שאלות פתוחות: תחומי חיוביות ושליליות - כיתה ט'

תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה, שאלות פתוחות לכיתה ט'. התלמידים קוראים את התחומים מתוך גרפים, מכירים את הגרפים של x³ ושל x³+1, ומשרטטים או מנתחים פונקציה לפי נקודות האפס שלה. יש גם טענות על פונקציות שצריך לאשר בהסבר או להפריך בדוגמה נגדית, ושאלה על פרבולה עם ערך מקסימלי נתון. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וקובץ Word.

30 שאלותרמה א': 15רמה ב': 11מצוינות: 4

שאלה 1 · שני גרפים: הזזה, שיקוף וחיוביות משותפתשאלה מלאה · רמה א'

לפניכם גרפים של שתי פונקציות: f(x)f(x)f(x) ו- g(x)g(x)g(x).
f(x)g(x)
-4-3-2-112345-4-3-2-1123456

א.

מה הקשר האלגברי בין הפונקציות המתוארות על ידי שני הגרפים?
i\text{i}i. g(x)=f(x−2)g(x)=f(x-2)g(x)=f(x−2) \quad ii\text{ii}ii. g(x)=f(x)−2g(x)=f(x)-2g(x)=f(x)−2 \quad iii\text{iii}iii. g(x)=f(x+2)g(x)=f(x+2)g(x)=f(x+2) \quad iv\text{iv}iv. g(x)=f(x)+2g(x)=f(x)+2g(x)=f(x)+2

ב.

שרטטו את גרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) שהביטוי האלגברי שלה הוא h(x)=−f(x)h(x)=-f(x)h(x)=−f(x)

ג.

כמה נקודות חיתוך יש לגרפים של הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו- h(x)h(x)h(x) ומה הן?

ד.

מצאו תחום שבו מתקיים f(x)>0f(x)>0f(x)>0 וגם g(x)>0g(x)>0g(x)>0.

שאלה 2 · היכרות עם הגרף של $f (x) = x^{3}$ : טבלת ערכים ותכונותשאלת ביניים · רמה ב'

נכיר את גרף הפונקציה f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3

א.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

ב.

נעזר בטבלת ערכים לצורך שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה:
xxx−2-2−2−1-1−1−0.5-0.5−0.50000.50.50.5111222
f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3

ג.

לדיון:

•האם לפונקציה נקודות אפס?
•האם לפונקציה נקודות קיצון?
•קבעו באיזה תחום הפונקציה עולה / הפונקציה יורדת
•קבעו באיזה תחום הפונקציה חיובית / הפונקציה שלילית

שאלה 3 · עלייה, ירידה ונקודת אפס: מה אפשר להסיק על הסימןשאלה קצרה · מצוינות

בכל סעיף הפונקציה מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו רציף אחד.

א.

הפונקציה f(x)f(x)f(x) יורדת לכל xxx, ו-f(−2)=0f(-2)=0f(−2)=0. מצאו את תחום החיוביות ואת תחום השליליות של f(x)f(x)f(x). הסבירו למה אין ל-f(x)f(x)f(x) נקודות אפס נוספות.

ב.

הפונקציה h(x)h(x)h(x) עולה בתחום 1<x<51<x<51<x<5, ו-h(3)=0h(3)=0h(3)=0. דנה אמרה: "h(x)h(x)h(x) חיובית לכל x>3x>3x>3." האם דנה בהכרח צודקת? אם כן, הסבירו. אם לא, תנו דוגמה נגדית (תיאור של גרף או טבלה) וכתבו מה בטוח נכון.

שאלה 4 · קריאה מגרף ממעלה שלישית והזזה אנכיתשאלה מלאה · רמה א'

נתון גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).
f(x)
-5-4-3-2-112345-10-8-6-4-2246810

א.

השלימו: f(x)=4f(x)=4f(x)=4 כאשר x=x=x= ________

ב.

רשמו את התחום בו f(x)>0f(x)>0f(x)>0

ג.

רשמו את התחום שבו הפונקציה עולה וגם שלילית.

ד.

רשמו שני ערכים מתאימים ל- nnn שעבורם למשוואה f(x)=nf(x)=nf(x)=n יש 3 פתרונות.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+1g(x)=f(x)+1g(x)=f(x)+1
רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x). סמנו ליד כל נקודה אם היא נקודת מינימום או נקודת מקסימום.

ו.

אחד מבין שני הייצוגים האלגבריים מתאים ל- f(x)f(x)f(x). איזה מהם? נמקו.
y=−x(x−3)2y=-x(x-3)^2y=−x(x−3)2 \qquad y=x(x−3)2y=x(x-3)^2y=x(x−3)2

שאלה 5 · היכרות עם הגרף של $f (x) = x^{3} + 1$ שאלת ביניים · רמה ב'

נכיר את גרף הפונקציה f(x)=x3+1f(x)=x^3+1f(x)=x3+1

א.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

ב.

נעזר בטבלת ערכים לצורך שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה:
x-2-1-0.500.512
f(x)=x3+1f(x)=x^3+1f(x)=x3+1

ג.

לדיון:

• האם לפונקציה נקודות אפס?
• האם לפונקציה נקודות קיצון?
• קבעו באיזה תחום הפונקציה עולה / הפונקציה יורדת
• קבעו באיזה תחום הפונקציה חיובית / הפונקציה שלילית

שאלה 6 · מה אפשר להסיק מהסימן בשתי נקודותשאלה קצרה · מצוינות

בכל סעיף נתונה טענה על פונקציה fff המוגדרת לכל xxx. קבעו אם הטענה נכונה. אם היא נכונה, הסבירו למה. אם היא לא נכונה, תנו דוגמה נגדית.

א.

נועה: "אם f(2)>0f(2)>0f(2)>0 וגם f(6)>0f(6)>0f(6)>0, אז fff חיובית בכל התחום 2<x<62<x<62<x<6."

ב.

עידו: "אם הגרף של fff הוא קו אחד שלא נקטע, f(2)<0f(2)<0f(2)<0 ו-f(6)>0f(6)>0f(6)>0, אז ל-fff יש נקודת אפס בתחום 2<x<62<x<62<x<6." ואם הטענה נכונה: האם בהכרח יש שם נקודת אפס אחת בלבד?

שאלה 7 · פרבולה לפי ערך מקסימלי ותחום עלייה, והזזה אופקית שלהשאלה מלאה · רמה א'

נתונה פונקציה ריבועית f(x)f(x)f(x). גרף הפרבולה עובר דרך הנקודה (−1,12)(-1,12)(−1,12).
הערך המקסימלי שמקבלת הפונקציה הינו 16.
הפונקציה עולה בתחום x<−3x<-3x<−3

א.

כתבו את הביטוי האלגברי המייצג את הפונקציה. נמקו איך מצאתם.

ב.

שרטטו את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

מהו התחום בו הפונקציה f(x)f(x)f(x) חיובית.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4).
• מהן נקודות החיתוך עם ציר x של הפונקציה g(x)g(x)g(x). נמקו
• מהו תחום העלייה של הפונקציה g(x)g(x)g(x)

שאלה 8 · תכונות של פונקציה מתוך גרף: חיתוכים, סימן, קיצון, עלייה וירידהשאלה מלאה · רמה ב'

לפניכם גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל xxx
f(x)
-3-1.50.51.5262-2

א.

מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים:
ציר y:
ציר x:

ב.

באיזה תחום הפונקציה חיובית?
באיזה תחום הפונקציה שלילית?

ג.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה. רשמו ליד כל נקודה אם היא נקודת מינימום או נקודת מקסימום

ד.

באיזה תחום הפונקציה עולה?
באיזה תחום הפונקציה יורדת?

ה.

לישר y=2y=2y=2 יש ___ נקודות חיתוך עם f(x)f(x)f(x)
לישר y=−3y=-3y=−3 יש ___ נקודות חיתוך עם f(x)f(x)f(x)
לישר y=6y=6y=6 יש ___ נקודות חיתוך עם f(x)f(x)f(x)

שאלה 9 · ישר עם מקדם לא ידוע בתחום מוגבל: מתי הפונקציה חיוביתשאלת ביניים · מצוינות

נתונה הפונקציה f(x)=mx+6f(x)=mx+6f(x)=mx+6, כאשר mmm הוא מספר. הפונקציה מוגדרת רק בתחום 0≤x≤40\le x\le 40≤x≤4.

א.

עבור m=−2m=-2m=−2 מצאו את נקודת האפס של fff, ואת תחום החיוביות ותחום השליליות שלה.

ב.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם fff חיובית בכל תחום ההגדרה. הסבירו מדוע מספיק לבדוק את קצות התחום.

ג.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם fff שלילית ביותר ממחצית תחום ההגדרה (כלומר, האורך של תחום השליליות גדול מ-222).

שאלה 10 · פרבולה לפי נקודת מינימום ונקודת חיתוך, והזזה אופקית שלהשאלה מלאה · רמה א'

נתונה פונקציה ריבועית f(x)f(x)f(x).
הערך המינימלי של הפונקציה מתקבל בנקודה (4,−16)(4,-16)(4,−16).
ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר x בנקודה (8,0)(8,0)(8,0) ובתחום x>8x>8x>8 הפונקציה חיובית.

א.

כתבו ביטוי אלגברי המייצג את הפונקציה. נמקו.

ב.

שרטטו את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

רשמו את התחום בו הפונקציה f(x)f(x)f(x) שלילית וגם יורדת.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x+2)g(x)=f(x+2)g(x)=f(x+2).
• רשמו את נקודות החיתוך של הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם ציר x. נמקו
• רשמו את תחום העלייה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

עוד 16 שאלות על תחומי חיוביות ושליליות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תחומי חיוביות ושליליות של גרף בתחום סגור (שאלה קצרה · רמה ב')
הפונקציה $f$ מוגדרת רק בתחום $-4\le x\le 5$ , ולפניכם הגרף שלה. קצות הגרף מסומנים: הקצה השמאלי הוא $(-4,-4.5)$ והקצה הימני הוא $(5,0)$ .…
חקר: הסימן של $a (x - p)^{2} + k$ לפי הסימנים של $a$ ושל $k$ (שאלה מלאה · מצוינות)
בשאלה זו נחקור מתי פונקציה ריבועית בהצגה הקדקודית $f(x)=a(x-p)^2+k$ (כאשר $a\neq 0$ ) חיובית ומתי היא שלילית.
שתי פרבולות לפי תכונות: השוואה, הזזה אנכית והזזה אופקית (שאלה מלאה · רמה א')
תרגילי סיכום
תחומי חיוביות ושליליות מגרף: גרף מעל הציר וישר יורד (שאלה קצרה · רמה ב')
כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של כל אחת מהפונקציות הבאות:
יתרה בבנק: חיובית אינו אומר עולה (שאלה קצרה · רמה א')
הגרף מתאר את היתרה בחשבון הבנק של מועדון ספורט שכונתי במשך שנה. $t$ הוא מספר החודשים מתחילת השנה ( $0\le t\le 12$ ), ו- $B(t)$ היא היתרה באלפי…
סרטוט פונקציה חיובית, פונקציה שלילית ופונקציה שאינה חיובית ואינה שלילית (שאלה קצרה · רמה ב')
שרטטו במערכות הצירים שלפניכם גרף של פונקציה חיובית בכל תחומה, פונקציה שלילית בכל תחומה ופונקציה שאינה חיובית ואינה שלילית בתחום.
חיתוך מול השקה: חיוביות ו- $f (x) \leq 0$ (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם הגרף של הפונקציה $f$ , המוגדרת לכל $x$ . הגרף ממשיך באותה מגמה מעבר לגבולות הסרטוט (בשני הצדדים כלפי מטה), ואין לו נקודות משותפות…
ריצה הלוך ושוב במגרש: באיזה חצי של המגרש נמצאת הרצה (שאלת ביניים · רמה ב')
בשיעור ספורט נגה רצה הלוך ושוב לאורך מגרש הספורט של בית הספר. $p(t)$ הוא המיקום של נגה ביחס לקו האמצע של המגרש (במטרים), $t$ שניות מתחילת…
כדור שנזרק מגג: מעל גובה הגג ומתחתיו (שאלה קצרה · רמה א')
יואב זורק כדור כלפי מעלה מגג של בניין שגובהו $15$ מטרים. הכדור עולה, יורד ופוגע בקרקע ליד הבניין. הגובה של הכדור ביחס לגג (במטרים), $t$ …
משחק כדורסל: מי מוביל ומתי (שאלה מלאה · רמה ב')
במשחק כדורסל בין מכבי להפועל, $d(t)$ הוא ההפרש בנקודות: הנקודות של מכבי פחות הנקודות של הפועל, $t$ דקות מתחילת המשחק ( $0\le t\le 40$ ). הגרף…
תחומי חיוביות ושליליות מגרף: שלוש נקודות חיתוך וגרף שנוגע בציר (שאלה קצרה · רמה א')
כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של כל אחת מהפונקציות הבאות:
תחומי חיוביות ושליליות מגרף: פרבולה וגרף שנוגע בציר בראשית (שאלה קצרה · רמה א')
כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של כל אחת מהפונקציות הבאות:
פרבולה בתחום סגור: תחומי הסימן ושני ערכים שליליים (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-5x-6$ , המוגדרת רק בתחום $-2\le x\le 7$ .
נקודת אפס שלא נמצאת על נקודת רשת (שאלת ביניים · רמה א')
הפונקציה $f$ מוגדרת רק בתחום $-4\le x\le 6$ . הגרף שלה בנוי מקטעים ישרים בין הנקודות $(-4,-2)$ , $(-2,2)$ , $(1,2)$ , $(3,-3)$ , $(6,-1)$ (לפי…
פונקציה חיובית, פונקציה שלילית: שאלות לדיון (שאלת ביניים · רמה א')
פונקציה נקראת חיובית בתחום חלקי כלשהו, אם כל ערכי הפונקציה חיוביים בתחום זה. פונקציה נקראת שלילית בתחום חלקי כלשהו, אם כל ערכי הפונקציה…
לוחות סולאריים: מתי קונים חשמל ומתי מוכרים (שאלה מלאה · רמה א')
על הגג של משפחת לוי יש לוחות סולאריים. $N(t)$ הוא הצריכה נטו של הבית (בקילוואט) בשעה $t$ ביממה ( $0\le t\le 24$ ): כמה חשמל הבית צורך פחות כמה…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

תחומי עלייה וירידה מתוך גרף (שאלה קצרה · רמה ב')
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-5\le x\le6$ . הגרף שלה, שלפניכם, בנוי מקטעים ישרים: הוא מתחיל בנקודה $(-5,-2)$ ,…
קריאת נקודות חיתוך ותחומי סימן מגרף בתחום סגור (שאלה קצרה · רמה ב')
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-6\le x\le4$ , ולפניכם הגרף שלה. קצות הגרף הם הנקודות $(-6,-4)$ ו- $(4,-4)$ .…
סימן של שתי פונקציות ושל המכפלה שלהן מגרף (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$ (פרבולה) והגרף של הפונקציה $g(x)$ (ישר). הגרף של $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ …
שתי פונקציות חיוביות יחד (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונות הפונקציות $f(x)=x-1$ ו- $g(x)=-2x+8$ .