שאלות פתוחות: הזזות של פונקציה - כיתה ט'

הזזות של פונקציה לכיתה ט': הזזה אנכית, הזזה אופקית ושיקוף, על גרפים וביטויים. בשאלות יש טבלה שבה עוקבים אחרי נקודה על הגרף בכל הזזה, התאמה בין גרף רציף לגרף מקווקו וכתיבת הביטוי המתאים, ושילוב של שיקוף ביחס לציר x והזזה למעלה. חלק מהגרפים בנויים מקטעים ישרים וחלק הם פולינומים. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו מכאן שאלות למבחן, לבוחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים ויצוא ל-Word.

45 שאלותרמה א': 26רמה ב': 11מצוינות: 8

שאלה 1 · מהגרף המשוקף חזרה לפונקציה המקוריתשאלת ביניים · רמה א'

לפניכם הגרף של הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x) בתחום −3≤x≤6-3\le x\le 6−3≤x≤6. הגרף בנוי מקטעים ישרים, ונקודות השבירה ונקודות הקצה נמצאות על נקודות רשת.
g(x)
-4-3-2-11234567-3-2-11234
הגרף של f(x)f(x)f(x) לא מוצג.

א.

מצאו את f(−1)f(-1)f(−1), f(2)f(2)f(2) ו-f(4)f(4)f(4). מצאו את נקודות הקיצון המקומיות של f(x)f(x)f(x) שבתוך התחום, וקבעו את הסוג של כל אחת.

ב.

מצאו את נקודות האפס של f(x)f(x)f(x) ואת תחומי החיוביות של f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה h(x)=f(x)+2h(x)=f(x)+2h(x)=f(x)+2 בתחום −3≤x≤6-3\le x\le 6−3≤x≤6. בכמה נקודות חותך הגרף של h(x)h(x)h(x) את ציר ה-xxx? מצאו את הנקודות.

שאלה 2 · הזזות של גרף: ביטוי, תיאור במילים ונקודה מוזזתשאלה קצרה · רמה ב'

הנקודה P(2,−1)P(2,-1)P(2,−1) נמצאת על הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x).
בכל שורה בטבלה מתוארת פונקציה שהגרף שלה מתקבל מהגרף של f(x)f(x)f(x) בהזזה אחת בלבד: אנכית (למעלה או למטה) או אופקית (ימינה או שמאלה).
הפונקציהההזזה של הגרף של f(x)f(x)f(x)הנקודה שאליה עוברת PPP
f(x)+5f(x)+5f(x)+5??
f(x+5)f(x+5)f(x+5)??
?444 יחידות ימינה?
?333 יחידות למטה?
??(2,6)(2,6)(2,6)

הפונקציה	ההזזה של הגרף של $f(x)$	הנקודה שאליה עוברת $P$
$f(x)+5$	?	?
$f(x+5)$	?	?
?	$4$ יחידות ימינה	?
?	$3$ יחידות למטה	?
?	?	$(2,6)$

א.

השלימו את הטבלה.

ב.

הגרף של f(x)f(x)f(x) חותך את ציר ה-yyy בנקודה Q(0,4)Q(0,4)Q(0,4). לאיזו נקודה עוברת QQQ בגרף של g(x)=f(x−6)g(x)=f(x-6)g(x)=f(x−6)? האם הנקודה שהתקבלה נמצאת על ציר ה-yyy? נמקו.

שאלה 3 · שיקוף והזזה: האם הסדר משנה?שאלת ביניים · מצוינות

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2−5f(x)=(x-3)^2-5f(x)=(x−3)2−5.
נועה שיקפה את הגרף של f(x)f(x)f(x) ביחס לציר ה-xxx, ואחר כך הזיזה את הגרף שקיבלה 444 יחידות למעלה. כך קיבלה את הפונקציה g(x)g(x)g(x).
איתי הזיז קודם את הגרף של f(x)f(x)f(x) 444 יחידות למעלה, ואחר כך שיקף את הגרף שקיבל ביחס לציר ה-xxx. כך קיבל את הפונקציה h(x)h(x)h(x).

א.

כתבו את g(x)g(x)g(x) ואת h(x)h(x)h(x) בעזרת f(x)f(x)f(x), ואחר כך בצורה a(x−p)2+ka(x-p)^2+ka(x−p)2+k. מצאו את הקדקוד של כל אחת מהפונקציות וקבעו את סוגו.

ב.

מצאו את נקודות האפס של g(x)g(x)g(x) ושל h(x)h(x)h(x).

ג.

הראו שלכל xxx מתקיים g(x)−h(x)=8g(x)-h(x)=8g(x)−h(x)=8, והסבירו בעזרת הביטויים מסעיף א למה ההפרש לא תלוי בפונקציה fff.
איזו הזזה אנכית היה איתי צריך לעשות לפני השיקוף כדי לקבל בדיוק את g(x)g(x)g(x)?

שאלה 4 · הזזה אנכית, הזזה אופקית ושיקוף של גרף נתוןשאלת ביניים · רמה א'

לפניכם גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x)
f(x)
-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

א.

שרטטו במערכת הצירים פונקציה חדשה g(x)g(x)g(x) שהיא הזזה אנכית בת 4 יחידות כלפי מעלה של הפונקציה הנתונה

ב.

איזה ביטוי מהביטויים הבאים מתאים לפונקציה ששרטטתם?
i\text{i}i. g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4
ii\text{ii}ii. g(x)=f(x−4)g(x)=f(x-4)g(x)=f(x−4)
iii\text{iii}iii. g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4)
iv\text{iv}iv. g(x)=f(x+4)+4g(x)=f(x+4)+4g(x)=f(x+4)+4

ג.

במערכת הצירים משורטטים הגרפים של הפונקציות f(x)f(x)f(x), m(x)m(x)m(x), t(x)t(x)t(x)
f(x)m(x)t(x)
-8-7-6-5-4-3-2-112345678-8-7-6-5-4-3-2-1123456789
איזה ביטוי מהביטויים הבאים מתאים לכל אחת מהפונקציות: m(x)m(x)m(x), t(x)t(x)t(x)
• y=f(x)+4y=f(x)+4y=f(x)+4
• y=f(x−2)y=f(x-2)y=f(x−2)
• y=f(x+2)y=f(x+2)y=f(x+2)
• y=f(x+2)+4y=f(x+2)+4y=f(x+2)+4
• y=−f(x)y=-f(x)y=−f(x)

שאלה 5 · זיהוי הזזה אנכית מתוך שני גרפים (א)שאלה קצרה · רמה ב'

בכל אחת ממערכות הצירים שלפניכם משורטטים הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (בקו רציף) והגרף של הפונקציה g(x)g(x)g(x) (בקו מקווקו).
כתבו את הייצוג המתאים של הפונקציה g(x)g(x)g(x) בהתאם לגרף.

א.

f(x)g(x)
-5-4-3-2-11234567-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

ב.

f(x)g(x)
-5-4-3-2-11234567-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

שאלה 6 · מעוין וריבוע מפרבולה והשיקוף שלהשאלה מלאה · מצוינות

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2−4f(x)=(x-3)^2-4f(x)=(x−3)2−4, ונתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).
AAA ו-CCC הן נקודות החיתוך של הגרף של f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx (AAA משמאל ל-CCC). BBB הוא הקדקוד של f(x)f(x)f(x), ו-DDD הוא הקדקוד של g(x)g(x)g(x).
f(x)g(x)
ABCD

א.

מצאו את השיעורים של הנקודות AAA, BBB, CCC, DDD.

ב.

הסבירו למה המרובע ABCDABCDABCD הוא מעוין, וחשבו את השטח שלו.

ג.

מזיזים את הגרף של f(x)f(x)f(x) 333 יחידות למעלה ומקבלים את הפונקציה p(x)p(x)p(x). משקפים את הגרף של p(x)p(x)p(x) ביחס לציר ה-xxx ומקבלים את q(x)=−p(x)q(x)=-p(x)q(x)=−p(x). בונים מרובע באותו אופן: שתי נקודות האפס של p(x)p(x)p(x) והקדקודים של p(x)p(x)p(x) ושל q(x)q(x)q(x).
הראו שהפעם המרובע הוא ריבוע, וחשבו את השטח שלו.

ד.

רונית טוענת שגם אם מזיזים את הגרף של f(x)f(x)f(x) 222 יחידות למעלה (ובונים מרובע באותו אופן) מתקבל ריבוע. בדקו את הטענה.

ה.

הסבירו למה אם מזיזים את הגרף של f(x)f(x)f(x) 555 יחידות למעלה, אי אפשר לבנות מרובע באותו אופן.

שאלה 7 · גרף כללי, השיקוף שלו והזזה אנכיתשאלה מלאה · רמה א'

לפניכם הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x). ידוע שהגרף ממשיך באותה מגמה מעבר לגבולות הסרטוט (משמאל כלפי מעלה, מימין כלפי מטה), ושלפונקציה אין נקודות קיצון ואין נקודות אפס נוספות. נקודות הקיצון ונקודות האפס נמצאות על נקודות רשת.
f(x)
-4-3-2-11234-6-5-4-3-2-1123456

א.

קראו מהגרף את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן. כתבו את נקודות האפס של f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x). סרטטו את הגרף של g(x)g(x)g(x) באותה מערכת צירים. כתבו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

ג.

מצאו את תחום השליליות של g(x)g(x)g(x).

ד.

נתונה הפונקציה h(x)=−f(x)+kh(x)=-f(x)+kh(x)=−f(x)+k, כאשר kkk מספר.
מצאו את כל ערכי kkk שעבורם לגרף של h(x)h(x)h(x) יש בדיוק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx, ואת כל ערכי kkk שעבורם יש לו שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx. נמקו.

שאלה 8 · זיהוי הזזה אנכית מתוך שני גרפים (ב)שאלה קצרה · רמה ב'

בכל אחת ממערכות הצירים שלפניכם משורטטים הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (בקו רציף) והגרף של הפונקציה g(x)g(x)g(x) (בקו מקווקו).
כתבו את הייצוג המתאים של הפונקציה g(x)g(x)g(x) בהתאם לגרף.

א.

f(x)g(x)
-5-4-3-2-11234567-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

ב.

f(x)g(x)
-5-4-3-2-11234567-8-7-6-5-4-3-2-1123456789

שאלה 9 · פונקציה ממעלה שלישית בהצגת מכפלה, הזזה ושיקוףשאלה מלאה · מצוינות

לפניכם גרף הפונקציה f(x)=(x+3)(x−3)2f(x)=(x+3)(x-3)^2f(x)=(x+3)(x−3)2
f(x)
BEAC-1

א.

מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. הציגו דרך.

ב.

לפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר x=−1x=-1x=−1
מצאו את שיעורי נקודת המקסימום.

ג.

רשמו את התחום שבו הפונקציה f(x)f(x)f(x) חיובית וגם יורדת.

ד.

נתונה הפונקציה k(x)=f(x)+mk(x)=f(x)+mk(x)=f(x)+m.
עבור אילו ערכי mmm לפונקציה נקודת חיתוך אחת עם ציר xxx? נמקו.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).
1. שרטטו את גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).
2. רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן. נמקו.

שאלה 10 · זיהוי שיקוף והזזות של גרף נתוןשאלה מלאה · רמה א'

לפניכם גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x)
f(x)
-6-5-4-3-2-11234567-6-5-4-3-2-1123456

א.

גרף הפונקציה שלפניכם הוא שיקוף של גרף הפונקציה הנתונה.
-6-5-4-3-2-11234567-6-5-4-3-2-1123456
כתבו ביטוי אלגברי של גרף הפונקציה ביחס ל- f(x)f(x)f(x): y=y=y= ________

ב.

גרף הפונקציה שלפניכם הוא הזזה אנכית של גרף הפונקציה הנתונה.
-6-5-4-3-2-11234567-6-5-4-3-2-1123456
כתבו ביטוי אלגברי של גרף הפונקציה ביחס ל- f(x)f(x)f(x): y=y=y= ________

ג.

גרף הפונקציה שלפניכם הוא הזזה אופקית של גרף הפונקציה הנתונה.
-6-5-4-3-2-11234567-6-5-4-3-2-1123456
כתבו ביטוי אלגברי של גרף הפונקציה ביחס ל- f(x)f(x)f(x): y=y=y= ________

ד.

מצאו ערך מתאים של kkk כך שלפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k יהיו בדיוק שתי נקודות חיתוך עם ציר xxx.

עוד 31 שאלות על הזזות של פונקציה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סרטוט הזזה אנכית של גרף נתון (א) (שאלה קצרה · רמה ב')
שרטטו בכל מערכת צירים פונקציה $g(x)$ שהיא הזזה של $f(x)$ וכתבו את המשוואה של $g(x)$ .
פונקציה ממעלה שלישית: חיתוכים, הזזה ושיקוף (שאלה מלאה · מצוינות)
נתון לפניכם גרף הפונקציה $f(x)=(x+4)(x-2)^2$
שני גרפים: הזזה, שיקוף וחיוביות משותפת (שאלה מלאה · רמה א')
לפניכם גרפים של שתי פונקציות: $f(x)$ ו- $g(x)$ .
סרטוט הזזה אנכית של גרף נתון (ב) (שאלה קצרה · רמה ב')
שרטטו בכל מערכת צירים פונקציה $g(x)$ שהיא הזזה של $f(x)$ וכתבו את המשוואה של $g(x)$ .
מה נשמר בהזזה: המיקום של נקודות הקיצון זו ביחס לזו (שאלה קצרה · מצוינות)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ , ויש לה בדיוק שתי נקודות קיצון: נקודת מקסימום $M(-1,5)$ ונקודת מינימום $N(3,-1)$ . נתונה הפונקציה…
ערכים של פונקציה מוזזת מתוך טבלה (שאלה קצרה · רמה א')
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת רק עבור ערכי $x$ שבטבלה. נתונה הפונקציה $g(x)=f(x-2)+1$ . הגרף שלה מתקבל מהגרף של $f(x)$ בהזזה של $2$ יחידות ימינה…
הזזה שמאלה של גרף שבור בתחום סגור (שאלת ביניים · רמה ב')
לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$ בתחום $-2\le x\le 5$ . הגרף בנוי משלושה קטעים ישרים המחברים את הנקודות $A(-2,-3)$ , $B(1,3)$ , $C(3,-3)$ …
הזזה אופקית והסימן של הפונקציה בנקודות נתונות (שאלת ביניים · מצוינות)
לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . נקודות האפס של $f(x)$ הן $x=-4$ , $x=0$ ו- $x=2$ בלבד. הפונקציה חיובית בתחום $-4<x<0$ ובתחום…
מה קורה לתכונות של פונקציה בהזזה (שאלה קצרה · רמה א')
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . ידוע עליה: - נקודות האפס שלה הן רק $x=-3$ ו- $x=1$ . - יש לה נקודת קיצון אחת בלבד: נקודת מקסימום $(-1,4)$ . -…
היכרות עם הגרף של $f (x) = x^{3} + 1$ (שאלת ביניים · רמה ב')
נכיר את גרף הפונקציה $f(x)=x^3+1$
שתי רכבות קלות על אותו קו: עיכוב בזמן כהזזה אופקית (שאלה מלאה · מצוינות)
בקו של רכבת קלה יש ארבע תחנות. המרחקים שלהן מהתחנה הראשונה הם $0$ , $1.5$ , $3$ ו- $4.5$ ק"מ. רכבת א יוצאת מהתחנה הראשונה, עוצרת דקה אחת בכל…
זיהוי הזזה משולבת מתוך שני גרפים (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$ (בקו רציף) והגרף של הפונקציה $g(x)$ (בקו מקווקו). לפונקציה $f(x)$ יש שתי נקודות מינימום, $(-2,-2)$ …
פרופיל גובה של שביל: גובה יחסי ונקודת התחלה אחרת (שאלה מלאה · רמה ב')
לשביל טיולים בגליל יש מפה עם פרופיל גובה. $h(x)$ הוא הגובה (במטרים מעל פני הים) של נקודה על השביל שנמצאת $x$ קילומטרים מתחילת השביל (…
הזזה אנכית שגורמת למקסימום לגעת בציר ה- $x$ (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה פונקציה $f(x)$ כלשהי.
תכונות של פונקציה מתוך גרף: חיתוכים, סימן, קיצון, עלייה וירידה (שאלה מלאה · רמה ב')
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$
זיהוי הזזה אופקית מתוך שני גרפים (א) (שאלה קצרה · רמה א')
בכל אחת ממערכות הצירים שלפניכם משורטטים הגרף של הפונקציה $f(x)$ (בקו רציף) והגרף של הפונקציה $g(x)$ (בקו מקווקו). כתבו את הייצוג המתאים של…
שיקוף ואחריו הזזה למעלה: מהקדקוד אל נקודות האפס (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)^2$ . משקפים את הגרף של $f(x)$ ביחס לציר ה- $x$ , ומקבלים את הגרף של $g(x)$ . אחר כך מזיזים את הגרף של $g(x)$ $9$ …
זיהוי הזזה אופקית מתוך שני גרפים (ב) (שאלה קצרה · רמה א')
בכל אחת ממערכות הצירים שלפניכם משורטטים הגרף של הפונקציה $f(x)$ (בקו רציף) והגרף של הפונקציה $g(x)$ (בקו מקווקו). כתבו את הייצוג המתאים של…
סרטוט הזזה אופקית של גרף נתון (א) (שאלה קצרה · רמה א')
שרטטו בכל מערכת צירים פונקציה $g(x)$ שהיא הזזה של $f(x)$ וכתבו את המשוואה של $g(x)$ .
סרטוט הזזה אופקית של גרף נתון (ב) (שאלה קצרה · רמה א')
שרטטו בכל מערכת צירים פונקציה $g(x)$ שהיא הזזה של $f(x)$ וכתבו את המשוואה של $g(x)$ .
ישר אופקי שחותך את הגרף שלוש פעמים (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$
הזזה אנכית ואופקית של גרף נתון: חיתוכים וקיצון (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$
הזזה משולבת: קיצון, חיתוך עם ציר ה-y ומספר נקודות האפס (שאלת ביניים · רמה א')
לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה יש בדיוק שתי נקודות קיצון: $M(-2,4)$ ו- $N(2,-4)$ . משמאל ל- $M$ ומימין ל- $N$ הפונקציה…
מדחום לא מכויל ומדחום איטי (שאלת ביניים · רמה א')
הגרף מתאר את הטמפרטורה $T(t)$ (במעלות) שנמדדה בתחנה מטאורולוגית בבאר שבע ביום קיץ, $t$ שעות אחרי חצות ( $0\le t\le 24$ ). הגרף בנוי מקטעים…
הזזה אופקית ימינה של גרף נתון: נקודות מועתקות וביטוי (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה פונקציה $f(x)$ כלשהי.
הליכה וריצה בטיילת: הזזה אופקית של גרף שבור (שאלה מלאה · רמה א')
בטיילת סללו מסלול הליכה להולכי רגל ורצים באורך 2.5 ק"מ. כשמגיעים הצועדים או הרצים לקצה הטיילת הם חוזרים באותה הדרך. ביום מסוים יצאה ירדן…
קריאה מגרף ממעלה שלישית והזזה אנכית (שאלה מלאה · רמה א')
נתון גרף הפונקציה $f(x)$ .
פרבולה לפי ערך מקסימלי ותחום עלייה, והזזה אופקית שלה (שאלה מלאה · רמה א')
נתונה פונקציה ריבועית $f(x)$ . גרף הפרבולה עובר דרך הנקודה $(-1,12)$ . הערך המקסימלי שמקבלת הפונקציה הינו 16. הפונקציה עולה בתחום $x<-3$
פרבולה לפי נקודת מינימום ונקודת חיתוך, והזזה אופקית שלה (שאלה מלאה · רמה א')
נתונה פונקציה ריבועית $f(x)$ . הערך המינימלי של הפונקציה מתקבל בנקודה $(4,-16)$ . ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר x בנקודה $(8,0)$ ובתחום…
שתי פרבולות לפי תכונות: השוואה, הזזה אנכית והזזה אופקית (שאלה מלאה · רמה א')
תרגילי סיכום
שלושה שינויים נפרדים של פרבולה: הזזה למעלה, הזזה שמאלה ושיקוף (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה הפונקציה $f(x)=2(x-3)^2-8$ . מציעים שלושה שינויים נפרדים לגרף שלה. כל שינוי נעשה על הגרף המקורי של $f$ : (1) הזזה של $6$ יחידות למעלה.…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הזזה אנכית של פרבולה לפי המרחק בין השורשים (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4x+1$ . מגדירים את הפונקציה $g(x)=f(x)+k$ , כאשר $k$ הוא מספר.
הזזה אנכית של פונקציה הנתונה בטבלה (שאלה קצרה · רמה ב')
בטבלה שלפניכם מופיעים כמה ערכים של הפונקציה $f(x)$ .
הזזה אנכית של גרף שבור (שאלת ביניים · רמה א')
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-3\le x\le4$ . הגרף שלה מורכב משלושה קטעים ישרים, המחברים בזה אחר זה את הנקודות…
מציאת הזזה אופקית ואנכית לפי נקודת המינימום (שאלה קצרה · רמה א')
הגרף של הפונקציה $g(x)=f(x+p)+k$ מתקבל מהזזה של גרף הפונקציה $f(x)$ , כאשר $p$ ו- $k$ פרמטרים. לפונקציה $f(x)$ …