שאלות פתוחות: סכום זוויות במשולש - כיתה ז'

שאלות פתוחות בנושא סכום הזוויות במשולש לכיתה ז', כולל זווית חיצונית למשולש. יש חישוב זווית שלישית כשנתונות שתיים, משולש שאחת מצלעותיו נמשכת, חוצי זוויות שנפגשים בתוך המשולש, חתך של גג רעפים, וגזירה וקיפול של מלבן וריבוע לאורך האלכסון. יש גם טענות על משולשים שצריך לקבוע אם הן נכונות תמיד. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מכאן אפשר להרכיב מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

56 שאלותרמה א': 23רמה ב': 18מצוינות: 15

שאלה 1 · גזירת מלבן לאורך האלכסוןשאלה מלאה · רמה א'

קחו מלבן שצלע שלו ארוכה פי 2 מהצלע האחרת. גזרו אותו במדויק לאורך האלכסון.

א.

האם התקבלו שני משולשים שניתן להניח אותם בדיוק זה על זה?

ב.

האם האלכסון חוצה את הזווית הישרה לשני חלקים שווים?

ג.

האם סכום הזוויות החדות במשולש שהתקבל גדול מ-90∘90^\circ90∘, קטן מ-90∘90^\circ90∘ או שווה ל-90∘90^\circ90∘? נמקו. מדדו את הזוויות ובדקו את תשובתכם.

ד.

מהו סכום שלוש הזוויות בכל אחד מהמשולשים שהתקבלו במקרה הזה?

שאלה 2 · קיפול ריבוע לאורך האלכסוןשאלה מלאה · רמה ב'

קחו ריבוע וקפלו אותו במדויק לאורך האלכסון.

א.

האם התקבלו שני משולשים שניתן להניח אותם בדיוק זה על זה? פתחו את הריבוע והדגישו את האלכסון

ב.

האם האלכסון חוצה את הזווית הישרה לשני חלקים שווים? נמקו

ג.

מהו הגודל במעלות של הזווית שבין צלע הריבוע לבין האלכסון? מדדו את הזווית ובדקו את תשובתכם

ד.

מהו סכום שלוש הזוויות בכל אחד מהמשולשים שהתקבלו במקרה הזה?

שאלה 3 · טענות כלליות: תמיד, לפעמים או אף פעם?שאלה קצרה · מצוינות

לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. אם הטענה נכונה תמיד, הסבירו למה. אם לא, תנו דוגמה מתאימה.

א.

בכל משולש, הזווית הגדולה ביותר היא לפחות 60∘60^\circ60∘.

ב.

משולש שבו זווית אחת שווה לסכום שתי הזוויות האחרות הוא משולש ישר זווית.

שאלה 4 · המשך צלע וזווית צמודה במשולששאלה קצרה · רמה א'

במשולש KLMKLMKLM ממשיכים את הצלע LMLMLM מעבר לנקודה MMM עד הנקודה NNN.
נתון: ∠KMN=128∘\angle KMN = 128^\circ∠KMN=128∘, ∠KLM=52∘\angle KLM = 52^\circ∠KLM=52∘.
128°52°??KLMN

א.

חשבו את ∠KML\angle KML∠KML ואת ∠LKM\angle LKM∠LKM, וקבעו את סוג המשולש KLMKLMKLM לפי זוויותיו. נמקו.

ב.

בלי קשר לנתונים שלמעלה: במשולש אחר ממשיכים צלע באותו אופן, והזווית הצמודה שנוצרת מחוץ למשולש (כמו ∠KMN\angle KMN∠KMN) היא זווית חדה. לאיזה סוג שייך המשולש לפי זוויותיו? נמקו.

שאלה 5 · הזווית השלישית במשולש וסוג המשולששאלה קצרה · רמה ב'

במשולש PQRPQRPQR נתון: ∠P=34∘\angle P = 34^\circ∠P=34∘, ∠Q=71∘\angle Q = 71^\circ∠Q=71∘.
34°71°?PQR

חשבו את ∠R\angle R∠R, וקבעו את סוג המשולש PQRPQRPQR לפי זוויותיו: חד זווית, ישר זווית או קהה זווית. נמקו.

שאלה 6 · הזווית בין שני חוצי זוויות במשולששאלת ביניים · מצוינות

במשולש ABCABCABC חוצה הזווית ∠ABC\angle ABC∠ABC וחוצה הזווית ∠ACB\angle ACB∠ACB נפגשים בנקודה III.
?ABCI

א.

נתון: ∠ABC=70∘\angle ABC = 70^\circ∠ABC=70∘, ∠ACB=50∘\angle ACB = 50^\circ∠ACB=50∘. חשבו את ∠BIC\angle BIC∠BIC.

ב.

במשולש אחר, שגם בו חוצי הזוויות ∠B\angle B∠B ו-∠C\angle C∠C נפגשים בנקודה III, ידוע רק ש-∠BAC=80∘\angle BAC = 80^\circ∠BAC=80∘. הגדלים של ∠ABC\angle ABC∠ABC ושל ∠ACB\angle ACB∠ACB לא ידועים. הסבירו למה אפשר בכל זאת לחשב את ∠BIC\angle BIC∠BIC, וחשבו אותה.

ג.

במשולש שלישי מאותו סוג נתון ∠BIC=125∘\angle BIC = 125^\circ∠BIC=125∘. חשבו את ∠BAC\angle BAC∠BAC.

שאלה 7 · תוכנית של גג: איפה הטעות?שאלה קצרה · רמה א'

חתך של גג רעפים הוא משולש שווה שוקיים: שתי קורות הגג שוות באורכן ונפגשות בפסגה, והבסיס הוא קורת התקרה.
בתוכנית של הגג כתוב: הזווית בין שתי קורות הגג בפסגה היא 110∘110^\circ110∘, והזווית בין כל קורת גג לבין קורת התקרה היא 40∘40^\circ40∘.

א.

הסבירו למה לפחות אחד משני הנתונים בתוכנית שגוי.

ב.

התברר שרק אחד משני הנתונים שגוי. מה צריך להיות כתוב בתוכנית אם הזווית בפסגה נכונה? ומה צריך להיות כתוב אם הזווית שליד קורת התקרה נכונה? מצאו את שתי האפשרויות.

שאלה 8 · האם קיים משולש כזה?שאלה קצרה · רמה ב'

לכל תיאור החליטו אם קיים משולש כזה. אם קיים, כתבו את גודלי כל שלוש הזוויות שלו. אם לא קיים, הסבירו למה.

א.

משולש ששתיים מזוויותיו הן 95∘95^\circ95∘ ו-85∘85^\circ85∘.

ב.

משולש ישר זווית שהוא גם משולש שווה שוקיים.

שאלה 9 · זיגזג של קטעים שווים בין שתי קרנייםשאלה מלאה · מצוינות

שתי קרניים יוצאות מהנקודה OOO, והזווית ביניהן היא 20∘20^\circ20∘.
על הקרן התחתונה מסמנים את הנקודות AAA, CCC, EEE, ועל הקרן העליונה את הנקודות BBB, DDD, כך ש-
OA=AB=BC=CD=DEOA = AB = BC = CD = DEOA=AB=BC=CD=DE
כל נקודה חדשה רחוקה מ-OOO יותר מהנקודות שסומנו לפניה על אותה קרן.
20°OABCDE

א.

חשבו את ∠OBA\angle OBA∠OBA ואת ∠OAB\angle OAB∠OAB. נמקו.

ב.

חשבו את ∠BAC\angle BAC∠BAC, את ∠BCA\angle BCA∠BCA ואת ∠ABC\angle ABC∠ABC.

ג.

חשבו את ∠CBD\angle CBD∠CBD ואת שלוש הזוויות של המשולש BCDBCDBCD.

ד.

זוויות הבסיס של המשולשים שווי השוקיים OABOABOAB, ABCABCABC, BCDBCDBCD הן 20∘20^\circ20∘, 40∘40^\circ40∘, 60∘60^\circ60∘. חשבו את זוויות הבסיס של המשולש CDECDECDE (∠DCE\angle DCE∠DCE ו-∠DEC\angle DEC∠DEC). אחר כך הסבירו למה אי אפשר להמשיך: אין על הקרן העליונה נקודה GGG, רחוקה מ-OOO יותר מ-DDD, כך ש-EG=DEEG = DEEG=DE.

ה.

בונים זיגזג באותה דרך, אבל הזווית בין הקרניים היא 15∘15^\circ15∘. אילו זוויות בסיס יהיו למשולשים שווי השוקיים, וכמה קטעים שווים (כולל הקטע הראשון מ-OOO) אפשר יהיה לסמן? הסבירו את הכלל שמצאתם.

שאלה 10 · משולש שווה שוקיים בתוך משולששאלת ביניים · רמה א'

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC, כך ש-AD=ABAD = ABAD=AB.
נתון: ∠ABC=65∘\angle ABC = 65^\circ∠ABC=65∘, ∠ACB=35∘\angle ACB = 35^\circ∠ACB=35∘.
65°35°?ABCD

א.

חשבו את ∠ADB\angle ADB∠ADB ואת ∠BAD\angle BAD∠BAD. נמקו.

ב.

חשבו את ∠ADC\angle ADC∠ADC.

ג.

חשבו את ∠DAC\angle DAC∠DAC בשתי דרכים: פעם בעזרת המשולש ADCADCADC, ופעם בעזרת הזווית ∠BAC\angle BAC∠BAC של המשולש ABCABCABC.

עוד 32 שאלות על סכום זוויות במשולש

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חוצה זווית במשולש (שאלת ביניים · רמה ב')
במשולש $ABC$ נתון: $\angle BAC = 70^\circ$ , $\angle ABC = 50^\circ$ . הקטע $AD$ חוצה את הזווית $\angle BAC$ , והנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ .
מדידה שגויה במשולש שווה שוקיים (שאלה קצרה · מצוינות)
שירה מודדת את הזוויות במשולש שווה-שוקיים. היא מודדת את אחת הזוויות ומקבלת $42^\circ$ . היא מודדת זווית נוספת ומקבלת $63^\circ$ .
משולשים במערכת הצירים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת צירים מסומנות הנקודות $A(-3,-1)$ , $B(3,-1)$ , $C(0,2)$ ו- $F(-3,5)$ . כל משבצת היא יחידה אחת.
סולם בטוח (שאלה מלאה · רמה ב')
סולם נשען על קיר אנכי, ורגלי הסולם עומדות על רצפה אופקית. מהצד רואים משולש ישר זווית $ABC$ : - $AB$ הוא הסולם; - $BC$ הוא החלק של הקיר שמתחת…
משולש שבו זווית אחת גדולה פי 2 מזווית אחרת (שאלה מלאה · מצוינות)
במשולש $ABC$ הזווית $\angle B$ גדולה פי $2$ מהזווית $\angle A$ . בסעיפים א-ג מוסיפים בכל פעם נתון אחר על $\angle C$ (הסעיפים לא תלויים זה…
משולש עם זווית של $11 0^{\circ}$ (שאלה מלאה · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון: $\angle BAC = 110^\circ$ .
המשך צלעות במשולש וזוויות צמודות (שאלת ביניים · רמה ב')
בסרטוט שלפניכם נתון משולש $ABC$ . $D$ היא נקודה על המשך הצלע $BC$ . $E$ היא נקודה על המשך הצלע $AC$ .
שלוש זוויות בהמשכי הצלעות: כמה הן יחד? (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל קודקוד של משולש $ABC$ ממשיכים צלע אחת מעבר לקודקוד: את $CA$ מעבר ל- $A$ עד $D$ , את $AB$ מעבר ל- $B$ עד $E$ , ואת $BC$ מעבר ל- $C$ עד $F$ . כך…
איזו טענה אינה נכונה? משולשים שקיימים (שאלה קצרה · רמה א')
איזו מבין הטענות הבאות אינה נכונה?
זוויות המשולש בחלקים שווים: "פי 2" ו"פי 3" (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף מוצאים את הזוויות של משולש בעזרת חלקים שווים.
שווה צלעות ושווה שוקיים: אילו טענות נכונות? (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו משולש שווה שוקיים הוא משולש שיש בו לפחות שתי צלעות שוות, ומשולש שווה צלעות הוא משולש שכל שלוש הצלעות שלו שוות.
משולש שבו $∠ A = 10 0^{\circ}$ : איזו טענה אינה נכונה? (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון כי זווית $A$ שווה ל- $100^\circ$ . איזו מבין הטענות הבאות אינה נכונה? נמקו את תשובתכם.
אלכסון מחלק מרובע לשני משולשים (שאלת ביניים · רמה ב')
במרובע $ABCD$ מסורטט האלכסון $BD$ . האלכסון מחלק את המרובע לשני משולשים: $ABD$ ו- $CBD$ . נתון: $\angle ABD = 40^\circ$ ,…
חוצה זווית במשולש: מה נשאר קבוע כשהזווית משתנה (שאלת ביניים · מצוינות)
במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $\angle BAC$ , והנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ . בסרטוט שתי הזוויות השוות מסומנות ב- $\alpha$ . נתון:…
משולש שווה שוקיים בתוך משולש: מהי α? (שאלה קצרה · רמה א')
בסרטוט שלפניכם הנקודה $D$ נמצאת על $AC$ . נתון: משולש $ABD$ הוא שווה-שוקיים ( $AD = DB$ ). $\angle BAD = 40^\circ$ , $\angle BCA = 30^\circ$
זוויות חדות במשולש ישר זווית (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש ישר זווית, זווית חדה אחת קטנה ב- $20^\circ$ מהזווית החדה האחרת.
משנים את זווית הראש: מה קורה לזוויות הבסיס? (שאלה קצרה · מצוינות)
בונים משולשים שווי שוקיים משני מקלות שווים (השוקיים), ומשנים את הזווית שביניהם, כלומר את זווית הראש.
אילו טענות על זוויות במשולש נכונות? (שאלה מלאה · רמה א')
אילו מבין הטענות הבאות נכונות? נמקו
פותחים מחוגה: זווית הראש וזווית הבסיס (שאלה קצרה · רמה ב')
מחברים שני מקלות שווים באורכם בקצה אחד, ופותחים אותם כמו מחוגה. הקטע שבין שני הקצוות האחרים הוא הבסיס, ונוצר משולש שווה שוקיים. הזווית שבין…
תמיד, לפעמים או אף פעם: זוויות וצלעות במשולש (שאלה קצרה · מצוינות)
לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם, ונמקו. בטענה שנכונה לפעמים תנו דוגמה שבה היא נכונה ודוגמה שבה היא לא נכונה.
נגישות לכולם – תכנון רמפה (שאלה מלאה · רמה א')
שם הבעיה: נגישות לכולם – תכנון רמפה תיאור הסיטואציה: בבית הספר "רימון" מתכננים לבנות רמפה (דרך כניסה משופעת) בכניסה לאולם הספורט, כדי לאפשר…
טבלת מדידות: הזווית השלישית ומיון משולשים (שאלת ביניים · רמה ב')
ארבע קבוצות בכיתה סרטטו כל אחת משולש אחר, מדדו בו שתי זוויות ורשמו אותן בטבלה.
זוויות המשולש לפי "גדולה ב-" (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף נתונים הפרשים בין זוויות של משולש. מצאו את הזוויות בחשבון ופרטו את החישוב.
משולש שווה שוקיים: מזווית הראש לזוויות הבסיס ובחזרה (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף נתון משולש שווה שוקיים.
ערוגה משולשת: זווית הראש גדולה פי 4 (שאלת ביניים · רמה א')
ערוגה בגינה היא משולש $ABC$ שבו $AC = BC$ . הזווית $\angle ACB$ גדולה פי $4$ מהזווית $\angle CAB$ . מהקודקוד $C$ יוצא שביל ישר $CD$ עד הצלע…
הסכום הלא נכון: משולש או מרובע? (שאלה קצרה · רמה ב')
גלעד חישב זווית חסרה בשתי צורות, אבל בכל חישוב השתמש בסכום הזוויות הלא נכון. משולש $ABC$ : $\angle A=48^\circ$ , $\angle B=67^\circ$ . גלעד…
חלון ויטראז' בצורת מרובע (שאלת ביניים · רמה א')
חלק של חלון ויטראז' הוא זכוכית בצורת מרובע $ABCD$ . פס ישר לאורך האלכסון $AC$ מחלק את הזכוכית לשני משולשים. נתון: $\angle DAB = 110^\circ$ ,…
ישר שחותך משולש: זוויות שסכומן 180° ו-360° (שאלת ביניים · רמה א')
ישר חותך שתי צלעות של משולש, וכך המשולש מתחלק למשולש קטן ולמרובע. האותיות $a, b, c, g, k, m, p$ מציינות את הגדלים של הזוויות המסומנות,…
שלט משני משולשים (שאלה מלאה · רמה א')
שלט בצורת מרובע $ABCD$ בנוי משני חלקים: משולש $ABC$ ומשולש $ACD$ , שמחוברים לאורך הקו $AC$ . במשולש $ABC$ הצלעות $AB$ ו- $BC$ שוות באורכן,…
גובה מחלק משולש לשני משולשים ישרי זווית (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ הקטע $AH$ הוא הגובה לצלע $BC$ : $AH \perp BC$ , והנקודה $H$ נמצאת על $BC$ . נתון: $\angle ABC=58^\circ$ , $\angle ACB=34^\circ$ .
משולש שווה שוקיים לפי זווית אחת: כמה אפשרויות? (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש שווה שוקיים ידוע הגודל של זווית אחת בלבד. היא יכולה להיות זווית הראש או אחת מזוויות הבסיס.
זוויות במשולש: מתי יש משולש כזה? (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף מתואר משולש $ABC$ . נסמן ב- $\alpha$ את הזווית $\angle A$ , במעלות.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (14)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

תמיד, לפעמים או אף פעם: זוויות במשולש (שאלה קצרה · מצוינות)
לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, נכונה לפעמים או אף פעם אינה נכונה. נמקו את תשובתכם. אם הטענה נכונה רק לפעמים,…
כמה משולשים עם זוויות של 30 ו-50 מעלות (שאלה קצרה · רמה א')
משולשים שבהם שתיים מהזוויות נתונות.
איזו טענה על משולש קהה זווית אינה נכונה (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון כי זווית $A$ שווה ל- $100^\circ$ .
חוצה זווית וזווית צמודה במשולש (שאלה קצרה · רמה א')
נתון משולש $ABC$ . $CE$ הוא המשך הצלע $AC$ (ראו סרטוט). $AD$ הוא חוצה זווית $BAC$ . נתון: $\angle DAC=25^\circ$ ,…
חוצה זווית במלבן (שאלה קצרה · מצוינות)
בסרטוט שלפניכם מלבן $ABCD$ . $AC$ אלכסון במלבן, ו- $AE$ חוצה זווית $CAB$ במשולש $ABC$ . $\angle EAC=\alpha$
חזית של גג: זווית הראש וזוויות הבסיס (שאלה קצרה · רמה ב')
חזית של בית קטן היא משולש שווה שוקיים $ABC$ . שני צידי הגג הם השוקיים ( $AB=AC$ ), והקורה התחתונה היא הבסיס $BC$ .
המחוגה: שתי רגליים שוות (שאלה קצרה · רמה ב')
למחוגה שתי רגליים שאורך כל אחת מהן $10$ ס"מ. הרגליים מחוברות בציר $O$ . פותחים את המחוגה ומסמנים ב- $P$ וב- $Q$ …
פרפר של שני משולשים שווי שוקיים (שאלה קצרה · רמה א')
הישרים $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $C$ . במשולש $ABC$ נתון $AB=AC$ , ובמשולש $CDE$ נתון $DC=DE$ . נתון:…
זוויות חיצוניות: הפרש וסכום (שאלה קצרה · מצוינות)
במשולש שווה שוקיים הזווית החיצונית ליד קודקוד הראש גדולה ב- $60^\circ$ מהזווית החיצונית ליד קודקוד בסיס. חשבו…
מתי חוצה זווית הבסיס מאונך לשוק? (שאלה קצרה · מצוינות)
במשולש $ABC$ נתון $AB=AC$ . הקטע $BE$ חוצה את זווית הבסיס $\angle ABC$ , והנקודה $E$ נמצאת על השוק $AC$ .
זווית פנימית והזווית החיצונית הצמודה לה: טבלה (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל שורה בטבלה יש זווית פנימית של משולש ואת הזווית החיצונית הצמודה לה (באותו קודקוד).
מזווית הראש לזוויות הבסיס, ומהשוק לבסיס (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא $44^\circ$ . חשבו את זוויות הבסיס. האם אפשר לחשב את היקף המשולש מהנתון הזה?…
חוצה זווית עם נעלם: מהחצאים אל הזווית כולה (שאלת ביניים · רמה ב')
במשולש $KLM$ הקטע $LN$ חוצה את הזווית $\angle KLM$ , והנקודה $N$ נמצאת על הצלע $KM$ . הזוויות נתונות במעלות:…
רגל הגובה: על הצלע או על ההמשך שלה? (שאלה קצרה · מצוינות)
מכל קודקוד של משולש מורידים גובה אל הישר שעליו נמצאת הצלע שמולו. הנקודה שבה הגובה פוגש את הישר היא רגל הגובה.…