מבחן לדוגמה: תכונות של פונקציה - כיתה ט'

חשבו את קצב השינוי בכל מאגר, במ"ק לשעה. באיזו שעה הכמויות בשני המאגרים שוות, ומה הכמות אז? איך היה נראה הרגע הזה אילו סרטטו את שני התהליכים באותה מערכת צירים?

בכמה מ"ק לשעה קטן הפער בין המאגרים עד השעה $9$? מה קורה לפער אחרי השעה $9$? אם הקצבים לא ישתנו, באיזו שעה יתרוקן המאגר הצפוני? למה תחזית כזאת פחות ודאית מחישוב בתוך תחום המדידות?

ידוע ש-$a$ ו-$c$ הם מספרים בעלי סימנים מנוגדים (אחד חיובי והשני שלילי). הסבירו מדוע הגרף של $f$ חותך את ציר ה-$x$ בשתי נקודות, בלי קשר לערך של $b$.

דנה טוענת: "אם הגרף של פונקציה ריבועית חותך את ציר ה-$x$ בשתי נקודות, אז בהכרח ל-$a$ ול-$c$ יש סימנים מנוגדים." האם הטענה נכונה? אם כן, הסבירו. אם לא, תנו דוגמה נגדית.

מה הקשר האלגברי בין הפונקציות המתוארות על ידי שני הגרפים?

$\text{i}$. $g(x)=f(x-2)$ $\quad$ $\text{ii}$. $g(x)=f(x)-2$ $\quad$ $\text{iii}$. $g(x)=f(x+2)$ $\quad$ $\text{iv}$. $g(x)=f(x)+2$

שרטטו את גרף הפונקציה $h(x)$ שהביטוי האלגברי שלה הוא $h(x)=-f(x)$

כמה נקודות חיתוך יש לגרפים של הפונקציות $f(x)$ ו- $h(x)$ ומה הן?

מצאו תחום שבו מתקיים $f(x)>0$ וגם $g(x)>0$.

$f(x)=-(x-3)^2+6$. כתבו את נקודת הקיצון ואת סוגה, ואת ערך הקיצון. האם זו נקודת קיצון מוחלט? נמקו.

$g(x)=2x-5$. האם יש לפונקציה נקודות קיצון? נמקו.

מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים:

ציר y:

ציר x:

באיזה תחום הפונקציה חיובית?

באיזה תחום הפונקציה שלילית?

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה. רשמו ליד כל נקודה אם היא נקודת מינימום או נקודת מקסימום

באיזה תחום הפונקציה עולה?

באיזה תחום הפונקציה יורדת?

לישר $y=2$ יש ___ נקודות חיתוך עם $f(x)$

לישר $y=-3$ יש ___ נקודות חיתוך עם $f(x)$

לישר $y=6$ יש ___ נקודות חיתוך עם $f(x)$

סרטטו את הישר $y=x+2$ במערכת הצירים, ופתרו בעזרת הגרף את המשוואה $x^2-x-2=0$. בדקו בהצבה.

איזה ישר צריך לסרטט כדי לפתור באותה דרך את המשוואה $x^2+2x-3=0$? פתרו אותה בעזרת הגרף, ובדקו בהצבה.

הסבירו בעזרת הגרף למה למשוואה $x^2-2x+3=0$ אין פתרון. בדקו את המסקנה בעזרת הדיסקרימיננטה.

בכל המשוואות מהצורה $x^2=2x+c$ הישרים $y=2x+c$ מקבילים זה לזה. מצאו את הערך של $c$ שעבורו לפרבולה ולישר יש נקודה משותפת אחת בלבד, ומצאו את הנקודה. עבור אילו ערכי $c$ יש למשוואה שני פתרונות, ועבור אילו ערכי $c$ אין לה פתרון?

הסבירו למה לכל $c>0$ ולכל מספר $m$, למשוואה $x^2=mx+c$ יש שני פתרונות. היעזרו בנקודה שבה הישר $y=mx+c$ חותך את ציר ה-$y$, ובדקו גם בעזרת הדיסקרימיננטה.

הסקיצה של התלמיד אינה מתאימה לטבלה. מצאו את כל הנתונים שבטבלה שהסקיצה סותרת, והסבירו.

כתבו את תחומי העלייה והירידה ואת תחומי החיוביות והשליליות שחייבים להיות לכל פונקציה שמתאימה לטבלה. ציינו באילו תחומים הסקיצה של התלמיד שונה מהם.

סרטטו סקיצה מתוקנת של $f$. מה הסימן של $f(-5)$, ומה הסימן של $f(2.5)$? נמקו לפי סעיף ב.

מצאו את הקדקוד של $f(x)$ וקבעו את סוגו. מצאו את נקודות החיתוך של $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

נתונה הפונקציה $g(x)=-f(x)$. כתבו את הביטוי של $g(x)$. היעזרו בסעיף א ומצאו את הקדקוד של $g(x)$ ואת סוגו, ואת נקודות החיתוך של $g(x)$ עם ציר ה-$x$.

כתבו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$ ושל $g(x)$, ואת תחום החיוביות של כל אחת מהן.