שאלות פתוחות: סכום והפרש זוויות - כיתה ז'

בעמוד זה שאלות פתוחות על סכום והפרש זוויות לכיתה ז', כשכמה קרניים יוצאות מנקודה אחת. התלמידים מחשבים זווית כחלק מזווית גדולה יותר, משלבים חוצי זווית וקרניים מאונכות, מקפלים זווית מנייר, מחשבים זוויות בין אלכסונים של משושה משוכלל ובודקים את שדה הראייה של מצלמת אבטחה בפינת חנות. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. אפשר לבחור מהן למבחן, לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

53 שאלותרמה א': 27רמה ב': 13מצוינות: 13

שאלה 1 · האם הקרן היא חוצה זווית?שאלת ביניים · רמה א'

מהנקודה OOO יוצאות הקרניים OPOPOP, OQOQOQ, OROROR, OSOSOS, בסדר הזה.
נתון: OP⊥OROP \perp OROP⊥OR, ∠POS=120∘\angle POS = 120^\circ∠POS=120∘, והקרן OQOQOQ חוצה את ∠POR\angle POR∠POR.
?OPQRS

א.

חשבו את ∠POQ\angle POQ∠POQ ואת ∠QOR\angle QOR∠QOR.

ב.

חשבו את ∠ROS\angle ROS∠ROS.

ג.

האם הקרן OROROR חוצה את ∠QOS\angle QOS∠QOS? נמקו. אם לא, בכמה מעלות צריך לסובב את הקרן OSOSOS (והשאר נשארות במקומן) כדי ש-OROROR תחצה את ∠QOS\angle QOS∠QOS, ולאיזה כיוון?

שאלה 2 · חיבור שתי זוויות עם שוק משותפתשאלה קצרה · רמה ב'

מהנקודה OOO יוצאות שלוש קרניים: OAOAOA, OBOBOB ו-OCOCOC. הקרן OBOBOB נמצאת בתוך ∠AOC\angle AOC∠AOC.
נתון: ∠AOB=38∘\angle AOB = 38^\circ∠AOB=38∘, ∠BOC=48∘\angle BOC = 48^\circ∠BOC=48∘.
38°48°OABC

א.

כתבו את ∠AOC\angle AOC∠AOC כסכום של שתי זוויות, וחשבו את גודלה.

ב.

בלי לחשב: איזו זווית גדולה יותר, ∠BOC\angle BOC∠BOC או ∠AOC\angle AOC∠AOC? הסבירו.

שאלה 3 · הזווית בין שני חוציםשאלת ביניים · מצוינות

מהנקודה OOO יוצאות הקרניים OAOAOA, OBOBOB, OCOCOC, והקרן OBOBOB נמצאת בתוך ∠AOC\angle AOC∠AOC. הקרן OMOMOM חוצה את ∠AOB\angle AOB∠AOB, והקרן ONONON חוצה את ∠BOC\angle BOC∠BOC.
(בשאלה זו כל זווית קטנה מזווית שטוחה או שווה לה.)
OAMBNC

א.

נתון: ∠AOB=36∘\angle AOB = 36^\circ∠AOB=36∘, ∠BOC=84∘\angle BOC = 84^\circ∠BOC=84∘. חשבו את ∠MON\angle MON∠MON.

ב.

במקרה אחר נתון רק ∠AOC=130∘\angle AOC = 130^\circ∠AOC=130∘, ולא ידוע איפה בדיוק נמצאת OBOBOB. הסבירו למה אפשר בכל זאת לחשב את ∠MON\angle MON∠MON, וחשבו אותה.

ג.

האם ייתכן ש-∠MON=100∘\angle MON = 100^\circ∠MON=100∘? נמקו.

שאלה 4 · קיפול משושה לאורך אלכסוניםשאלת ביניים · רמה א'

גזרו מנייר משושה משוכלל ABCDEFABCDEFABCDEF: כל הצלעות שלו שוות, וכל זווית שלו היא 120∘120^\circ120∘. מהקודקוד AAA יוצאים האלכסונים ACACAC, ADADAD, AEAEAE.
ABCDEF

א.

מקפלים את המשושה לאורך האלכסון ADADAD, ושני החלקים מונחים בדיוק זה על זה. האם ADADAD חוצה את ∠FAB\angle FAB∠FAB? מה גודלה של ∠BAD\angle BAD∠BAD?

ב.

נתון: ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ∠BAC=30∘. האם האלכסון ACACAC חוצה את ∠FAB\angle FAB∠FAB? האם הוא חוצה את ∠BAD\angle BAD∠BAD? נמקו בחישוב.

ג.

בגלל הקיפול לאורך ADADAD, גם ∠FAE=30∘\angle FAE = 30^\circ∠FAE=30∘. חשבו את ∠CAE\angle CAE∠CAE, וקבעו אם ADADAD חוצה אותה.

שאלה 5 · השלמה לזווית ישרה ולזווית שטוחהשאלה קצרה · רמה ב'

הנקודה OOO נמצאת על הישר ABABAB. הקרן ODODOD מאונכת לישר ABABAB (OD⊥ABOD \perp ABOD⊥AB). הקרן OCOCOC נמצאת בין הקרן ODODOD לקרן OBOBOB.
נתון: ∠COB=32∘\angle COB = 32^\circ∠COB=32∘.
32°?AOBDC

א.

חשבו את ∠DOC\angle DOC∠DOC. נמקו.

ב.

חשבו את ∠AOC\angle AOC∠AOC. נמקו.

שאלה 6 · מצלמת אבטחה בפינת חנותשאלה מלאה · מצוינות

בפינה של חנות, במקום שבו שני קירות נפגשים, מותקנת מצלמת אבטחה. במבט מלמעלה המצלמה היא הנקודה OOO, והקירות הם הקרניים OAOAOA ו-OBOBOB.
המצלמה רואה בכל רגע זווית של 50∘50^\circ50∘, שהקצוות שלה הם OKOKOK ו-OLOLOL. הקרן OMOMOM, "קו המרכז" של המצלמה, חוצה את זווית הראייה ∠KOL\angle KOL∠KOL.
נתון: ∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ∠AOB=90∘.
OABKLM

א.

מתקינים את המצלמה כך שקו המרכז OMOMOM חוצה גם את זווית הפינה ∠AOB\angle AOB∠AOB. מה הזווית בין קו המרכז לבין כל אחד מהקירות?

ב.

בתנוחה של סעיף א, מה הזווית בין כל אחד מקצות שדה הראייה לבין הקיר הקרוב אליו? (זה האזור שהמצלמה לא רואה ליד הקיר.)

ג.

מסובבים את המצלמה עד שהקצה OKOKOK מונח בדיוק על הקיר OAOAOA. מה הזווית בין קו המרכז לקיר OAOAOA עכשיו? האם קו המרכז עדיין חוצה את ∠AOB\angle AOB∠AOB?

ד.

בפינה אחרת של החנות הקירות יוצרים זווית של 130∘130^\circ130∘. שם מתקינים מצלמה עם זווית ראייה של 70∘70^\circ70∘, וקו המרכז שלה חוצה את זווית הפינה. מה הזווית בין כל קצה של שדה הראייה לבין הקיר הקרוב אליו?

ה.

בעל החנות טוען: "בכל פינה, אם קו המרכז חוצה את זווית הפינה, האזור שהמצלמה לא רואה ליד כל קיר הוא חצי מההפרש בין זווית הפינה לבין זווית הראייה." האם הוא צודק? הסבירו, ובדקו את הטענה על סעיפים ב ו-ד.

שאלה 7 · שני קיפולים של זווית מניירשאלה מלאה · רמה א'

שירה גזרה מנייר זווית ∠ABC\angle ABC∠ABC שגודלה 120∘120^\circ120∘. היא קיפלה את הנייר כך שהשוק BABABA מונחת בדיוק על השוק BCBCBC, ופתחה. קו הקיפול הוא BDBDBD.
BCAD

א.

מה גודלן של ∠ABD\angle ABD∠ABD ושל ∠DBC\angle DBC∠DBC? כתבו את השוויון ביניהן בסימון מתמטי.

ב.

שירה קיפלה שוב לאורך BDBDBD (כך ש-BABABA מונחת על BCBCBC). את הנייר המקופל היא קיפלה פעם נוספת, כך שהשוק BCBCBC (ואיתה BABABA) מונחת בדיוק על BDBDBD. אחר כך פתחה את הנייר. כמה קווי קיפול יש עכשיו בתוך ∠ABC\angle ABC∠ABC, ולכמה זוויות שוות הם מחלקים אותה? מה גודלה של כל אחת?

ג.

כך נראית הזווית אחרי שפותחים את הנייר. הקווים המקווקווים הם קווי הקיפול.
BCADEF

שירה קראה לקווי הקיפול החדשים BEBEBE (בין BABABA ל-BDBDBD) ו-BFBFBF (בין BDBDBD ל-BCBCBC). חשבו את ∠EBF\angle EBF∠EBF. איזו זווית חוצה BDBDBD חוץ מ-∠ABC\angle ABC∠ABC? נמקו.

ד.

נגה אומרת: "אם מתחילים מזווית של 100∘100^\circ100∘ ומקפלים באותה דרך פעמיים, מקבלים 444 זוויות של 25∘25^\circ25∘." האם נגה צודקת? נמקו.

ה.

מאיזו זווית צריך להתחיל כדי שאחרי שני הקיפולים כל זווית קטנה תהיה 45∘45^\circ45∘? איזה סוג זווית זו?

שאלה 8 · זווית גדולה וחלק ממנהשאלה קצרה · רמה ב'

מהנקודה BBB יוצאות הקרניים BABABA, BGBGBG, BCBCBC. הקרן BGBGBG נמצאת בתוך ∠ABC\angle ABC∠ABC.
BAGC

א.

הסבירו מדוע ∠ABC\angle ABC∠ABC גדולה מ-∠ABG\angle ABG∠ABG.

ב.

השלימו: ∠ABC−∠ABG=∠\angle ABC - \angle ABG = \angle∠ABC−∠ABG=∠ ________

שאלה 9 · היגדים על הפרש וסכום של זוויותשאלה קצרה · מצוינות

לפניכם שני היגדים. אם ההיגד נכון, הסבירו מדוע. אם הוא אינו נכון, תנו דוגמה נגדית.

א.

ההפרש בין שתי זוויות קהות שונות זו מזו הוא תמיד זווית חדה.

ב.

סכום של שלוש זוויות חדות קטן תמיד מזווית שטוחה.

שאלה 10 · האם הקרן חוצה זווית? שלושה סרטוטיםשאלת ביניים · רמה א'

בכל אחד מהסרטוטים שלפניכם קבעו אם ABABAB הוא חוצה זווית. אם כן, כתבו מהי הזווית הנחצית:

א.

∠MAD=80∘\angle MAD = 80^\circ∠MAD=80∘, ∠BAD=40∘\angle BAD = 40^\circ∠BAD=40∘
AMBD

ב.

הנקודות HHH, AAA, PPP נמצאות על ישר אחד. נתון: HP⊥AKHP \perp AKHP⊥AK, ∠BAP=135∘\angle BAP = 135^\circ∠BAP=135∘
AHPKB

ג.

∠MAD=80∘\angle MAD = 80^\circ∠MAD=80∘, ∠MAJ=40∘\angle MAJ = 40^\circ∠MAJ=40∘
AJMBD

עוד 43 שאלות על סכום והפרש זוויות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

החישורים של גלגל ענק (שאלת ביניים · רמה ב')
לגלגל ענק יש $12$ חישורים (מוטות) שיוצאים ממרכז הגלגל $O$ . החישורים מסומנים באותיות $A$ עד $L$ לפי הסדר, והזוויות בין כל שני חישורים סמוכים…
האם האלכסון חוצה את הזווית הישרה? ריבוע מול מלבן (שאלת ביניים · מצוינות)
בשאלה זו נבדוק אם האלכסון של מרובע חוצה את הזווית הישרה שבקודקוד.
קיפול פינה של דף (שאלה קצרה · רמה א')
בדף נייר מלבני $ABCD$ קיפלו פינה אחת, כמוצג למטה: הפינה $B$ קופלה לאורך הקו $EF$ והגיעה לנקודה $G$ . נתון: $\angle GEF = 30^\circ$ , ו-…
רובוט מסתובב: כיווני הרוח (שאלה מלאה · רמה ב')
רובוט צעצוע עומד בנקודה $O$ במרכז חדר. הוא יכול להסתובב במקום ימינה (עם כיוון השעון) או שמאלה (נגד כיוון השעון). בסרטוט ארבעת הכיוונים…
שתי זוויות ישרות חופפות: מה נשאר קבוע? (שאלה מלאה · מצוינות)
מהנקודה $O$ יוצאות ארבע קרניים בסדר $A$ , $C$ , $B$ , $D$ . $\angle AOB$ ו- $\angle COD$ הן זוויות ישרות, והן חופפות בחלקן: הזווית $\angle COB$ …
זווית צמודה על רשת משבצות: שתי דרכים ושתי טעויות (שאלה מלאה · רמה א')
במערכת צירים מסומנות הנקודות $A(8,2)$ , $B(4,2)$ , $C(6,4)$ . הקטעים $BA$ ו- $BC$ הם השוקיים של הזווית $\angle ABC$ . כל משבצת היא יחידה אחת.
קרן שמחלקת זווית: "פי 4" ו"גדולה ב-" (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף קרן אחת מחלקת זווית נתונה לשתי זוויות.
זווית מחולקת: מההפרש אל הזווית כולה (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף קרן מחלקת זווית לשני חלקים.
ארבע זוויות סביב נקודה (שאלה קצרה · רמה א')
מהנקודה $O$ יוצאות ארבע קרניים: $OA$ , $OB$ , $OC$ , $OD$ . הן מחלקות את כל המישור סביב $O$ לארבע זוויות: $\angle AOB$ , $\angle BOC$ ,…
שתי דרכי עפר שיוצאות מכביש ישר (שאלת ביניים · רמה ב')
מהנקודה $O$ שעל כביש ישר $AB$ יוצאות שתי דרכי עפר ישרות, $OC$ ו- $OD$ , לאותו צד של הכביש. הקרניים יוצאות בסדר $A$ , $C$ , $D$ , $B$ . ידוע:…
חלק משותף: הסבר כללי ושאלה הפוכה (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף ארבע קרניים יוצאות מנקודה אחת, ושתי זוויות חופפות בחלקן.
חוצה זווית והפרש זוויות (שאלה קצרה · רמה א')
נתון: $\angle AOC = 140^\circ$ . הקרן $OB$ חוצה את $\angle AOC$ . הקרן $OD$ נמצאת בתוך $\angle BOC$ , ונתון: $\angle DOC = 20^\circ$ .
שתי זוויות עם חלק משותף: מה נספר פעמיים (שאלה קצרה · רמה ב')
מהנקודה $O$ יוצאות ארבע קרניים בסדר $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . הזוויות $\angle AOC$ ו- $\angle BOD$ חופפות בחלקן: הזווית $\angle BOC$ שייכת לשתיהן.…
השלמה לזווית ישרה והשלמה לזווית שטוחה (שאלה קצרה · מצוינות)
לזווית חדה מחשבים שתי השלמות: הזווית שמשלימה אותה לזווית ישרה, והזווית שמשלימה אותה לזווית שטוחה.
סרטוט סכום והפרש עם זווית ישרה (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה $\angle AMT$ :
גלגל בשלושה אזורים (שאלה קצרה · רמה ב')
גלגל במשחק מחולק לשלושה אזורים בעזרת שלושה קווים שיוצאים מהמרכז שלו, $O$ : $OA$ , $OB$ ו- $OC$ . כל הגלגל סביב $O$ הוא סיבוב שלם, $360^\circ$ .
כל האפשרויות במעלות שלמות (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה הזאת כל הזוויות הן מספר שלם של מעלות.
שתי זוויות ישרות וזווית חסרה (שאלה קצרה · רמה א')
מהנקודה $O$ יוצאות ארבע קרניים: $OA$ , $OB$ , $OC$ , $OD$ . נתון: $OA \perp OB$ , $OC \perp OD$ , והזווית שבין $OA$ ל- $OD$ (בצד שאין בו את הקרניים…
שתי קרניים מעל ישר: הזווית שבאמצע (שאלה קצרה · רמה ב')
הנקודה $O$ נמצאת על הישר $KL$ . הקרניים $OM$ ו- $ON$ יוצאות מ- $O$ לאותו צד של הישר, בסדר $K$ , $M$ , $N$ , $L$ . נתון: $\angle KOM = 37^\circ$ ,…
מצלמה מסתובבת: רישום חסר וסיבוב שלם (שאלה מלאה · מצוינות)
מצלמת אבטחה מסתובבת במקום, תמיד באותו כיוון, ובכל שנייה היא מסתובבת באותה זווית. בטבלה רשומה הזווית שהמצלמה הסתובבה בסך הכול, מכיוון קבוע…
זוויות שחופפות בחלקן (שאלה קצרה · רמה א')
בסרטוט נתון: $\angle CAE = 120^\circ$ , $\angle BAD = 100^\circ$ , $\angle CAD = 70^\circ$
סכום של זוויות: מתי יש לו שם? (שאלה קצרה · רמה ב')
בשאלה זו כותבים סכום של זוויות כזווית אחת, כשאפשר.
חלוקת סיבוב שלם: מתי יוצאות מעלות שלמות? (שאלה מלאה · מצוינות)
בכל סעיף מחלקים את הסיבוב השלם סביב נקודה ( $360^\circ$ ) לכמה זוויות סמוכות שהקודקוד שלהן בנקודה. בסעיף ב ובסעיף ג כל זווית צריכה להיות מספר…
שתי מצלמות אבטחה: תחומים חופפים (שאלת ביניים · רמה א')
על גדר ישרה $PQ$ , בנקודה $O$ , הותקנו שתי מצלמות אבטחה. כל מצלמה מצלמת תחום שהוא זווית שהקודקוד שלה $O$ : מצלמה א מצלמת את $\angle AOC$ ,…
המכסה של ארגז הצעצועים (שאלה קצרה · רמה ב')
לארגז צעצועים יש מכסה שנפתח סביב ציר. בהתחלה נועם פתח את המכסה כך שהזווית בין המכסה לבין הדופן העליונה של הארגז הייתה $65^\circ$ .
שלושה אזורים סביב עמוד: תכנון לפי דרישות (שאלת ביניים · מצוינות)
בחצר בית ספר מחלקים את השטח סביב עמוד תאורה $O$ לשלושה אזורים. כל אזור הוא זווית שהקודקוד שלה ב- $O$ , ושלושת האזורים יחד ממלאים את כל הסיבוב…
זווית שטוחה שמחולקת לארבע זוויות שוות (שאלת ביניים · רמה א')
הנקודה $O$ נמצאת על הישר $AB$ . הקרניים $OC$ , $OD$ , $OE$ נמצאות באותו צד של הישר, בסדר $A$ , $C$ , $D$ , $E$ , $B$ . הן מחלקות את הזווית השטוחה…
סביב נקודה: יודעים רק סכום של שתי זוויות (שאלה קצרה · רמה ב')
מהנקודה $O$ יוצאות שלוש קרניים: $OA$ , $OB$ ו- $OC$ . הן מחלקות את כל הסיבוב סביב $O$ ( $360^\circ$ ) לשלוש זוויות: $\angle AOB$ , $\angle BOC$ …
שתי זוויות חופפות שסכומן שטוח: האם החוצים מאונכים? (שאלת ביניים · מצוינות)
מהנקודה $O$ יוצאות ארבע קרניים בסדר $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . הזוויות $\angle AOC$ ו- $\angle BOD$ חופפות בחלקן: הזווית $\angle BOC$ שייכת לשתיהן.…
שלושה ישרים נחתכים: זוויות כסכום וכהפרש (שאלת ביניים · רמה א')
הישרים $AB$ , $DE$ ו- $FG$ נחתכים בנקודה $C$ .
חמש קרניים על ישר: סכומים, הפרשים וקרן שזזה (שאלה מלאה · רמה א')
הנקודה $O$ נמצאת על הישר $AE$ . הקרניים $OB$ , $OC$ , $OD$ נמצאות באותו צד של הישר, והקרניים יוצאות מ- $O$ בסדר $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . נתון:…
היגדים על סכום של זוויות: נכון או לא נכון (שאלה מלאה · רמה א')
לפניכם מספר היגדים. אם ההיגד נכון, הסבירו ואם אינו נכון תנו דוגמה נגדית.
חלקים של זווית שטוחה ושל סיבוב שלם (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף קרניים שיוצאות מנקודה אחת מחלקות זווית לכמה זוויות.
חלוקה לפי הפרש, ואחר כך שני חוצים (שאלת ביניים · רמה א')
נתון: $\angle AOB = 150^\circ$ . הקרן $OC$ נמצאת בתוך $\angle AOB$ , ו- $\angle AOC$ גדולה מ- $\angle COB$ ב- $50^\circ$ . הקרן $OM$ חוצה את…
זווית של 120 מעלות: חמישה קשרים בטבלה (שאלה מלאה · רמה א')
נתון: $\angle AOB = 120^\circ$ . הקרן $OC$ נמצאת בתוך $\angle AOB$ ומחלקת אותה לשתי זוויות, $\angle AOC$ ו- $\angle COB$ . בכל שורה בטבלה כתוב…
שני סרגלי משולש עם פינות חופפות (שאלת ביניים · רמה א')
שני סרגלי משולש מונחים על שולחן כך שלשתי הפינות שלהם קודקוד משותף $O$ . הפינה של הסרגל הראשון היא זווית ישרה: $\angle AOC = 90^\circ$ . הפינה…
השלמה לזווית ישרה ולזווית שטוחה: מה ההפרש? (שאלה קצרה · רמה א')
לזווית $\alpha$ מתאימים שתי זוויות: $\beta$ היא הזווית שמשלימה את $\alpha$ לזווית ישרה, כלומר $\alpha + \beta = 90^\circ$ . $\gamma$ היא…
חלוקה של סיבוב שלם לחלקים שווים (שאלה קצרה · רמה א')
מחלקים סיבוב שלם ( $360^\circ$ ) לחלקים שווים, ורוצים שגודל כל חלק יהיה מספר שלם של מעלות.
ארבעה תחומים סביב נקודה (שאלת ביניים · רמה א')
ארבע קרניים, $OA$ , $OB$ , $OC$ ו- $OD$ , יוצאות מהנקודה $O$ בסדר הזה סביבה, ומחלקות את הסיבוב השלם סביב $O$ לארבעה תחומים: $\angle AOB$ ,…
זרוע מסתובבת: טבלה של זווית מצטברת (שאלת ביניים · רמה א')
זרוע של מכונה מסתובבת כל הזמן באותו כיוון. בטבלה הזווית המצטברת בכל צעד: בכמה מעלות הסתובבה הזרוע מהרגע שהתחילו למדוד.
חוצים ומשלימים: האם הסדר משנה? (שאלה קצרה · רמה א')
נועה ודן קיבלו זווית של $130^\circ$ . נועה חצתה אותה, ואז מצאה כמה חסר לחצי עד זווית שטוחה. דן קודם מצא כמה חסר לזווית עד זווית שטוחה, ואז…
בונים חלוקות לפי תנאים (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה הזאת אתם בונים דוגמאות בעצמכם. כל הזוויות בשאלה חיוביות וקטנות מזווית שטוחה.
ארבע זוויות סביב נקודה: מה הנתונים קובעים? (שאלת ביניים · רמה א')
מהנקודה $O$ יוצאות ארבע קרניים: $OA$ , $OB$ , $OC$ ו- $OD$ . הן מחלקות את כל הסיבוב סביב $O$ לארבע זוויות: $\angle AOB$ , $\angle BOC$ ,…