שאלות פתוחות: חוצה זווית - כיתה ז'

תרגול בשאלות פתוחות על חוצה זווית לכיתה ז': חישוב זוויות כשקרן חוצה זווית, וסרטוט חוצה זווית. יש שאלות עם כמה קרניים שיוצאות מנקודה אחת וחוצים של זוויות סמוכות, מציאת נעלם שמייצג מספר מעלות, זווית בין מחוגי שעון, ושאלה פתוחה שבה מחפשים איפה למקם קרן שלישית כך שאחת הקרניים תחצה את הזווית. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו את השאלות לבוחן או לדף עבודה, וקבלו פתרון מלא לכל אחת וקובץ Word.

34 שאלותרמה א': 15רמה ב': 10מצוינות: 9

שאלה 1 · אילו זוויות נותן חוצה של זווית חדה?שאלה קצרה · רמה א'

הזווית ∠KLM\angle KLM∠KLM היא זווית חדה. מסרטטים את חוצה הזווית ∠KLM\angle KLM∠KLM.
LMK

א.

אילו זוויות מתקבלות? הקיפו את התשובה הנכונה והסבירו.
(1) שתי זוויות חדות, כל אחת מהן קטנה מ-45∘45^\circ45∘
(2) שתי זוויות חדות, כל אחת מהן גדולה מ-45∘45^\circ45∘
(3) שתי זוויות ישרות
(4) זווית אחת חדה וזווית אחת קהה

ב.

האם ייתכן שחוצה של זווית חדה יוצר זווית של 50∘50^\circ50∘ עם אחת משוקי הזווית? נמקו.

שאלה 2 · חוצה זווית: סימון וחישובשאלה קצרה · רמה ב'

הקרן OMOMOM חוצה את הזווית ∠AOB\angle AOB∠AOB. הקשתות השוות מסמנות זוויות שוות.
נתון: ∠AOB=76∘\angle AOB = 76^\circ∠AOB=76∘.
OAMB

א.

כתבו בסימון מתמטי את השוויון בין שתי הזוויות שנוצרו מהחוצה.

ב.

חשבו את ∠AOM\angle AOM∠AOM ואת ∠MOB\angle MOB∠MOB.

שאלה 3 · קרן שלישית: כל האפשרויותשאלה קצרה · מצוינות

מהנקודה OOO יוצאות הקרניים OAOAOA ו-OBOBOB, ונתון: ∠AOB=70∘\angle AOB = 70^\circ∠AOB=70∘.
מסרטטים קרן שלישית OCOCOC, כך שאחת משלוש הקרניים OAOAOA, OBOBOB, OCOCOC חוצה את הזווית שבין שתי הקרניים האחרות.
(בשאלה זו כל זווית קטנה מזווית שטוחה או שווה לה.)
OAB

א.

מצאו את כל הגדלים האפשריים של ∠AOC\angle AOC∠AOC. סרטטו סקיצה לכל אפשרות.

ב.

אילו היה נתון ∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ∠AOB=100∘, כמה אפשרויות היו? הסבירו.

שאלה 4 · נעלם בחוצה זוויתשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף מצאו את הנעלם. הנעלם מייצג מספר מעלות.

א.

הקרן OBOBOB חוצה את ∠AOC\angle AOC∠AOC. נתון: ∠AOC=108∘\angle AOC = 108^\circ∠AOC=108∘, ∠AOB=3x\angle AOB = 3x∠AOB=3x.
OABC

ב.

הקרן EGEGEG חוצה את ∠DEF\angle DEF∠DEF. נתון: ∠DEF=80∘\angle DEF = 80^\circ∠DEF=80∘, ∠DEG=y+15∘\angle DEG = y + 15^\circ∠DEG=y+15∘.

שאלה 5 · חוצה הזווית בין מחוגי השעוןשאלה קצרה · רמה ב'

בשעה ארבע בדיוק המחוג הקטן של השעון מצביע על המספר 444, והמחוג הגדול מצביע על המספר 121212. הזווית בין המחוגים היא 120∘120^\circ120∘.
רוני סרטטה קרן שיוצאת ממרכז השעון וחוצה את הזווית שבין המחוגים.

א.

מה הזווית בין הקרן של רוני לבין כל אחד מהמחוגים?

ב.

על איזה מספר בשעון מצביעה הקרן של רוני? הסבירו.

שאלה 6 · הזווית בין שני חוציםשאלת ביניים · מצוינות

מהנקודה OOO יוצאות הקרניים OAOAOA, OBOBOB, OCOCOC, והקרן OBOBOB נמצאת בתוך ∠AOC\angle AOC∠AOC. הקרן OMOMOM חוצה את ∠AOB\angle AOB∠AOB, והקרן ONONON חוצה את ∠BOC\angle BOC∠BOC.
(בשאלה זו כל זווית קטנה מזווית שטוחה או שווה לה.)
OAMBNC

א.

נתון: ∠AOB=36∘\angle AOB = 36^\circ∠AOB=36∘, ∠BOC=84∘\angle BOC = 84^\circ∠BOC=84∘. חשבו את ∠MON\angle MON∠MON.

ב.

במקרה אחר נתון רק ∠AOC=130∘\angle AOC = 130^\circ∠AOC=130∘, ולא ידוע איפה בדיוק נמצאת OBOBOB. הסבירו למה אפשר בכל זאת לחשב את ∠MON\angle MON∠MON, וחשבו אותה.

ג.

האם ייתכן ש-∠MON=100∘\angle MON = 100^\circ∠MON=100∘? נמקו.

שאלה 7 · האם הקרן היא חוצה זווית?שאלת ביניים · רמה א'

מהנקודה OOO יוצאות הקרניים OPOPOP, OQOQOQ, OROROR, OSOSOS, בסדר הזה.
נתון: OP⊥OROP \perp OROP⊥OR, ∠POS=120∘\angle POS = 120^\circ∠POS=120∘, והקרן OQOQOQ חוצה את ∠POR\angle POR∠POR.
?OPQRS

א.

חשבו את ∠POQ\angle POQ∠POQ ואת ∠QOR\angle QOR∠QOR.

ב.

חשבו את ∠ROS\angle ROS∠ROS.

ג.

האם הקרן OROROR חוצה את ∠QOS\angle QOS∠QOS? נמקו. אם לא, בכמה מעלות צריך לסובב את הקרן OSOSOS (והשאר נשארות במקומן) כדי ש-OROROR תחצה את ∠QOS\angle QOS∠QOS, ולאיזה כיוון?

שאלה 8 · קיפול זווית ישרה על מערכת ציריםשאלת ביניים · רמה ב'

על דף משבצות מסורטטת מערכת צירים. מהנקודה P(2,1)P(2,1)P(2,1) יוצאות שתי קרניים: אחת דרך Q(7,1)Q(7,1)Q(7,1) ואחת דרך R(2,6)R(2,6)R(2,6).
xy01234567801234567PQR

א.

איזה סוג זווית היא ∠QPR\angle QPR∠QPR, ומה גודלה? הסבירו.

ב.

מקפלים את הדף לאורך קו שעובר דרך PPP, כך שהקרן PQPQPQ מונחת בדיוק על הקרן PRPRPR. מה הזווית בין קו הקיפול לבין PQPQPQ, ומה הזווית בין קו הקיפול לבין PRPRPR?

ג.

קו הקיפול עובר באלכסונים של המשבצות: מ-PPP צעד אחד ימינה וצעד אחד למעלה, ושוב כך. אילו מהנקודות הבאות נמצאות על קו הקיפול? (4,3)(4,3)(4,3), (5,5)(5,5)(5,5), (6,5)(6,5)(6,5), (3,4)(3,4)(3,4)

שאלה 9 · מצלמת אבטחה בפינת חנותשאלה מלאה · מצוינות

בפינה של חנות, במקום שבו שני קירות נפגשים, מותקנת מצלמת אבטחה. במבט מלמעלה המצלמה היא הנקודה OOO, והקירות הם הקרניים OAOAOA ו-OBOBOB.
המצלמה רואה בכל רגע זווית של 50∘50^\circ50∘, שהקצוות שלה הם OKOKOK ו-OLOLOL. הקרן OMOMOM, "קו המרכז" של המצלמה, חוצה את זווית הראייה ∠KOL\angle KOL∠KOL.
נתון: ∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ∠AOB=90∘.
OABKLM

א.

מתקינים את המצלמה כך שקו המרכז OMOMOM חוצה גם את זווית הפינה ∠AOB\angle AOB∠AOB. מה הזווית בין קו המרכז לבין כל אחד מהקירות?

ב.

בתנוחה של סעיף א, מה הזווית בין כל אחד מקצות שדה הראייה לבין הקיר הקרוב אליו? (זה האזור שהמצלמה לא רואה ליד הקיר.)

ג.

מסובבים את המצלמה עד שהקצה OKOKOK מונח בדיוק על הקיר OAOAOA. מה הזווית בין קו המרכז לקיר OAOAOA עכשיו? האם קו המרכז עדיין חוצה את ∠AOB\angle AOB∠AOB?

ד.

בפינה אחרת של החנות הקירות יוצרים זווית של 130∘130^\circ130∘. שם מתקינים מצלמה עם זווית ראייה של 70∘70^\circ70∘, וקו המרכז שלה חוצה את זווית הפינה. מה הזווית בין כל קצה של שדה הראייה לבין הקיר הקרוב אליו?

ה.

בעל החנות טוען: "בכל פינה, אם קו המרכז חוצה את זווית הפינה, האזור שהמצלמה לא רואה ליד כל קיר הוא חצי מההפרש בין זווית הפינה לבין זווית הראייה." האם הוא צודק? הסבירו, ובדקו את הטענה על סעיפים ב ו-ד.

שאלה 10 · קיפול משושה לאורך אלכסוניםשאלת ביניים · רמה א'

גזרו מנייר משושה משוכלל ABCDEFABCDEFABCDEF: כל הצלעות שלו שוות, וכל זווית שלו היא 120∘120^\circ120∘. מהקודקוד AAA יוצאים האלכסונים ACACAC, ADADAD, AEAEAE.
ABCDEF

א.

מקפלים את המשושה לאורך האלכסון ADADAD, ושני החלקים מונחים בדיוק זה על זה. האם ADADAD חוצה את ∠FAB\angle FAB∠FAB? מה גודלה של ∠BAD\angle BAD∠BAD?

ב.

נתון: ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ∠BAC=30∘. האם האלכסון ACACAC חוצה את ∠FAB\angle FAB∠FAB? האם הוא חוצה את ∠BAD\angle BAD∠BAD? נמקו בחישוב.

ג.

בגלל הקיפול לאורך ADADAD, גם ∠FAE=30∘\angle FAE = 30^\circ∠FAE=30∘. חשבו את ∠CAE\angle CAE∠CAE, וקבעו אם ADADAD חוצה אותה.

עוד 24 שאלות על חוצה זווית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חוצים פרוסות פיצה (שאלה מלאה · רמה ב')
חותכים פיצה עגולה בחיתוכים ישרים שעוברים במרכז שלה. הזווית של פרוסה היא הזווית שבמרכז הפיצה, בין שני החיתוכים של הפרוסה.
תמיד, לפעמים או אף פעם: חוצה וסוגי זוויות (שאלה קצרה · מצוינות)
לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם, והסבירו. הזווית שנחצית יכולה להיות חדה, ישרה, קהה או שטוחה.
שני קיפולים של זווית מנייר (שאלה מלאה · רמה א')
שירה גזרה מנייר זווית $\angle ABC$ שגודלה $120^\circ$ . היא קיפלה את הנייר כך שהשוק $BA$ מונחת בדיוק על השוק $BC$ , ופתחה. קו הקיפול הוא $BD$ .
חוצה של זווית קהה (שאלה קצרה · רמה ב')
זווית $DEF$ היא זווית קהה.
חוצה של זווית קהה: אילו ערכים יכולים להיות לנעלם? (שאלה קצרה · מצוינות)
הזווית $\angle AOC$ קהה, והקרן $OB$ חוצה אותה. נתון: $\angle AOB = 5x$ , ו- $x$ הוא מספר שלם של מעלות.
האם הקרן חוצה זווית? שלושה סרטוטים (שאלת ביניים · רמה א')
בכל אחד מהסרטוטים שלפניכם קבעו אם $AB$ הוא חוצה זווית. אם כן, כתבו מהי הזווית הנחצית:
קישור למערכת צירים: קיפול לאורך קו (שאלה מלאה · רמה ב')
גזרו מערכת צירים של הרביע הראשון.
מתי האלכסון של מלבן הוא קו הקיפול של הצירים? (שאלה קצרה · מצוינות)
על מערכת צירים מסרטטים מלבנים. לכל מלבן קודקוד אחד בראשית $O(0,0)$ , שתי צלעות על הצירים, והקודקוד שמול $O$ הוא נקודה $P$ . מקפלים את הדף…
גזירת מלבן לאורך האלכסון (שאלה מלאה · רמה א')
קחו מלבן שצלע שלו ארוכה פי 2 מהצלע האחרת. גזרו אותו במדויק לאורך האלכסון.
קיפול ריבוע לאורך האלכסון (שאלה מלאה · רמה ב')
קחו ריבוע וקפלו אותו במדויק לאורך האלכסון.
חוצים שוב ושוב (שאלת ביניים · מצוינות)
מתחילים מזווית $\angle AOB$ ו"חוצים" אותה: מסרטטים את חוצה הזווית שלה, ומשאירים רק את החצי שצמוד לשוק $OA$ . את החצי הזה חוצים שוב באותה דרך,…
מהחלקים אל הזווית השלמה (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף קרן חוצה זווית, ומכירים רק את החלקים שנוצרו.
נעלם בחלק של זווית שנחצתה (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף הנעלם מייצג מספר מעלות. מצאו אותו.
סכום החצאים והזווית בין החוצים (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה הזאת בודקים מתי סכום של שני חצאים הוא הזווית שבין שני חוצים.
חוצה וקרן נוספת מחוץ לזווית (שאלה קצרה · רמה א')
הקרן $OM$ חוצה את $\angle AOB$ , ונתון: $\angle AOM = 35^\circ$ . מהנקודה $O$ יוצאת גם קרן $OC$ מחוץ ל- $\angle AOB$ , כך ש- $OB$ נמצאת בין $OA$ …
חוצה של חוצה (שאלה קצרה · רמה ב')
הקרן $OC$ חוצה את $\angle AOB$ , והקרן $OD$ חוצה את $\angle AOC$ . נתון: $\angle AOB = 80^\circ$ .
שתי זוויות חופפות שסכומן שטוח: האם החוצים מאונכים? (שאלת ביניים · מצוינות)
מהנקודה $O$ יוצאות ארבע קרניים בסדר $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . הזוויות $\angle AOC$ ו- $\angle BOD$ חופפות בחלקן: הזווית $\angle BOC$ שייכת לשתיהן.…
קיפול מדויק וקיפול לא מדויק (שאלה קצרה · רמה א')
יוסי גזר מנייר זווית $\angle KLM$ שגודלה $110^\circ$ .
מהחוצה אל הנעלם, ובחזרה אל קרן חדשה (שאלת ביניים · רמה ב')
הקרן $OM$ חוצה את $\angle AOB$ . נתון: $\angle AOM = 30^\circ$ , ו- $\angle AOB = 4k$ .
שני ביטויים לאותו חלק, וקרן שנופלת על שוק (שאלת ביניים · רמה א')
הקרן $QS$ חוצה את $\angle PQR$ . נתון: $\angle PQR = 96^\circ$ .
חוצה בתוך חוצה (שאלת ביניים · רמה א')
מהנקודה $O$ יוצאות הקרניים $OA$ , $OB$ , $OC$ , $OD$ , בסדר הזה. נתון: $\angle AOD = 120^\circ$ . הקרן $OC$ חוצה את $\angle AOD$ , והקרן $OB$ חוצה…
ממטרות בגינה: קו האמצע (שאלה מלאה · רמה א')
בגינה ציבורית יש ממטרות שמסתובבות הלוך ושוב. כל ממטרה מרטיבה זווית שהקודקוד שלה בממטרה. הקרן שחוצה את הזווית הזאת נקראת קו האמצע של הממטרה.
מוטות בין להבים של מאוורר (שאלה מלאה · רמה א')
למאוורר תקרה יש שלושה להבים שיוצאים מהמרכז $O$ : $OA$ , $OB$ ו- $OC$ . במבט מלמטה, הזוויות בין כל שני להבים סמוכים שוות זו לזו, ושלוש הזוויות…
חלוקה לפי הפרש, ואחר כך שני חוצים (שאלת ביניים · רמה א')
נתון: $\angle AOB = 150^\circ$ . הקרן $OC$ נמצאת בתוך $\angle AOB$ , ו- $\angle AOC$ גדולה מ- $\angle COB$ ב- $50^\circ$ . הקרן $OM$ חוצה את…