שאלות פתוחות: משולש שווה שוקיים: משפטים הפוכים, הנתון והתוצאה - כיתה ח'

כאן מרוכזות שאלות פתוחות על משפטים הפוכים במשולש שווה שוקיים לכיתה ח', עם הבחנה בין הנתון לבין מה שצריך להוכיח. התלמידים מוכיחים שמשולש הוא שווה שוקיים כשהגובה הוא גם תיכון, מוצאים x כשהשוקיים נתונות כביטויים, עובדים עם חזית בית שקורת הבסיס שלה נמשכת לשני הצדדים, ועם קטע שמקביל לצלע ועובר דרך אמצע צלע אחרת. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. אפשר להרכיב מהן מבחן בהוכחות או דף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

52 שאלותרמה א': 21רמה ב': 14מצוינות: 17

שאלה 1 · גובה וזוויות: האם המשולש שווה שוקיים?שאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף הקטע שיוצא מהקודקוד העליון הוא גובה לצלע שמולו.

א.

במשולש ABCABCABC הקטע ADADAD הוא גובה לצלע BCBCBC. נתון: ∠BAD=28∘\angle BAD=28^\circ∠BAD=28∘, ∠ACB=62∘\angle ACB=62^\circ∠ACB=62∘.
28°62°BCAD
האם AB=ACAB=ACAB=AC? נמקו.

ב.

במשולש PQRPQRPQR הקטע PSPSPS הוא גובה לצלע QRQRQR. נתון: ∠QPS=35∘\angle QPS=35^\circ∠QPS=35∘, ∠PRQ=50∘\angle PRQ=50^\circ∠PRQ=50∘. האם PQ=PRPQ=PRPQ=PR? נמקו.

שאלה 2 · שתי זוויות שוות: אילו צלעות שוות?שאלה קצרה · רמה ב'

ענו על כל סעיף בנפרד.

א.

במשולש KLMKLMKLM נתון ∠K=34∘\angle K=34^\circ∠K=34∘, ∠L=73∘\angle L=73^\circ∠L=73∘. האם המשולש שווה שוקיים? אם כן, אילו שתי צלעות שוות זו לזו? נמקו.

ב.

במשולש DEFDEFDEF נתון ∠D=∠F\angle D=\angle F∠D=∠F ו-DE=5DE=5DE=5 ס"מ. איזו צלע נוספת במשולש אורכה 555 ס"מ? נמקו.

שאלה 3 · דמיון במשולש ישר זווית עם תיכון ואנךשאלת ביניים · מצוינות

משולש ABCABCABC ישר זווית, ∠B=90∘\angle B=90^\circ∠B=90∘
DE⊥ACDE\perp ACDE⊥AC
ABCED

א.

הוכיחו: △CBA∼△CDE\triangle CBA\sim\triangle CDE△CBA∼△CDE

ב.

נתון גם:
BDBDBD תיכון ל- ACACAC
△ABE∼△CDE\triangle ABE\sim\triangle CDE△ABE∼△CDE (בהתאמת הקודקודים)

הוכיחו: AEAEAE חוצה זווית AAA

ג.

הוכיחו: AB=ADAB=ADAB=AD

שאלה 4 · תיכון שהוא גם גובה: משוואה ושוקייםשאלה קצרה · רמה א'

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD היא אמצע הצלע BCBCBC, והקטע ADADAD מאונך ל-BCBCBC.
נתון (בס"מ): AB=3x−4AB=3x-4AB=3x−4, AC=x+10AC=x+10AC=x+10.
BCAD

א.

מצאו את xxx ואת אורך הצלע ABABAB. נמקו.

ב.

נתון גם ∠ACB=58∘\angle ACB=58^\circ∠ACB=58∘. חשבו את ∠BAD\angle BAD∠BAD. נמקו.

שאלה 5 · חזית של גג: זוויות חיצוניות שוותשאלה קצרה · רמה ב'

חזית של בית עם גג רעפים נראית כמו המשולש ABCABCABC. הקורה האופקית BCBCBC ממשיכה לשני הצדדים: משמאל עד הנקודה DDD ומימין עד הנקודה EEE.
נתון: ∠ABD=140∘\angle ABD=140^\circ∠ABD=140∘, ∠ACE=140∘\angle ACE=140^\circ∠ACE=140∘, AB=4.5AB=4.5AB=4.5 מ'.
140°140°BCADE

חשבו את ∠ABC\angle ABC∠ABC ואת ∠ACB\angle ACB∠ACB, ומצאו את אורך הקורה ACACAC. נמקו.

שאלה 6 · אמצע צלע, ישר מקביל ובחירת נתון לדמיוןשאלת ביניים · מצוינות

נתון משולש ABCABCABC. הנקודה DDD היא אמצע הצלע ACACAC
EC∥ABEC\parallel ABEC∥AB
(בסרטוט: הנקודה FFF על הצלע ABABAB, והקטע FEFEFE עובר דרך DDD.)
ABCDEF

א.

הוכיחו FD=DEFD=DEFD=DE

ב.

לפניכם 4 נתונים נוספים לשאלה. רק נתון אחד מביניהם יכול לאפשר הוכחה שהמשולשים AFDAFDAFD ו- ABCABCABC דומים, בחרו את הנתון המתאים והוכיחו דמיון בין שני המשולשים:
i\mathrm{i}i. ∠B=∠ACB\angle B=\angle ACB∠B=∠ACB
ii\mathrm{ii}ii. DE=DCDE=DCDE=DC
iii\mathrm{iii}iii. ∠DCE=∠EDC\angle DCE=\angle EDC∠DCE=∠EDC
iv\mathrm{iv}iv. FD∥BCFD\parallel BCFD∥BC

ג.

ללא קשר לסעיף ב' נתון:
משולש DECDECDEC משולש שווה שוקיים (DE=CEDE=CEDE=CE)
FE∥BCFE\parallel BCFE∥BC

הוכיחו:
i\mathrm{i}i. ACACAC חוצה זווית ∠BCE\angle BCE∠BCE
ii\mathrm{ii}ii. משולש ABCABCABC הוא משולש שווה שוקיים.

שאלה 7 · גובה ושתי זוויות: האם השוקיים שוות?שאלה קצרה · רמה א'

לפניכם סרטוט של המשולש ABCABCABC.
24°64°BCDA
(בסרטוט: AD⊥BCAD\perp BCAD⊥BC, ∠BAD=24∘\angle BAD=24^\circ∠BAD=24∘, ∠ACB=64∘\angle ACB=64^\circ∠ACB=64∘.)

על־פי הנתונים שבסרטוט, האם AB=ACAB = ACAB=AC?
נמקו את תשובתכם.

שאלה 8 · הוכחה מודרכת: שתי זוויות שוות בעזרת גובהשאלת ביניים · רמה ב'

במשולש ABCABCABC נתון ∠ABC=∠ACB\angle ABC=\angle ACB∠ABC=∠ACB. רוצים להוכיח ש-AB=ACAB=ACAB=AC, בלי להניח זאת מראש.
מעבירים מהקודקוד AAA את הגובה ADADAD לצלע BCBCBC.
BCAD

א.

הסבירו מדוע ∠BAD=∠CAD\angle BAD=\angle CAD∠BAD=∠CAD.

ב.

הוכיחו: △ABD≅△ACD\triangle ABD\cong\triangle ACD△ABD≅△ACD. ציינו את משפט החפיפה.

ג.

הסיקו ש-AB=ACAB=ACAB=AC. נמקו.

שאלה 9 · טענה והטענה ההפוכה: שתי זוויות חדותשאלה קצרה · מצוינות

טענה: "אם משולש הוא שווה שוקיים, אז יש בו לפחות שתי זוויות חדות."

א.

כתבו מה נתון בטענה ומה צריך להוכיח, והוכיחו אותה.

ב.

כתבו את הטענה ההפוכה. האם היא נכונה? אם כן, הוכיחו אותה. אם לא, תנו דוגמה נגדית.

שאלה 10 · חוצה הזווית החיצונית מקביל לצלעשאלת ביניים · רמה א'

במשולש ABCABCABC מאריכים את הצלע BABABA מעבר לנקודה AAA עד לנקודה FFF.
הקרן AEAEAE חוצה את הזווית ∠FAC\angle FAC∠FAC, ונתון ש-AE∥BCAE\parallel BCAE∥BC.
BCAEF

א.

נתון ∠ABC=66∘\angle ABC=66^\circ∠ABC=66∘. חשבו את ∠FAE\angle FAE∠FAE, את ∠EAC\angle EAC∠EAC ואת ∠ACB\angle ACB∠ACB. נמקו כל שלב.

ב.

הוכיחו שבכל משולש כזה (לא רק כאשר ∠ABC=66∘\angle ABC=66^\circ∠ABC=66∘) מתקיים AB=ACAB=ACAB=AC.

ג.

כאשר ∠ABC=66∘\angle ABC=66^\circ∠ABC=66∘, חשבו את ∠BAC\angle BAC∠BAC, ובדקו שהזווית החיצונית ∠FAC\angle FAC∠FAC שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

עוד 35 שאלות על משולש שווה שוקיים: משפטים הפוכים, הנתון והתוצאה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

עמוד האוהל: תיכון שהוא גם גובה (שאלה מלאה · רמה ב')
אוהל נראה מהחזית כמו המשולש $ABC$ . העמוד $AD$ עומד מאונך לקרקע $BC$ . שני החבלים $AB$ ו- $AC$ קשורים ליתדות $B$ ו- $C$ , והיתדות נמצאות במרחקים…
משולש ישר זווית עם זווית של 30°: מה מגלים המשפטים ההפוכים (שאלת ביניים · מצוינות)
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $\angle ABC=30^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על היתר $AB$ כך ש- $\angle ACD=60^\circ$ .
חוצה זווית וישר מקביל: איזה משולש שווה שוקיים? (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון $\angle ABC=70^\circ$ , $\angle ACB=40^\circ$ . הקטע $BD$ חוצה את הזווית $\angle ABC$ ( $D$ על הצלע $AC$ ). דרך $D$ מעבירים…
הוכחה מודרכת: שתי זוויות שוות בעזרת חוצה זווית (שאלה מלאה · רמה ב')
במשולש $ABC$ הזוויות שבקודקודים $B$ ו- $C$ שוות זו לזו.
משפט והפוך: תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים (שאלה מלאה · מצוינות)
משפט 1: "אם במשולש התיכון לצלע מסוימת הוא גם הגובה לאותה צלע, אז המשולש שווה שוקיים."
מרובע שאלכסונו חוצה זווית ומאונך לאלכסון השני (שאלת ביניים · רמה א')
במרובע $ABCD$ האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $K$ . נתון: האלכסון $AC$ חוצה את הזווית $A$ של המרובע, ומאונך לאלכסון $BD$ .
חוצה זווית לבדו: איזה נתון חסר? (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $\angle BAC$ , והנקודה $D$ על $BC$ . אין נתון על הצלעות.
ארבע טענות על מרובע: מתי יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות? (שאלה מלאה · מצוינות)
קבעו מי מהטענות הבאות נכונה תמיד. אם הטענה נכונה – הוכיחו אותה. בכל הטענות $ABCD$ הוא מרובע, $AC$ ו- $BD$ הם האלכסונים שלו, והם נחתכים בנקודה…
שלושה משולשים שווי שוקיים בתוך משולש אחד (שאלה מלאה · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון $\angle ABC=\angle ACB=72^\circ$ . הקטע $BD$ חוצה את הזווית $\angle ABC$ , והנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ .
קטע מהראש אל הבסיס: לא כל קטע חוצה את זווית הראש (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ נתון $AB=AC$ ו- $BC=10$ ס"מ. הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $BD=3$ ס"מ. מחברים את $A$ ל- $D$ .
שלוש זוויות שוות: מי כאן "הראש"? (שאלה קצרה · מצוינות)
במשולש $ABC$ שלוש הזוויות שוות זו לזו.
הנתון והתוצאה: טענות על היקף, שטח ותיכון (שאלה מלאה · רמה א')
איזו טענה נכונה ואיזו טענה אינה נכונה? נמקו.
מה נתון ומה צריך להוכיח: הצלעות שמול הזוויות (שאלת ביניים · רמה ב')
משפט: "אם במשולש שתי זוויות שוות, אז הצלעות שמולן שוות." במשולש $PQR$ נתון $\angle P=\angle Q$ .
תיכון שהוא גם חוצה זווית: הכפלת התיכון (שאלת ביניים · מצוינות)
במשולש $ABC$ הקטע $CM$ הוא תיכון ( $M$ אמצע $AB$ ), וגם חוצה את הזווית $\angle ACB$ . רוצים להוכיח ש- $CA=CB$ . מאריכים את $CM$ מעבר ל- $M$ עד…
משולש ישר זווית, משולש שווה צלעות וחוצה זווית חיצונית (שאלה מלאה · רמה א')
נתון: $\triangle ABC$ משולש שווה שוקיים וישר זווית ( $AB=BC$ , $\angle B=90^\circ$ ) $\triangle ADC$ משולש שווה צלעות הנקודה $E$ על המשך $BC$ …
שתי זוויות של $6 4^{\circ}$ : שווה שוקיים או שווה צלעות? (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ נתון $\angle A=\angle B=64^\circ$ . אין נתון על הצלעות. רותם אומרת: "המשולש שווה שוקיים." ליה אומרת: "המשולש שווה צלעות." מי…
אילו נתונים מבטיחים משולש שווה שוקיים? (שאלה קצרה · מצוינות)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ , ומחברים את $A$ ל- $D$ . לפניכם ארבע מערכות נתונים: (1) $AD$ חוצה את $\angle BAC$ , ו- $AD\perp BC$ .…
חמש טענות: נכון תמיד או דוגמה נגדית (שאלה מלאה · רמה א')
לפניכם 5 טענות. לגבי כל טענה ענו אם היא נכונה תמיד או אינה נכונה. הוכיחו או תנו דוגמה נגדית.
תורן של גשר ושני כבלים (שאלה מלאה · רמה ב')
תורן $TH$ של גשר עומד מאונך למשטח הגשר $PQ$ (הנקודה $H$ על $PQ$ ). שני כבלים, $TP$ ו- $TQ$ , יוצאים מראש התורן אל משטח הגשר. המהנדסת מדדה ומצאה…
המשפט ההפוך בלי קטע עזר (שאלה קצרה · מצוינות)
שירה מוכיחה את המשפט "אם במשולש $ABC$ מתקיים $\angle ABC=\angle ACB$ , אז $AB=AC$ " בלי לסרטט קטע עזר: היא משווה את המשולש $ABC$ למשולש $ACB$ …
הוכחה מעגלית: שני משפטים נכונים שאינם הוכחה (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון $\angle CAB=\angle CBA$ . אין נתון על הצלעות. רוצים להוכיח ש- $CA=CB$ . גיל כתב: 1. $CA=CB$ , כי $\angle CAB=\angle CBA$ ומול…
משולש שווה שוקיים עם זווית ראש קהה (שאלת ביניים · רמה ב')
המשולש $ABC$ שווה שוקיים: $AB=AC$ , ו- $\angle BAC=108^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ , כך ש- $DA=DB$ .
קטעים שווים על שוק ועל המשך שוק: מקביל דרך הקצה השני (שאלת ביניים · מצוינות)
במשולש $KLM$ נתון: $KL = KM$ . הנקודה $P$ על הצלע $KL$ , והנקודה $Q$ על המשך הצלע $KM$ מעבר ל- $M$ , כך ש- $LP = MQ$ . הקטע $PQ$ חותך את הבסיס…
תיכון שהוא גם גובה: הוכחה ומשוואה (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ הנקודה $M$ היא אמצע $BC$ , והקטע $AM$ מאונך ל- $BC$ . אין נתון על הצלעות $AB$ ו- $AC$ . נתון (במעלות): $\angle BAM=2x+9$ ,…
שתי זוויות שוות: משוואה בצלעות (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ נתון $\angle B=\angle C$ . אורכי הצלעות בס"מ: $AB=2x+5$ , $AC=4x-7$ , $BC=x+4$ .
שתי זוויות חיצוניות שוות: מה נובע על הצלעות? (שאלת ביניים · מצוינות)
במשולש $ABC$ מאריכים את הצלע $BC$ לשני הכיוונים: הנקודה $D$ נמצאת על המשך $CB$ מעבר ל- $B$ , והנקודה $E$ נמצאת על המשך $BC$ מעבר ל- $C$ . נתון:…
משפט והמשפט ההפוך לו: מתי שניהם נכונים? (שאלה קצרה · רמה א')
לכל משפט כתבו את המשפט ההפוך לו, וקבעו אם המשפט ההפוך נכון. אם הוא נכון - נמקו. אם הוא אינו נכון - תנו דוגמה נגדית.
מתקן נדנדה: רגליים באותה זווית (שאלת ביניים · רמה ב')
מתקן נדנדה נראה מהצד כמו המשולש $ABC$ : שתי הרגליים $AB$ ו- $AC$ נפגשות בראש $A$ , והנקודות $B$ ו- $C$ על הקרקע. שתי הרגליים יוצרות עם הקרקע…
חוצה זווית שגדולה פי 2 מזווית אחרת (שאלת ביניים · מצוינות)
במשולש $ABC$ הזווית $B$ גדולה פי $2$ מהזווית $C$ : $\angle ABC=2\cdot\angle ACB$ . $BD$ חוצה את הזווית $ABC$ , והנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ .…
זוויות שוות מתחת לבסיס: מה נובע מהן? (שאלה מלאה · רמה א')
המשולשים $ABC$ ו- $ABD$ נמצאים משני צידי הקטע $AB$ . נתון: $CA=CB$ ו- $\angle DAB=\angle DBA$ . מחברים את $C$ ל- $D$ , והקטע $CD$ חותך את $AB$ …
מתי גם המשולש הגדול שווה שוקיים? (שאלה קצרה · מצוינות)
במשולש $ABC$ נתון $AB=AC$ . מאריכים את הבסיס $CB$ מעבר ל- $B$ עד לנקודה $D$ , כך ש- $BD=BA$ . מסמנים $\angle ADB=\alpha$ .
זווית חיצונית שגדולה פי $2$ מזווית רחוקה (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש $ABC$ מאריכים את הצלע $AC$ מעבר לנקודה $C$ עד לנקודה $D$ . הזווית החיצונית $\angle BCD$ גדולה פי $2$ מהזווית $\angle ABC$ . עוד נתון:…
שני קטעים שווים על צלע משותפת (שאלה קצרה · רמה א')
הקטעים $AC$ ו- $BD$ נמצאים מאותו צד של הקטע $AB$ . נתון: $AC=BD$ ו- $\angle CAB=\angle DBA$ . הקטעים $AD$ ו- $BC$ נחתכים בנקודה $P$ .
מהזווית שבין חוצי הזוויות לזווית הראש (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $PQR$ נתון $PQ=PR$ . $QM$ חוצה את $\angle PQR$ ( $M$ על $PR$ ), ו- $RN$ חוצה את $\angle PRQ$ ( $N$ על $PQ$ ). חוצי הזוויות נחתכים בנקודה…
קטע מקביל לבסיס ושלוש פעמים המשפט ההפוך (שאלה מלאה · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון $AB=AC$ ו- $\angle BAC=44^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על השוק $AB$ , ודרכה עובר קטע $DE\parallel BC$ ( $E$ על $AC$ ). הקטעים $BE$ …

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (7)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חוצה זווית בטרפז יוצר משולש שווה שוקיים (שאלה קצרה · רמה ב')
בטרפז $KLMN$ ( $KL\parallel NM$ ) חוצה הזווית $\angle KLM$ חותך את הבסיס $NM$ בנקודה $F$ . נתון: $LM=9$ ס"מ,…
זוויות בביטויים בין מקבילים: משולש שווה שוקיים וחוצה זווית (שאלת ביניים · רמה א')
הישרים $k$ ו- $m$ מקבילים. הנקודות $A$ ו- $C$ נמצאות על הישר $k$ , והנקודה $B$ נמצאת על הישר $m$ . על הישר $m$ …
ישר מקביל דרך מפגש של שני חוצי זוויות (שאלת ביניים · מצוינות)
במשולש $ABC$ חוצה הזווית $\angle ABC$ וחוצה הזווית $\angle ACB$ נחתכים בנקודה $T$ . דרך $T$ מעבירים ישר המקביל…
שני קטעים נחתכים במלבן: חפיפה וזוויות (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא מלבן. הנקודה $K$ נמצאת על הצלע $AD$ , והנקודה $L$ נמצאת על הצלע $BC$ , כך ש- $AK=BL$ . הקטעים $KC$ …
מתי רואים את הצלע הנגדית בזווית ישרה? (שאלה קצרה · מצוינות)
$ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=w$ ו- $AD=h$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $AB$ .
גובה, חוצה זווית ותיכון מאותו קודקוד (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $PQR$ נתון: $\angle RPQ=46^\circ$ , $\angle PQR=74^\circ$ . מהקודקוד $R$ יוצאים שלושה קטעים אל הצלע $PQ$ ,…
חוצה זווית וישר מקביל לו: איך חוצה הזווית מחלק את הצלע (שאלת ביניים · מצוינות)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=12$ ס"מ, $AC=9$ ס"מ, $BC=14$ ס"מ. $AD$ חוצה את הזווית $BAC$ (הנקודה $D$ על $BC$ ). דרך…