שאלות פתוחות: חפיפת משולשים: חלקים מתאימים והשתלשלות היסקית - כיתה ח'

אוסף שאלות פתוחות על חפיפת משולשים לכיתה ח': זיהוי חלקים מתאימים לפי סדר הקודקודים וכתיבת השתלשלות היסקית. התלמידים מוצאים צלעות וזוויות מתאימות במשולשים חופפים, כותבים חפיפה של משולש עם עצמו בסדר אחר, עובדים עם דגלונים שנגזרו לפי אותה תבנית ומסיקים מסקנות על קטעים שנחתכים או נקודות על ישר אחד. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. השאלות מתאימות לבוחן או לדף עבודה בפתיחת נושא החפיפה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

44 שאלותרמה א': 21רמה ב': 14מצוינות: 9

שאלה 1 · משולשים חופפים בהתאמה הפוכה: זווית בנקודת החיתוךשאלה קצרה · רמה א'

בשרטוט המשולשים ABCABCABC ו- MNPMNPMNP חופפים זה לזה בהתאמה.
80°60°ANBMCPD
(בסרטוט: ∠A=80∘\angle A=80^\circ∠A=80∘, ∠C=60∘\angle C=60^\circ∠C=60∘; הנקודות AAA, NNN, BBB, MMM על ישר אחד.)
ידוע ש- MN=ABMN=ABMN=AB.

חשבו את ∠PDB\angle PDB∠PDB.

שאלה 2 · חלקים מתאימים לפי סדר האותיותשאלה קצרה · רמה ב'

נתון: △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ△PQR≅△XYZ. החפיפה כתובה לפי סדר הקודקודים המתאימים.

א.

כתבו את שלושת זוגות הקודקודים המתאימים, ואת שלושת זוגות הצלעות השוות.

ב.

איזו זווית במשולש XYZXYZXYZ שווה ל-∠QRP\angle QRP∠QRP? ואיזו צלע במשולש XYZXYZXYZ שווה לצלע שמול הזווית ∠P\angle P∠P?

שאלה 3 · משולש שחופף לעצמו בסדר אחרשאלה קצרה · מצוינות

במשולש ABCABCABC כותבים חפיפה בין המשולש לבין עצמו, אבל בסדר אחר של הקודקודים.

א.

נתון: △ABC≅△ACB\triangle ABC \cong \triangle ACB△ABC≅△ACB (לפי סדר הקודקודים המתאימים), ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ∠B=70∘. אילו צלעות במשולש שוות זו לזו? מצאו את ∠C\angle C∠C ואת ∠A\angle A∠A.

ב.

נתון: △ABC≅△BCA\triangle ABC \cong \triangle BCA△ABC≅△BCA (לפי סדר הקודקודים המתאימים). הוכיחו שכל צלעות המשולש שוות, ומצאו את זוויותיו.

שאלה 4 · משולשים חופפים בהזזה: זווית בנקודת החיתוךשאלה קצרה · רמה א'

בשרטוט המשולשים ABCABCABC ו- NMPNMPNMP חופפים זה לזה בהתאמה.
80°60°ANBMCPD
(בסרטוט: ∠A=80∘\angle A=80^\circ∠A=80∘, ∠C=60∘\angle C=60^\circ∠C=60∘; הנקודות AAA, NNN, BBB, MMM על ישר אחד.)
ידוע ש- NM=ABNM=ABNM=AB.

חשבו את ∠PDB\angle PDB∠PDB.

שאלה 5 · שני דגלונים חופפיםשאלה קצרה · רמה ב'

לחגיגת סוף השנה גזרו דגלונים משולשים לפי אותה תבנית. שניים מהדגלונים הם △ABC\triangle ABC△ABC ו-△EDF\triangle EDF△EDF, ונתון: △ABC≅△EDF\triangle ABC \cong \triangle EDF△ABC≅△EDF (לפי סדר הקודקודים המתאימים).
במשולש ABCABCABC נתון: AB=36AB = 36AB=36 ס"מ, BC=30BC = 30BC=30 ס"מ, AC=24AC = 24AC=24 ס"מ, ∠B=41∘\angle B = 41^\circ∠B=41∘, ∠C=83∘\angle C = 83^\circ∠C=83∘.
??ABCDEF

א.

מצאו את אורכי הצלעות EDEDED, DFDFDF ו-EFEFEF.

ב.

מצאו את ∠F\angle F∠F ואת ∠E\angle E∠E. נמקו.

שאלה 6 · שני משולשים על צלע משותפתשאלת ביניים · מצוינות

הנקודות CCC ו-DDD נמצאות באותו צד של הקטע ABABAB. הקטעים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE.
נתון: △ABC≅△BAD\triangle ABC \cong \triangle BAD△ABC≅△BAD (לפי סדר הקודקודים המתאימים).
ABCDE

א.

נתון: AC=(2x+1)AC = (2x + 1)AC=(2x+1) ס"מ, BD=(3x−4)BD = (3x - 4)BD=(3x−4) ס"מ, AD=(x+3)AD = (x + 3)AD=(x+3) ס"מ. מצאו את xxx, ואת אורכי הקטעים ACACAC, BDBDBD, ADADAD ו-BCBCBC.

ב.

הוכיחו: ∠DAC=∠CBD\angle DAC = \angle CBD∠DAC=∠CBD.

ג.

נתון גם: ∠CAB=44∘\angle CAB = 44^\circ∠CAB=44∘. מצאו את ∠AEB\angle AEB∠AEB. נמקו כל שלב.

שאלה 7 · שני משולשים חופפים שנחתכים: זווית חיצונית בנקודת החיתוךשאלת ביניים · רמה א'

הנקודות BBB, EEE, CCC, FFF נמצאות על ישר אחד, בסדר הזה.
המשולשים חופפים: △ABC≅△DFE\triangle ABC\cong\triangle DFE△ABC≅△DFE, כאשר AAA מתאים ל-DDD, BBB מתאים ל-FFF ו-CCC מתאים ל-EEE.
הקטעים ACACAC ו-DEDEDE נחתכים בנקודה GGG.
נתון: ∠ABC=50∘\angle ABC=50^\circ∠ABC=50∘, ∠ACB=55∘\angle ACB=55^\circ∠ACB=55∘.
50°55°?BECFADG

א.

אילו זוויות במשולש DFEDFEDFE שוות ל-50∘50^\circ50∘ ול-55∘55^\circ55∘? נמקו.

ב.

חשבו את ∠DGC\angle DGC∠DGC. נמקו.

ג.

חשבו את ∠AGD\angle AGD∠AGD ואת ∠EGC\angle EGC∠EGC. נמקו, ובדקו את התשובה בעזרת המשולש GECGECGEC.

שאלה 8 · זיהוי חלקים מתאימים במשולשים חופפיםשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם סרטוט של שני משולשים חופפים: △ABC≅△KNP\triangle ABC \cong \triangle KNP△ABC≅△KNP.
(החפיפה כתובה לפי סדר הקדקודים המתאימים.)
45°75°5ABCKNP
(הנתונים שבסרטוט: ∠A=45∘\angle A = 45^\circ∠A=45∘, ∠B=75∘\angle B = 75^\circ∠B=75∘, AC=5AC = 5AC=5 ס"מ.)
על סמך הנתונים שבסרטוט ענו על הסעיפים שלפניכם:

א.

איזו צלע במשולש KNPKNPKNP שווה ל- 5 ס"מ?

ב.

מהו גודל ∠K\angle K∠K?
☐ 75∘75^\circ75∘
☐ 70∘70^\circ70∘
☐ 60∘60^\circ60∘
☐ 45∘45^\circ45∘

שאלה 9 · תמיד, לפעמים או אף פעם: טענות על חפיפהשאלה מלאה · מצוינות

בכל סעיף כתובה טענה על משולשים. קבעו אם הטענה נכונה תמיד, נכונה לפעמים או אף פעם אינה נכונה.
אם קבעתם "תמיד" או "אף פעם" - נמקו. אם קבעתם "לפעמים" - תנו דוגמה שבה הטענה נכונה ודוגמה שבה אינה נכונה.
בכל הסעיפים החפיפה כתובה לפי סדר הקודקודים המתאימים.

א.

שני משולשים חופפים, אחד מהם ישר זווית והשני קהה זווית.

ב.

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF ו-∠A=90∘\angle A = 90^\circ∠A=90∘, אז EFEFEF היא הצלע הארוכה ביותר במשולש DEFDEFDEF.

ג.

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF, אז AB=EFAB = EFAB=EF.

ד.

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF וגם △DEF≅△KLM\triangle DEF \cong \triangle KLM△DEF≅△KLM, אז △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM△ABC≅△KLM.

ה.

אם בשני משולשים יש שני זוגות של צלעות שוות, המשולשים חופפים.

שאלה 10 · מוצאים נעלם בעזרת חלקים מתאימיםשאלה קצרה · רמה א'

נתון: △KLM≅△STR\triangle KLM \cong \triangle STR△KLM≅△STR (לפי סדר הקודקודים המתאימים).

א.

נתון: KL=(3x−2)KL = (3x - 2)KL=(3x−2) ס"מ, ST=(x+10)ST = (x + 10)ST=(x+10) ס"מ, LM=2xLM = 2xLM=2x ס"מ. מצאו את xxx, ואת אורכי הצלעות KLKLKL, LMLMLM, STSTST ו-TRTRTR.

ב.

נתון: ∠M=3y\angle M = 3y∠M=3y, ∠R=y+40∘\angle R = y + 40^\circ∠R=y+40∘, ∠K=50∘\angle K = 50^\circ∠K=50∘. מצאו את yyy ואת שלוש הזוויות של המשולש STRSTRSTR.

עוד 34 שאלות על חפיפת משולשים: חלקים מתאימים והשתלשלות היסקית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שתי ערוגות שנפגשות בממטרה (שאלת ביניים · רמה ב')
בגינה הקהילתית יש שתי ערוגות משולשות, $\triangle ABC$ ו- $\triangle EDC$ , שנפגשות בקודקוד $C$ , שבו עומדת ממטרה. הנקודות $A$ , $C$ , $E$ נמצאות…
נובעת, אפשרית או בלתי אפשרית? (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף נתונים שני משולשים חופפים (לפי סדר הקודקודים המתאימים) ועוד טענה. קבעו אם הטענה נובעת בהכרח מהנתונים, אפשרית אבל לא נובעת מהנתונים,…
אותו היקף, אותו שטח - ובכל זאת לא חופפים (שאלה קצרה · רמה א')
שני תלמידים טוענים טענות על משולשים. בדקו כל טענה.
מפרשים זהים לשתי סירות (שאלה מלאה · רמה ב')
מועדון שייט הזמין שני מפרשים משולשים זהים לשתי סירות. המפרש של הסירה הראשונה הוא $\triangle ABC$ , ושל הסירה השנייה $\triangle MLK$ . המפרש…
מה שומר על חפיפה? (שאלת ביניים · מצוינות)
נתון משולש ישר זווית שאורכי הצלעות שלו $3$ , $4$ ו- $5$ ס"מ. הזווית הישרה נמצאת בין הצלעות שאורכן $3$ ו- $4$ ס"מ.
זווית קודקודית לזווית מתאימה (שאלה קצרה · רמה א')
בשרטוט שלפניכם המשולשים $ABC$ ו- $EDF$ חופפים זה לזה לפי התאמת הקודקודים. הנקודה $G$ נמצאת על המשך הקטע $DF$ . (הנתונים שבשרטוט: הנקודות $A$ ,…
סימן אחד לא מספיק להתאמה (שאלה קצרה · רמה ב')
המשולשים $ABC$ ו- $DEF$ חופפים. בסרטוט מסומנים שני סוגי סימנים: - קו קטן על הצלעות $AB$ ו- $DF$ : הצלעות האלה שוות. - קשת בזוויות $\angle BAC$ …
איפה הקודקוד החסר? (שאלה קצרה · מצוינות)
במערכת צירים נתונות הנקודות $A(0,0)$ , $B(4,0)$ , $C(1,3)$ .
זוויות שוות בהתאמה - ומה עוד צריך (שאלת ביניים · רמה א')
הקטעים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $O$ . נתון: $AB \parallel CD$ .
שלושה סוגים של שוויונות (שאלה קצרה · רמה ב')
נתון: $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים). אין סרטוט. מיכל כתבה ארבעה שוויונות לפי החפיפה: (1) $PQ=XY$ (2)…
משולשים חופפים במלבן (שאלה מלאה · מצוינות)
במערכת צירים (יחידה $=1$ ס"מ) נתון המלבן $ABCD$ : $A(0,0)$ , $B(8,0)$ , $C(8,6)$ , $D(0,6)$ . האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $O(4,3)$ .
משולשים חופפים במעגל (שאלת ביניים · רמה א')
$O$ הוא מרכז המעגל. הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ נמצאות על המעגל. נתון: $\triangle AOB \cong \triangle COD$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים),…
שני משולשים בנקודת חיתוך (שאלת ביניים · רמה ב')
הקטעים $KM$ ו- $LN$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון: $\triangle EKL \cong \triangle EMN$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים), $EL=8$ ס"מ,…
כמה דרכים לכתוב אותה חפיפה (שאלה קצרה · מצוינות)
נתון: $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים).
השתלשלות היסקית: ממקבילים לקטעים שווים (שאלה מלאה · רמה א')
הנקודות $L$ , $S$ , $M$ , $T$ נמצאות על ישר אחד, בסדר הזה. נתון: $KL \parallel RS$ ו- $KM \parallel RT$ .
שלושה חלקים זהים בפאזל (שאלה מלאה · רמה ב')
בפאזל יש חלקים בצורת משולש ישר זווית. החלק $ABC$ : $AC=6$ ס"מ, $BC=8$ ס"מ, $AB=10$ ס"מ, $\angle C=90^\circ$ . נתון:…
משולש שהועתק סביב קודקוד (שאלה קצרה · מצוינות)
נתון: $\triangle ABC \cong \triangle DBE$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים). הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ .
הנתון והתוצאה: טענות על היקף, שטח ותיכון (שאלה מלאה · רמה א')
איזו טענה נכונה ואיזו טענה אינה נכונה? נמקו.
מה נובע מהחפיפה ומה לא (שאלה קצרה · רמה ב')
נתון: $\triangle GHK \cong \triangle UWV$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים). אין סרטוט.
צלע משותפת: אותו קודקוד, זוויות אחרות (שאלה קצרה · רמה א')
הנקודות $M$ ו- $N$ נמצאות משני צדי הקטע $KL$ . נתון: $\triangle KLM \cong \triangle LKN$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים), $\angle MKL=40^\circ$ ,…
כותבים את החפיפה בסדר הנכון (שאלה קצרה · רמה ב')
המשולשים $ABC$ ו- $TUV$ חופפים. ידוע שבחפיפה הזו: $AB = UV$ , $BC = VT$ , $CA = TU$ . אין סרטוט.
שרשרת של שתי חפיפות (שאלה קצרה · רמה א')
נתון: $\triangle PQR \cong \triangle TUS$ וגם $\triangle XYZ \cong \triangle UST$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים). אין סרטוט.
מגדילים משולש ישר זווית: כופלים או מוסיפים? (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ הזווית $\angle B$ ישרה, $AB = 6$ ס"מ ו- $BC = 8$ ס"מ. מאיה ואורי בונים כל אחד משולש ישר זווית גדול יותר, עם זווית ישרה בין שני…
מקפלים משולש מנייר (שאלת ביניים · רמה א')
דף נייר בצורת משולש $ABC$ . מקפלים את הדף לאורך הקטע $AD$ , כאשר הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ . אחרי הקיפול החלק $ABD$ נופל בדיוק על החלק…
התאמה לפי סימני הצלעות (שאלה קצרה · רמה ב')
שני המשולשים בסרטוט חופפים. צלעות שוות מסומנות באותו מספר של קווים קטנים.
שני משולשים בקודקוד משותף על ישר (שאלת ביניים · רמה א')
המשולשים $PQR$ ו- $PST$ נוגעים זה בזה רק בקודקוד $P$ . נתון: $\triangle PQR \cong \triangle PST$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים),…
שני משולשים עם קודקוד משותף (שאלת ביניים · רמה ב')
הנקודות $K$ , $O$ , $L$ נמצאות על ישר אחד, וגם הנקודות $M$ , $O$ , $N$ נמצאות על ישר אחד. נתון: $\triangle KMO \cong \triangle LNO$ (לפי סדר…
מעבירים מידות לפי ההתאמה (שאלה קצרה · רמה א')
נתון: $\triangle PQR \cong \triangle DFE$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים). $PQ = 7$ ס"מ, $QR = 9$ ס"מ, $\angle P = 62^\circ$ ,…
התאמה לפי הזוויות (שאלה קצרה · רמה א')
המשולשים $ABC$ ו- $DEF$ חופפים. זוויות שוות מסומנות באותו מספר של קשתות. נתון: $AB = 5$ ס"מ, $BC = 7$ ס"מ, $CA = 6$ ס"מ.
דוגמאות נגדיות במערכת צירים (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף בודקים טענה בעזרת משולשים שקודקודיהם נתונים במערכת צירים (יחידה $= 1$ ס"מ). סרטטו את המשולשים בעצמכם.
תיכון מהראש: ההתאמה הנכונה והתאמה שגויה (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון $AB=AC$ ו- $\angle BAC=40^\circ$ . הנקודה $M$ היא אמצע הבסיס $BC$ , ומחברים את $A$ ל- $M$ .
התאמה שמתיישבת עם הנתונים - האם זו חפיפה? (שאלה קצרה · רמה א')
למשולשים $KPQ$ ו- $KRS$ יש קודקוד משותף $K$ . נתון: $KP=KR$ , $PQ=RS$ . אין נתונים נוספים, ולא נאמר שהמשולשים חופפים.
האם זה ייתכן? (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף נתונים שני משולשים חופפים. החפיפה כתובה לפי סדר הקודקודים המתאימים.
מרובע משני משולשים חופפים (שאלת ביניים · רמה א')
במרובע $KLMN$ האלכסון $KM$ מחלק את המרובע לשני משולשים, ונתון: $\triangle KLM \cong \triangle MNK$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים). עוד נתון:…