שאלות פתוחות: זוויות קודקודיות - כיתה ז'

אוסף שאלות פתוחות על זוויות קודקודיות לכיתה ז', יחד עם זוויות צמודות כששני ישרים נחתכים. התלמידים מוצאים את ארבע הזוויות שנוצרות בחיתוך, פותרים כשזווית אחת גדולה מהשנייה במספר מעלות נתון, עובדים עם שלושה ישרים שנחתכים בנקודה אחת, עם מספריים פתוחים ועם משולש שווה שוקיים שצלעותיו נמשכות מעבר לקודקוד. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. כך מרכיבים בוחן או דף עבודה בנושא, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

42 שאלותרמה א': 18רמה ב': 13מצוינות: 11

שאלה 1 · משולש שווה שוקיים עם המשכי צלעותשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף משולש שווה שוקיים שחלק מהצלעות שלו ממשיכות מעבר לקודקוד.

א.

במשולש ABCABCABC נתון AB=ACAB = ACAB=AC. ממשיכים את הצלע BCBCBC לשני הצדדים: מעבר ל-BBB עד הנקודה DDD, ומעבר ל-CCC עד הנקודה EEE. נתון: ∠ABD=115∘\angle ABD = 115^\circ∠ABD=115∘. חשבו את ∠ACE\angle ACE∠ACE. נמקו כל צעד.
?BCADE

ב.

במשולש KLMKLMKLM נתון KL=KMKL = KMKL=KM. ממשיכים את הצלע LMLMLM מעבר ל-MMM עד הנקודה NNN, ואת הצלע KMKMKM מעבר ל-MMM עד הנקודה PPP. נתון: ∠NMP=48∘\angle NMP = 48^\circ∠NMP=48∘. חשבו את ∠KLM\angle KLM∠KLM ואת ∠KMN\angle KMN∠KMN. נמקו.
LMKNP

שאלה 2 · זווית קודקודית וזווית צמודהשאלה קצרה · רמה ב'

הישרים ABABAB ו-CDCDCD נחתכים בנקודה OOO.
נתון: ∠AOC=48∘\angle AOC = 48^\circ∠AOC=48∘.
48°?OACBD

א.

איזו זווית היא זווית קודקודית ל-∠AOC\angle AOC∠AOC? רשמו את שמה ואת גודלה, ונמקו.

ב.

חשבו את ∠BOC\angle BOC∠BOC. נמקו.

שאלה 3 · פי 4: סכום של שלוש זוויותשאלה קצרה · מצוינות

שני ישרים נחתכים בנקודה אחת ויוצרים ארבע זוויות.

א.

סכום של שלוש מתוך ארבע הזוויות גדול פי 444 מהזווית הרביעית. חשבו את גודלן של ארבע הזוויות. נמקו.

ב.

האם ייתכן שאחת מארבע הזוויות גדולה פי 444 מהזווית הקודקודית לה? הסבירו.

שאלה 4 · גדולה ב-30° מהזווית הצמודה להשאלה קצרה · רמה א'

הישרים EFEFEF ו-GHGHGH נחתכים בנקודה KKK. הזווית ∠EKG\angle EKG∠EKG גדולה ב-30∘30^\circ30∘ מהזווית ∠GKF\angle GKF∠GKF.
??KEGFH

א.

חשבו את גודלן של ארבע הזוויות שנוצרו סביב KKK. נמקו כל שלב.

ב.

האם ייתכנו שני ישרים נחתכים שבהם אחת מארבע הזוויות גדולה ב-30∘30^\circ30∘ מהזווית הקודקודית לה? הסבירו.

שאלה 5 · מספריים פתוחיםשאלה קצרה · רמה ב'

שני החלקים של מספריים פתוחים הם כמו שני ישרים שנחתכים בבורג OOO. OKOKOK ו-OLOLOL הם הלהבים, ו-OMOMOM ו-ONONON הן הידיות. הלהב OKOKOK והידית ONONON הם חלק ישר אחד, וגם הלהב OLOLOL והידית OMOMOM הם חלק ישר אחד.
38°?OKLNM

א.

פתחו את המספריים כך שהזווית בין הלהבים היא ∠KOL=38∘\angle KOL = 38^\circ∠KOL=38∘. מה גודל הזווית בין הידיות, ∠MON\angle MON∠MON? נמקו.

ב.

יואב אומר: "פתחתי את המספריים כך שהזווית בין הלהבים היא 40∘40^\circ40∘ והזווית בין הידיות היא 50∘50^\circ50∘." האם זה ייתכן? הסבירו.

שאלה 6 · שלושה ישרים, שש זוויותשאלת ביניים · מצוינות

שלושה ישרים נחתכים בנקודה OOO ויוצרים סביבה שש זוויות סמוכות. שלוש זוויות סמוכות מסומנות α\alphaα, β\betaβ, γ\gammaγ.
αβγOKLMNPR

א.

הסבירו למה כל אחת משלוש הזוויות האחרות שווה ל-α\alphaα, ל-β\betaβ או ל-γ\gammaγ, ולמה α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circα+β+γ=180∘.

ב.

נתון: α=40∘\alpha = 40^\circα=40∘, והזווית β\betaβ גדולה פי 222 מ-α\alphaα. חשבו את גודלן של כל שש הזוויות.

ג.

האם ייתכן ששתיים מבין α\alphaα, β\betaβ, γ\gammaγ הן זוויות קהות? והאם ייתכן ששתיים מהן הן זוויות ישרות? נמקו.

שאלה 7 · כמה זוויות קודקודיות וכמה צמודות?שאלה קצרה · רמה א'

נתונה הזווית ∠PQR\angle PQR∠PQR, וגודלה 65∘65^\circ65∘.
65°QPR

א.

סרטטו זווית קודקודית ל-∠PQR\angle PQR∠PQR ותארו במילים איך סרטטתם אותה. כמה זוויות קודקודיות שונות ל-∠PQR\angle PQR∠PQR אפשר לסרטט, ומה גודלן?

ב.

כמה זוויות צמודות שונות ל-∠PQR\angle PQR∠PQR אפשר לסרטט, ומה גודל כל אחת מהן?

שאלה 8 · סרטוט זווית קודקודיתשאלה קצרה · רמה ב'

GBT

א.

סרטטו זווית קודקודית לזווית הנתונה.

ב.

האם קיימת אפשרות נוספת לסרטוט זווית קודקודית?

שאלה 9 · חוצי זוויות בשני ישרים נחתכיםשאלה מלאה · מצוינות

הישרים ABABAB ו-CDCDCD נחתכים בנקודה OOO. הקרן OEOEOE חוצה את ∠AOC\angle AOC∠AOC, והקרן OFOFOF היא ההמשך של OEOEOE מעבר ל-OOO (כלומר EFEFEF הוא ישר).
??OACEBDF

א.

נתון: ∠AOC=64∘\angle AOC = 64^\circ∠AOC=64∘. חשבו את ∠BOF\angle BOF∠BOF ואת ∠FOD\angle FOD∠FOD. מה אפשר לומר על הקרן OFOFOF?

ב.

הסבירו למה הקרן OFOFOF חוצה את ∠BOD\angle BOD∠BOD בכל גודל של ∠AOC\angle AOC∠AOC, ולא רק כש-∠AOC=64∘\angle AOC = 64^\circ∠AOC=64∘.

ג.

הקרן OGOGOG חוצה את ∠COB\angle COB∠COB. חשבו את ∠EOG\angle EOG∠EOG כאשר ∠AOC=64∘\angle AOC = 64^\circ∠AOC=64∘.

ד.

הסבירו למה ∠EOG\angle EOG∠EOG היא זווית ישרה בכל גודל של ∠AOC\angle AOC∠AOC.

ה.

נועה טוענת: "בכל גודל של ∠AOC\angle AOC∠AOC, הזווית ∠EOB\angle EOB∠EOB היא זווית קהה." האם נועה צודקת? נמקו.

שאלה 10 · אילו טענות נכונות תמיד?שאלה קצרה · רמה א'

בסרטוט שלפניכם הישרים ABABAB ו-CDCDCD נחתכים בנקודה MMM.
αβγδMABCDE

אילו טענות נכונות תמיד?
(1) β=δ\beta = \deltaβ=δ
(2) β+γ=90∘\beta + \gamma = 90^\circβ+γ=90∘
(3) δ+γ=180∘\delta + \gamma = 180^\circδ+γ=180∘
(4) δ=γ\delta = \gammaδ=γ
(5) β+δ=180∘−α\beta + \delta = 180^\circ - \alphaβ+δ=180∘−α

עוד 30 שאלות על זוויות קודקודיות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שולחן מתקפל (שאלת ביניים · רמה ב')
לשולחן מתקפל יש שתי רגליים ישרות שמחוברות בבורג $O$ , בצורת האות X. הרגל $AB$ והרגל $CD$ נחתכות ב- $O$ . הנקודות $A$ ו- $C$ צמודות למשטח השולחן,…
האם ייתכן מספר כזה? (שאלה קצרה · מצוינות)
הישרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ .
קרן מאונכת לאחד הישרים (שאלת ביניים · רמה א')
הישרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ . הקרן $OE$ מאונכת לישר $AB$ ( $OE \perp AB$ ), והקרן $OF$ היא ההמשך של $OE$ מעבר ל- $O$ . נתון:…
מצלמת חריר (שאלה מלאה · רמה ב')
מצלמת חריר היא קופסה סגורה עם חור קטן $O$ באחת הדפנות. אור נע בקווים ישרים: קרן מראש העץ $A$ עוברת דרך החור ופוגעת בדופן האחורית בנקודה $C$ ,…
שלושה ישרים ושלושה מספרים חסרים (שאלה מלאה · מצוינות)
שלושה ישרים, $AD$ , $BE$ ו- $CF$ , נחתכים בנקודה $O$ . סביב $O$ הקרניים מסודרות לפי הסדר $OA$ , $OB$ , $OC$ , $OD$ , $OE$ , $OF$ . נתון:…
סכום של זוג זוויות קודקודיות (שאלת ביניים · רמה א')
הישרים $PQ$ ו- $RS$ נחתכים בנקודה $T$ . סכום הזוויות הקודקודיות $\angle PTR$ ו- $\angle QTS$ הוא $104^\circ$ .
מספר חסר בזווית הקודקודית (שאלה קצרה · רמה ב')
הישרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ . נתון: $\angle AOC = 70^\circ$ , $\angle BOC = 110^\circ$ .
שש זוויות: כמה קהות, כמה שוות? (שאלה קצרה · מצוינות)
שלושה ישרים נחתכים בנקודה אחת ויוצרים סביבה שש זוויות סמוכות. לא נתון אף גודל.
שלושה ישרים: צמודות וקודקודיות (שאלת ביניים · רמה א')
בסרטוט שלפניכם שלושה ישרים הנחתכים בנקודה $O$ .
שלושה מספרים חסרים סביב נקודת החיתוך (שאלת ביניים · רמה ב')
הישרים $EF$ ו- $GH$ נחתכים בנקודה $K$ . נתון: $\angle EKG = 60^\circ$ .
ישרה, חדות וקהות: מה ייתכן בארבע הזוויות? (שאלת ביניים · מצוינות)
שני ישרים נחתכים בנקודה $O$ ויוצרים ארבע זוויות. לא נתון אף גודל.
מדידות של קבוצות בכיתה (שאלה מלאה · רמה א')
בשיעור גאומטריה כל קבוצה סרטטה שני ישרים, $AB$ ו- $CD$ , שנחתכים בנקודה $O$ , ומדדה במד זווית את ארבע הזוויות $\angle AOC$ , $\angle COB$ ,…
ישר שלישי דרך שני ישרים מאונכים (שאלה קצרה · רמה ב')
הישרים $AB$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה ונחתכים בנקודה $O$ . ישר שלישי, $EF$ , עובר גם הוא דרך $O$ . נתון: $\angle AOE = 35^\circ$ .
שני חוצים של זוויות קודקודיות: ישר אחד? (שאלה קצרה · מצוינות)
הישרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ . הקרן $OE$ חוצה את $\angle AOC$ , והקרן $OF$ חוצה את $\angle BOD$ . כל קרן סורטטה בנפרד, ולא ידוע מראש אם…
זווית קודקודית וזווית צמודה כתובות בעזרת מספר חסר (שאלה קצרה · רמה א')
הישרים $KM$ ו- $LN$ נחתכים בנקודה $O$ . נתון: $\angle MON = 72^\circ$ .
המשך של חוצה זווית (שאלה קצרה · רמה ב')
הישרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ . הישר $EF$ עובר דרך $O$ , והקרן $OE$ חוצה את $\angle AOC$ .
רק קודקוד משותף: האם זה מספיק? (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה זווית $\angle ABC = 60^\circ$ . דן סרטט זווית נוספת, $\angle DBE$ , שגם גודלה $60^\circ$ , ויש לה עם $\angle ABC$ רק קודקוד משותף, $B$ .…
טבלה של מספרים חסרים: קודקודית או צמודה? (שאלת ביניים · רמה א')
הישרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ . סביב $O$ הקרניים מסודרות כך: $OA$ , אחריה $OC$ , אחריה $OB$ ואחריה $OD$ . כל שורה בטבלה היא מצב אחר של…
סורגים בחלון (שאלת ביניים · רמה ב')
בחלון יש שני סורגים ישרים, $AB$ ו- $CD$ , שנחתכים בנקודה $O$ בצורת האות X. סורג שלישי, ישר ואנכי, $EF$ , עובר דרך $O$ . הסורג האנכי עובר בדיוק…
ההפרש בין הזווית הקהה לחדה: תמיד זוגי? (שאלה קצרה · מצוינות)
שני ישרים נחתכים בנקודה אחת, אינם מאונכים, ויוצרים ארבע זוויות: שתי זוויות חדות ושתי זוויות קהות.
צמודות וקודקודיות עם משוואה (שאלת ביניים · רמה א')
הישרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ . נתון: $\angle AOC = 3x + 20^\circ$ ו- $\angle AOD = 2x + 10^\circ$ .
מסרטטים קודקודית בשני צעדים (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונה זווית $\angle ABC = 70^\circ$ . סרטטו אותה במחברת (אפשר בערך) וענו לפי הסדר.
אריחים משולשים סביב נקודה: מתי ההיקף גדל ומתי קטן (שאלה מלאה · מצוינות)
אריחים זהים בצורת משולש שווה צלעות, שאורך הצלע של כל אחד $5$ ס"מ, מונחים סביב הנקודה $O$ . לכל אריח יש קודקוד ב- $O$ , וכל שני אריחים שכנים…
שלושה שבילים בכיכר (שאלה מלאה · רמה א')
בפארק שלושה שבילים ישרים נפגשים במרכז הכיכר $O$ : השביל $AD$ , השביל $BE$ והשביל $CF$ . סביב $O$ הקצוות של השבילים מסודרים לפי הסדר $A$ , $B$ ,…
קודקודיות בתוך סרטוט של משולש (שאלה קצרה · רמה ב')
בסרטוט המשולש $ABC$ . הנקודות $D$ , $A$ , $B$ , $E$ נמצאות על ישר אחד. הצלע $CB$ ממשיכה מעבר ל- $B$ עד הנקודה $F$ , והצלע $AC$ ממשיכה מעבר ל- $C$ …
סכום של שתיים, הפרש של שתיים (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף שני ישרים נחתכים בנקודה אחת ויוצרים ארבע זוויות.
קיפול לאורך קו שעובר בנקודת החיתוך (שאלה קצרה · רמה א')
על דף מסורטטים שני ישרים, $AB$ ו- $CD$ , שנחתכים בנקודה $O$ . נתון: $\angle AOC = 110^\circ$ . מקפלים את הדף לאורך הקו $EF$ שעובר דרך $O$ (הקו…
מזווית אחת לכל הסרטוט: חוצה והמשכו (שאלת ביניים · רמה א')
הישרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ . הקרן $OE$ חוצה את $\angle AOC$ , והקרן $OF$ היא ההמשך של $OE$ מעבר ל- $O$ . נתון:…
קודקודית לזווית חדה, ישרה ושטוחה (שאלת ביניים · רמה א')
בכל סעיף נתונה זווית. סרטטו אותה במחברת, וענו.
זווית קודקודית על מערכת צירים (שאלה מלאה · רמה א')
על מערכת צירים מסורטטת זווית $\angle ABC$ . הקודקוד הוא $B(5,4)$ , השוק $BA$ עוברת דרך הנקודה $A(8,5)$ , והשוק $BC$ עוברת דרך הנקודה $C(6,7)$ .…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

זוויות צמודות, ומתי שתי זוויות הן קודקודיות (שאלה קצרה · רמה א')
הנקודה $O$ נמצאת על הישר $AB$ . מהנקודה $O$ יוצאות שתי קרניים: $OC$ מעל הישר ו- $OD$ מתחתיו. נתון:…
שני ישרים נחתכים: קודקודית וצמודה (שאלה קצרה · רמה ב')
הישרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ . נתון: $\angle BOC=47^\circ$ .