה ופירמידה (שאלה קצרה · קלה)
גובה של פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע הוא $6$ ס"מ. שטח המעטפת של הפירמידה גדול פי $\frac54$ משטח הבסיס שלה.
שטח מעטפת ושטח פנים של מנסרה ופירמידה (שאלה קצרה · קלה)
בסיס של פירמידה ישרה הוא ריבוע שאורך צלעו $10$ . שטח הפנים של הפירמידה הוא $360$ .
נפח מנסרה (שאלה קצרה · קלה)
בסיס המנסרה הישרה $ABCDA'B'C'D'$ הוא מעוין שאורך צלעו $5$ ס"מ. אורכי שני האלכסונים של המנסרה הם $AC'=10$ ס"מ…
נפח פירמידה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה הריבוע $ABCD$ , שאורך צלעו $6$ ס"מ. הזווית בין המקצוע הצדדי $SA$ לבין אלכסון…
זיהוי הגובה וחישובו בגוף שאינו ישר (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה $SABC$ הבסיס $ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו $6$ ס"מ. $M$ היא אמצע הצלע $BC$ , והקטע $SM$ מאונך…
נפח מנסרה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ ריבוע. אורך אלכסון התיבה הוא $9$ ס"מ, ואורך האלכסון של כל פאה צדדית…
נפח פירמידה (שאלה קצרה · קלה)
נתון ארבעון משוכלל (פירמידה משולשת שכל מקצועותיה שווים) שאורך כל אחד ממקצועותיו הוא $6$ ס"מ.
זיהוי הגובה וחישובו בגוף שאינו ישר (שאלה קצרה · קלה)
במנסרה $ABCA'B'C'$ הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר זווית שבו $\angle ACB=90^\circ$ , $AC=6$ ס"מ ו- $BC=8$ ס"מ. הקודקוד…