שאלות פתוחות: צלעות המשולש: אי-שוויון המשולש - כיתה ח'

תרגול בשאלות פתוחות על אי-שוויון המשולש לכיתה ח': מתי שלושה אורכים יוצרים משולש ומה טווח האורכים האפשרי לצלע השלישית. התלמידים גוזרים סרט לשלושה חלקים שיוצרים משולש, מוצאים טווח מרחקים בין שלושה יישובים, בודקים אורכים במשולש שווה שוקיים ובמשולש שהיקפו נתון, ומשתמשים באלכסון כדי לחלק מרובע לשני משולשים. השאלות מתחלקות שווה בין רמה א', רמה ב' ומצוינות. כאן אפשר להרכיב בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא וקובץ Word.

24 שאלותרמה א': 8רמה ב': 8מצוינות: 8

שאלה 1 · סרט באורך 30 ס"מ: כל דרכי החלוקהשאלה קצרה · רמה א'

לנה רוצה לגזור סרט שאורכו 303030 ס"מ לשלושה חלקים, ולהדביק אותם על בריסטול כך שייצרו משולש.
אורך החלק הראשון 131313 ס"מ, ואורכי שני החלקים האחרים הם מספרים שלמים של ס"מ.

א.

רשמו את כל האפשרויות לאורכי שני החלקים האחרים, כך שאפשר יהיה ליצור מהם משולש. (זוג אורכים שמופיע בסדר הפוך נחשב לאותה אפשרות.)

ב.

באיזו מהאפשרויות שמצאתם המשולש הוא שווה שוקיים? מה אורך הבסיס שלו?

שאלה 2 · הדרך הישרה היא הקצרה: שלושה יישוביםשאלה קצרה · רמה ב'

שלושה יישובים מסומנים באותיות AAA, BBB ו-CCC.
המרחק בקו ישר בין AAA ל-BBB הוא 141414 ק"מ, והמרחק בקו ישר בין BBB ל-CCC הוא 999 ק"מ.

א.

נניח ששלושת היישובים נמצאים על כביש ישר אחד, ו-BBB נמצא בין AAA ל-CCC. מה המרחק בין AAA ל-CCC?

ב.

היישובים אינם על ישר אחד, כלומר הם קודקודים של משולש. בעלון תיירות נכתב: "המרחק בקו ישר בין AAA ל-CCC הוא 242424 ק"מ". הסבירו מדוע הנתון בעלון שגוי.

שאלה 3 · צלע במשולש קצרה מחצי ההיקףשאלה קצרה · מצוינות

היקף משולש הוא 303030 ס"מ.

א.

האם אחת מצלעות המשולש יכולה להיות באורך 151515 ס"מ? ובאורך 161616 ס"מ? נמקו.

ב.

רון טוען: "בכל משולש, כל צלע קצרה מחצי ההיקף". האם רון צודק? הסבירו מדוע.

שאלה 4 · משולש שווה שוקיים: מי השוק ומי הבסיס?שאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף נתונים אורכים של שתי צלעות במשולש שווה שוקיים.

א.

שתי צלעות של משולש שווה שוקיים הן 777 ס"מ ו-161616 ס"מ. מה היקף המשולש? הסבירו מדוע יש רק תשובה אחת.

ב.

שתי צלעות של משולש שווה שוקיים אחר הן 777 ס"מ ו-121212 ס"מ. מה יכול להיות היקף המשולש? מצאו את כל האפשרויות.

שאלה 5 · היתר ארוך מכל ניצבשאלה קצרה · רמה ב'

במשולש ABCABCABC הזווית BBB ישרה (∠B=90∘\angle B=90^\circ∠B=90∘). אורכי הניצבים: AB=7AB=7AB=7 ס"מ, BC=24BC=24BC=24 ס"מ.
?BCA

א.

יעל טענה: "אורך היתר ACACAC הוא 202020 ס"מ". הסבירו בלי לחשב מדוע הטענה של יעל אינה נכונה.

ב.

חשבו את אורך היתר ACACAC, ובדקו שאורכי שלוש הצלעות מקיימים את אי-שוויון המשולש.

שאלה 6 · אלכסון במרובע: שני משולשים, תנאי אחדשאלת ביניים · מצוינות

במרובע ABCDABCDABCD נתון: AB=5AB=5AB=5 ס"מ, BC=9BC=9BC=9 ס"מ, CD=7CD=7CD=7 ס"מ, DA=4DA=4DA=4 ס"מ.
האלכסון ACACAC מחלק את המרובע לשני משולשים: ABCABCABC ו-ACDACDACD. אורך האלכסון ACACAC הוא מספר שלם של ס"מ.
ACBD

א.

אילו אורכים שלמים יכול ACACAC לקבל אם מסתכלים רק על המשולש ABCABCABC?

ב.

אילו אורכים שלמים יכול ACACAC לקבל אם מסתכלים רק על המשולש ACDACDACD?

ג.

כמה אורכים אפשריים יש לאלכסון ACACAC במרובע? מהם? הסבירו מדוע צריך להתחשב בשני המשולשים יחד.

שאלה 7 · שתי צלעות נתונות: איזו טענה אינה אפשרית?שאלה קצרה · רמה א'

במשולש נתונות שתי צלעות: AB=12AB=12AB=12 ס"מ ו- AC=5AC=5AC=5 ס"מ.
125?ABC

איזו מבין הטענות הבאות אינה אפשרית? (ניתן להיעזר בסרטוט משולשים)
א. המשולש ABCABCABC שווה שוקיים והבסיס שלו 5 ס"מ.
ב. המשולש ABCABCABC שווה שוקיים והבסיס שלו 12 ס"מ.
ג. המשולש ABCABCABC ישר זווית והצלעות ABABAB ו- ACACAC ניצבים שלו.
ד. המשולש ABCABCABC ישר זווית ו- ABABAB הוא היתר במשולש.
נמקו מדוע הטענה אינה אפשרית, והסבירו מדוע הטענות האחרות אפשריות.

שאלה 8 · שלושה מקלות: האם נוצר משולש?שאלה קצרה · רמה ב'

נתונים שלושה מקלות באורכים שונים. האם ניתן לבנות בעזרת המקלות משולש, אם שלושת האורכים שלהם הם:

א. 3 ס"מ 4 ס"מ 5 ס"מ
ב. 3 ס"מ 4 ס"מ 6 ס"מ
ג. 3 ס"מ 4 ס"מ 7 ס"מ
ד. 3 ס"מ 4 ס"מ 8 ס"מ

שאלה 9 · חקר: משולשים עם צלעות שלמות והיקף נתוןשאלה מלאה · מצוינות

בחקר הזה מחפשים משולשים שאורכי הצלעות שלהם הם מספרים שלמים (בס"מ) וההיקף שלהם נתון.
משולשים שנבדלים רק בסדר הצלעות נחשבים לאותו משולש (למשל 3,4,53,4,53,4,5 ו-5,3,45,3,45,3,4).

א.

מצאו את כל המשולשים שהיקפם 121212 ס"מ. הדרכה: הסבירו קודם מדוע הצלע הארוכה ביותר קצרה מ-666 ס"מ.

ב.

מצאו באותה דרך את כל המשולשים שהיקפם 131313 ס"מ ואת כל המשולשים שהיקפם 141414 ס"מ.

ג.

גיל טוען: "ככל שההיקף גדול יותר, יש יותר משולשים עם צלעות שלמות". האם גיל צודק? נמקו בעזרת התוצאות שלכם.

ד.

ליאור טוען: "אם ההיקף הוא מספר זוגי, יש תמיד משולש שכל צלעותיו שוות והן מספרים שלמים". האם הטענה נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם? נמקו.

שאלה 10 · צלעות בביטויים: האם המשולש קיים?שאלת ביניים · רמה א'

אורכי שלוש צלעות של "משולש" (בס"מ) הם: xxx, x+3x+3x+3 ו-3x−13x-13x−1.
ההיקף שלו 323232 ס"מ.

א.

כתבו משוואה ומצאו את xxx.

ב.

מצאו את אורכי שלוש הצלעות. האם קיים משולש כזה? נמקו.

ג.

אופיר שינה את ההיקף ל-171717 ס"מ, והביטויים של הצלעות נשארו אותו דבר. מצאו את הצלעות ובדקו אם עכשיו קיים משולש.

עוד 12 שאלות על צלעות המשולש: אי-שוויון המשולש

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חוט של 12 ס"מ בשלושה חלקים (שאלה קצרה · רמה ב')
נתון חוט שאורכו 12 ס"מ. יש לגזור את החוט לשלושה חלקים כך ש:
תמיד, לפעמים או אף פעם: טענות על תיכונים (שאלה מלאה · מצוינות)
בכל סעיף מופיעה טענה על משולש $ABC$ ועל קטע שיוצא מהקודקוד $A$ . קבעו אם הטענה נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם, ונמקו.
שתי צלעות ידועות: אילו משולשים אפשריים? (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון: $AB=15$ ס"מ, $AC=9$ ס"מ.
מסגרת משולשת: איזה מוט שלישי מתאים? (שאלת ביניים · רמה ב')
יוסי בונה מסגרת משולשת מעץ. יש לו שני מוטות: אחד באורך $5$ דצ"מ ואחד באורך $8$ דצ"מ. הוא צריך לבחור מוט שלישי.
כל המשולשים שווי השוקיים בהיקף $20$ (שאלת ביניים · מצוינות)
בונים משולשים שווי שוקיים שהיקפם $20$ ס"מ, וכל צלעותיהם מספרים שלמים של ס"מ.
מסלולי ריצה בפארק (שאלה מלאה · רמה א')
בפארק יש ארבע תחנות: $A$ , $B$ , $C$ ו- $D$ . בין כל שתי תחנות שמחוברות בשביל, השביל ישר. הזווית $ABC$ ישרה ( $\angle ABC=90^\circ$ ), $AB=300$ …
מקלות מהחנות: אילו משולשים אפשר לבנות? (שאלה מלאה · רמה ב')
בחנות לחומרי יצירה מוכרים מקלות עץ בחמישה אורכים: $10$ ס"מ, $20$ ס"מ, $30$ ס"מ, $40$ ס"מ ו- $50$ ס"מ. כיתה ח' בונה מסגרות משולשות לקישוט. כל…
שני זוגות צלעות באותו יחס: האם זה מספיק? (שאלה קצרה · מצוינות)
חוקר טוען: 'אם בשני משולשים יש שני זוגות של צלעות מתאימות עם אותו יחס, המשולשים דומים'. בודקים את הטענה על שני משולשים: $AB=6$ , $AC=8$ ,…
שלוש נקודות: האם יש משולש? (שאלה קצרה · רמה א')
במערכת הצירים מסומנות הנקודות $A(-4,-3)$ , $B(-1,1)$ , $C(5,9)$ . יחידות הצירים שוות.
שוק ובסיס: האם יש משולש כזה? (שאלה קצרה · רמה ב')
בטבלה מוצעים אורכים (בס"מ) של שוק ושל בסיס למשולש שווה שוקיים.
היקף $40$ ס"מ: עד כמה הבסיס יכול להיות ארוך מהשוק? (שאלה קצרה · רמה א')
הבסיס ארוך מהשוק ב- $7$ ס"מ. מצאו את אורך השוק ואת אורך הבסיס, ובדקו שיש משולש כזה.
צלע ארוכה מצלע אחרת: שני מקרים (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף מדובר במשולש שווה שוקיים שהיקפו $27$ ס"מ. לא ידוע אם הצלע הארוכה יותר היא השוק או הבסיס.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מרחיקים את העוגן: בכמה מתארך הכבל? (שאלה קצרה · מצוינות)
עמוד אנכי $TB$ בגובה $15$ מ' עומד על קרקע מישורית. כבל מתוח מראש העמוד $T$ לעוגן $A$ בקרקע, במרחק $BA=8$ מ'…
אי-שוויון המשולש אחרי החלפת קטע בקטע שווה לו (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף כתבו הוכחה בטענות ונימוקים. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.