שאלות פתוחות: זוויות במשולש שווה צלעות, שווה שוקיים וישר זווית - כיתה ז'

כאן מרוכזות שאלות פתוחות על זוויות במשולש שווה צלעות, שווה שוקיים וישר זווית לכיתה ז'. בין השאלות: הרכבה של משולשים ישרי זווית ושווי שוקיים, משולשים שווי צלעות שבנויים על קטע אחד, מגן דוד משני משולשים, חזית גג של מחסן, ומדידה של זוויות במשולשים שהתלמידים סרטטו. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו מהן לבוחן או למבחן בגאומטריה, עם פתרון מלא לכל שאלה והורדה לקובץ Word.

42 שאלותרמה א': 18רמה ב': 10מצוינות: 14

שאלה 1 · שלושה משולשים ישרי זווית ושווי שוקיים על ישרשאלה קצרה · רמה א'

נתונים שלושה משולשים זהים. כל אחד מהם הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים: שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה שוות זו לזו.

א.

קבעו נכון או לא נכון ונמקו: במשולש כזה שתי הזוויות החדות שוות זו לזו.

ב.

מניחים את שלושת המשולשים כך שיש להם קודקוד משותף PPP על הישר XYXYXY: מהמשולש הראשון זווית חדה, מהשני הזווית הישרה, ומהשלישי זווית חדה. שלוש הזוויות ממלאות בדיוק את הזווית השטוחה שבצד אחד של הישר, כמו בסרטוט.
ααXYPKLMNST
מהו הגודל במעלות של כל זווית חדה במשולש כזה? נמקו.

שאלה 2 · שני משולשים שווי צלעות זהים: הנחה וסיבובשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם שני משולשים שווי צלעות זהים, △ABC\triangle ABC△ABC ו-△DEF\triangle DEF△DEF. הנקודה HHH היא מרכז המשולש △DEF\triangle DEF△DEF.
ABCDEFH
גוזרים את △DEF\triangle DEF△DEF ומניחים אותו על △ABC\triangle ABC△ABC כך שהקודקוד DDD מונח על הקודקוד AAA, ושני המשולשים מתלכדים בדיוק.

א.

נועצים סיכה בנקודה HHH ומסובבים את △DEF\triangle DEF△DEF עד שהקודקוד DDD מונח על הקודקוד BBB. גם עכשיו המשולשים מתלכדים בדיוק. מה אפשר להסיק על ∠A\angle A∠A ועל ∠B\angle B∠B? הסבירו.

ב.

ממשיכים לסובב עד ש-DDD מונח על CCC, והמשולשים שוב מתלכדים. מה אפשר לומר על שלוש הזוויות של משולש שווה צלעות? האם הניסוי הזה מוכיח את המסקנה לכל משולש שווה צלעות?

שאלה 3 · שני משולשים שווי צלעות על קטע אחדשאלה קצרה · מצוינות

הנקודה DDD נמצאת על הקטע ABABAB. באותו צד של הקטע בנו שני משולשים שווי צלעות: △ADC\triangle ADC△ADC על הקטע ADADAD, ו-△DBE\triangle DBE△DBE על הקטע DBDBDB.
?ADBCE

א.

מצאו את ∠CDE\angle CDE∠CDE. נמקו כל שלב.

ב.

מזיזים את הנקודה DDD לנקודה אחרת על הקטע ABABAB ובונים מחדש את שני המשולשים שווי הצלעות. תמר טוענת: "כשהמשולשים בגדלים אחרים, גם ∠CDE\angle CDE∠CDE משתנה". האם תמר צודקת? הסבירו.

שאלה 4 · מדידות זוויות שגויות במשולשים מיוחדיםשאלה קצרה · רמה א'

בשיעור גאומטריה כל תלמיד סרטט משולש ומדד את זוויותיו במד זווית.

א.

רוני סרטט משולש שווה שוקיים KLMKLMKLM שבו KL=KMKL = KMKL=KM. הוא מדד וקיבל: ∠L=64∘\angle L = 64^\circ∠L=64∘, ∠M=58∘\angle M = 58^\circ∠M=58∘. הסבירו איך אפשר לדעת שרוני טעה לפחות באחת המדידות. אם המדידה של ∠L\angle L∠L נכונה, מה הגודל של ∠M\angle M∠M?

ב.

עידו סרטט משולש שווה צלעות DEFDEFDEF וקיבל במדידה: ∠D=60∘\angle D = 60^\circ∠D=60∘, ∠E=61∘\angle E = 61^\circ∠E=61∘, ∠F=59∘\angle F = 59^\circ∠F=59∘. מה הגודל המדויק של כל זווית במשולש? מה אפשר לומר על המדידות של עידו?

שאלה 5 · גג של מחסן: זוויות הבסיס במשולש שווה שוקייםשאלה קצרה · רמה ב'

חזית הגג של מחסן היא משולש ABCABCABC. שתי הקורות המשופעות שוות באורכן: AB=ACAB = ACAB=AC. הקורה האופקית BCBCBC ממשיכה מעבר לנקודה BBB עד הנקודה DDD, כך ש-DDD, BBB ו-CCC על ישר אחד.
נתון: ∠ABC=32∘\angle ABC = 32^\circ∠ABC=32∘.
32°αβABCD

א.

מצאו את α\alphaα, כלומר את ∠ACB\angle ACB∠ACB. נמקו.

ב.

מצאו את β\betaβ, כלומר את ∠ABD\angle ABD∠ABD. נמקו.

שאלה 6 · זוויות במגן דודשאלת ביניים · מצוינות

מגן דוד בנוי משני משולשים שווי צלעות זהים, △ABC\triangle ABC△ABC ו-△DEF\triangle DEF△DEF, שמונחים זה על זה. הצלעות שלהם נחתכות בנקודות PPP, QQQ, RRR, SSS, TTT, UUU, ונוצרים שישה משולשים קטנים בקצוות הכוכב ומשושה PQRSTUPQRSTUPQRSTU באמצע.
נתון: כל אחד מששת המשולשים הקטנים (למשל △APU\triangle APU△APU ו-△EQP\triangle EQP△EQP) הוא משולש שווה צלעות.
ABCDEFPQRSTU

א.

מצאו את ∠APU\angle APU∠APU ואת ∠UPQ\angle UPQ∠UPQ, הזווית של המשושה בקודקוד PPP. נמקו.

ב.

מצאו את ∠APE\angle APE∠APE, הזווית שבין שני קצוות סמוכים של הכוכב, מחוץ לכוכב. נמקו.

ג.

הסבירו מדוע כל שש הזוויות של המשושה PQRSTUPQRSTUPQRSTU שוות זו לזו, ומצאו את גודלן.

שאלה 7 · שלושה משולשים שווי צלעות לאורך קו ישרשאלה קצרה · רמה א'

קחו 3 משולשים שווי צלעות שלכל אחד מהם צלעות באורך שונה.

א.

קבעו נכון/לא נכון ונמקו: הזוויות בשלושת המשולשים שוות זו לזו.

ב.

רצפו את שלושת המשולשים לאורך קו ישר כמו בתמונה.
מה ניתן להסיק על הגודל במעלות של זווית במשולש שווה צלעות? נמקו.
PXYABCDEF

שאלה 8 · משולש שווה צלעות, המשך צלע וחוצה זוויתשאלת ביניים · רמה ב'

△ABC\triangle ABC△ABC הוא משולש שווה צלעות. ממשיכים את הצלע BCBCBC מעבר לנקודה CCC עד הנקודה DDD. הקרן CECECE חוצה את הזווית ∠ACD\angle ACD∠ACD.
BCADE

א.

מהו הגודל של ∠ACB\angle ACB∠ACB? נמקו.

ב.

חשבו את ∠ACD\angle ACD∠ACD. נמקו.

ג.

חשבו את ∠ECD\angle ECD∠ECD. לאיזו זווית של המשולש ABCABCABC היא שווה?

שאלה 9 · שלושה משולשים שווי שוקיים בתוך משולש שווה צלעותשאלה מלאה · מצוינות

△ABC\triangle ABC△ABC הוא משולש שווה צלעות. הנקודה OOO נמצאת בתוכו כך ש-OA=OB=OCOA = OB = OCOA=OB=OC. הקטעים OAOAOA, OBOBOB, OCOCOC מחלקים את המשולש לשלושה משולשים שווי שוקיים זהים: △OAB\triangle OAB△OAB, △OBC\triangle OBC△OBC, △OCA\triangle OCA△OCA. אפשר לסובב את △ABC\triangle ABC△ABC סביב OOO כך שכל משולש קטן יתלכד עם המשולש הקטן הבא.
הקרן AOAOAO ממשיכה מעבר לנקודה OOO, והנקודה KKK נמצאת עליה.
ABCOK

א.

חשבו את ∠AOB\angle AOB∠AOB. נמקו.

ב.

חשבו את ∠OAB\angle OAB∠OAB. נמקו כל שלב.

ג.

חשבו את ∠BOK\angle BOK∠BOK. האם OKOKOK חוצה את הזווית ∠BOC\angle BOC∠BOC? נמקו.

ד.

מיינו את המשולש OABOABOAB לפי צלעותיו ולפי זוויותיו.

ה.

קבעו לגבי כל טענה אם היא נכונה, ונמקו. (1) כל משולש שווה שוקיים הוא חד זוויות. (2) כל משולש שווה צלעות הוא חד זוויות.

שאלה 10 · ריצוף המישור במשולשים שווי צלעותשאלה קצרה · רמה א'

קישור לחיי היומיום
רצפו משטח מישורי בעזרת משולשים שווי צלעות זהים.

א.

האם ניתן לרצף את המישור כך שחלק מהמשולשים יהיו מונחים לאורך קווים ישרים?

ב.

מה ניתן להסיק מסידור המשולשים על גודלן במעלות של הזוויות במשולשים? נמקו.

עוד 32 שאלות על זוויות במשולש שווה צלעות, שווה שוקיים וישר זווית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אריחים משולשים בריצוף (שאלה מלאה · רמה ב')
רצפת מרפסת מרוצפת באריחים זהים, וכל אריח הוא משולש שווה צלעות. שישה אריחים יוצרים יחד משושה $ABCDEF$ , וכולם נפגשים בנקודה $O$ . הנקודות $A$ ,…
שני משולשים שווי צלעות משני צדי ישר: האם שלוש נקודות על ישר אחד? (שאלת ביניים · מצוינות)
$\triangle ABC$ ו- $\triangle CDE$ הם משולשים שווי צלעות בגדלים שונים. הנקודות $B$ , $C$ , $D$ נמצאות על ישר אחד. הקודקוד $A$ נמצא מעל הישר,…
משולש שווה שוקיים במערכת צירים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת צירים נתונות הנקודות $A(-2,-3)$ , $B(2,-3)$ , $C(0,4)$ ו- $D(6,-3)$ . הנקודות $A$ , $B$ ו- $D$ על ישר אחד.
מדידה במשולש שווה שוקיים: אילו זוויות ואילו צלעות (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף תלמיד מדד צלעות וזוויות של משולש. זכרו: הזווית שמול צלע היא הזווית שבקודקוד שאינו על הצלע.
מה הגילוי במדידה אומר, ואיפה מדידה לא יכולה להיות נכונה (שאלה קצרה · מצוינות)
בחקירה במדידה גילינו: במשולש, מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות. וכבר למדנו: במשולש שווה שוקיים, מול הצלעות השוות נמצאות זוויות שוות.
מסגרת של עפיפון: שני משולשים שווי שוקיים (שאלת ביניים · רמה א')
מסגרת של עפיפון בנויה מחמישה מקלות. המקלות $AB$ ו- $AC$ שווים באורכם, והמקלות $DB$ ו- $DC$ שווים באורכם. המקל $BC$ מחבר בין שני הצדדים. נתון:…
חקירה בכיתה: זוויות שוות וצלעות שמולן (שאלת ביניים · רמה ב')
בחקירה בכיתה כל קבוצה סרטטה משולש, מדדה את הצלעות במעוגל לס"מ שלם ואת הזוויות במעוגל למעלה שלמה. אלה התוצאות:
שווה צלעות ושווה שוקיים: אילו טענות נכונות? (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו משולש שווה שוקיים הוא משולש שיש בו לפחות שתי צלעות שוות, ומשולש שווה צלעות הוא משולש שכל שלוש הצלעות שלו שוות.
קיפול וגזירה: משולש שווה שוקיים (שאלה מלאה · רמה א')
מקפלים לחצי פיסת נייר מלבנית. קו הקיפול הוא הצלע $KL$ , והוא באורך $4$ ס"מ. גוזרים את הנייר המקופל לאורך הקו המקווקו $LM$ : מהקצה העליון של קו…
סימני שוויון על הצלעות: שוקיים, בסיס וזוויות שוות (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $PQR$ שבסרטוט, צלעות שמסומנות באותו סימן שוות זו לזו.
משנים את זווית הראש: מה קורה לזוויות הבסיס? (שאלה קצרה · מצוינות)
בונים משולשים שווי שוקיים משני מקלות שווים (השוקיים), ומשנים את הזווית שביניהם, כלומר את זווית הראש.
מיון משולשים: מה המיון אומר על הזוויות (שאלה קצרה · רמה א')
בטבלה שלושה משולשים. לכל משולש נתונים אורכי הצלעות, ולחלק מהם גם נתון על זווית אחת.
פותחים מחוגה: זווית הראש וזווית הבסיס (שאלה קצרה · רמה ב')
מחברים שני מקלות שווים באורכם בקצה אחד, ופותחים אותם כמו מחוגה. הקטע שבין שני הקצוות האחרים הוא הבסיס, ונוצר משולש שווה שוקיים. הזווית שבין…
תמיד, לפעמים או אף פעם: זוויות וצלעות במשולש (שאלה קצרה · מצוינות)
לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם, ונמקו. בטענה שנכונה לפעמים תנו דוגמה שבה היא נכונה ודוגמה שבה היא לא נכונה.
גשר של משולשים: למה כל זווית היא 60 מעלות (שאלת ביניים · רמה א')
הדופן של גשר להולכי רגל בנויה מקורות ברזל באותו אורך, שיוצרות שורה של משולשים שווי צלעות זהים: משולש עם קודקוד למעלה, אחריו משולש עם קודקוד…
טבלת מדידות: הזווית השלישית ומיון משולשים (שאלת ביניים · רמה ב')
ארבע קבוצות בכיתה סרטטו כל אחת משולש אחר, מדדו בו שתי זוויות ורשמו אותן בטבלה.
מרובע מחמישה משולשים שווי צלעות: 900° או 360°? (שאלה קצרה · מצוינות)
חמישה משולשים שווי צלעות זהים, שאורך הצלע של כל אחד $4$ ס"מ, מונחים בשורה ויוצרים את המרובע $ABCD$ . הנקודות $P$ ו- $Q$ נמצאות על הצלע $AB$ ,…
קיפולים של משולש שווה צלעות: זוויות שוות, 60 מעלות, ומה עוד (שאלה מלאה · רמה א')
גוזרים מנייר משולש שווה צלעות $ABC$ . בשאלה נבדוק בעזרת קיפולים והנחות של משולשים מה הגודל של הזוויות שלו, בלי מד זווית.
משולש שווה שוקיים: מזווית הראש לזוויות הבסיס ובחזרה (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף נתון משולש שווה שוקיים.
שני משולשים שווי צלעות על ישר אחד: זוויות, גבול וקטע משותף (שאלה מלאה · מצוינות)
$\triangle ABC$ ו- $\triangle DEF$ הם משולשים שווי צלעות, ואורך הצלע של כל אחד מהם $12$ ס"מ. הנקודות $A$ , $D$ , $B$ , $E$ נמצאות על ישר אחד,…
משולש שווה שוקיים עם המשכי צלעות (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף משולש שווה שוקיים שחלק מהצלעות שלו ממשיכות מעבר לקודקוד.
אריחים משולשים סביב נקודה: מתי ההיקף גדל ומתי קטן (שאלה מלאה · מצוינות)
אריחים זהים בצורת משולש שווה צלעות, שאורך הצלע של כל אחד $5$ ס"מ, מונחים סביב הנקודה $O$ . לכל אריח יש קודקוד ב- $O$ , וכל שני אריחים שכנים…
חקירה במדידה: באיזו קבוצה נפלה טעות? (שאלת ביניים · רמה א')
בחקירה בכיתה כל קבוצה סרטטה במד זווית משולש עם שתי זוויות שוות, ואחר כך מדדה את שלוש הצלעות. אלה התוצאות:
חותכים משולש שווה צלעות: סכום ההיקפים מול ההיקף (שאלה מלאה · מצוינות)
$\triangle ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו $18$ ס"מ. הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ והנקודה $E$ על הצלע $AC$ , כך ש- $\triangle ADE$ הוא…
בוודאות 60°? לפי הסימונים ולא לפי המראה (שאלה קצרה · רמה א')
בסרטוט שלושה משולשים. צלעות שמסומנות באותו סימן שוות זו לזו, והזווית $\angle D$ ישרה. בנוסף נתון משולש רביעי, $PQR$ , שאינו מסורטט:…
מסלול על צלעות של משולשים שווי צלעות (שאלת ביניים · מצוינות)
הקטע $AB$ , שאורכו $20$ ס"מ, מחולק בנקודות $D$ ו- $E$ לשלושה חלקים: $AD = 3$ ס"מ, $DE = 7$ ס"מ, $EB = 10$ ס"מ. על כל חלק בונים, באותו צד של…
זוויות של 60° בתוך זווית שטוחה וסביב נקודה (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף משולשים שווי צלעות וזוויות שנפגשות בנקודה אחת.
צלעות באורכים שלמים: מה ההיקף מגלה? (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו אורכי כל הצלעות של המשולשים הם מספרים שלמים (בס"מ).
משולש שווה שוקיים לפי זווית אחת: כמה אפשרויות? (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש שווה שוקיים ידוע הגודל של זווית אחת בלבד. היא יכולה להיות זווית הראש או אחת מזוויות הבסיס.
משולש שווה צלעות בפינה של משולש שווה צלעות (שאלת ביניים · רמה א')
$\triangle KLM$ ו- $\triangle KNP$ הם משולשים שווי צלעות. הנקודה $L$ נמצאת על הצלע $KN$ , והנקודה $M$ נמצאת על הצלע $KP$ . ההיקף של…
היקף משולש שווה צלעות מנתון חלקי (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף משולש שווה צלעות אחר.
משולש שווה שוקיים: היקף וצלע אחת, ושתי אפשרויות (שאלה קצרה · רמה א')
ההיקף של משולש שווה שוקיים הוא $32$ ס"מ, ואחת הצלעות שלו היא באורך $10$ ס"מ. לא ידוע אם הצלע הזאת היא הבסיס או אחת השוקיים.