שאלות פתוחות: הקשר בין משוואה לגרף: פתרון f(x)=k ו-f(x)=g(x) מתוך גרף - כיתה ט'

הקשר בין משוואה לגרף לכיתה ט': פתרון f(x)=k ו-f(x)=g(x) מתוך גרף. השאלות מציגות גרפים של פרבולה וישר באותה מערכת צירים, גרף מקטעים ישרים, ומדידת דופק באימון ריצה, והתלמידים מוצאים מספר פתרונות או את הפתרונות עצמם. יש גם שאלה הפוכה: לכתוב משוואה שיש לה מספר פתרונות נתון. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו מהן בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים ויצוא ל-Word.

30 שאלותרמה א': 16רמה ב': 10מצוינות: 4

שאלה 1 · פרבולה וישר: פתרון $f (x) = g (x)$ ו- $f (x) > g (x)$ מהגרףשאלה קצרה · רמה א'

לפניכם הגרפים של הפונקציות f(x)=4−12x2f(x)=4-\frac{1}{2}x^2f(x)=4−21​x2 ו-g(x)=12x+1g(x)=\frac{1}{2}x+1g(x)=21​x+1 באותה מערכת צירים. כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
f(x)g(x)
-6-5-4-3-2-112345-7-6-5-4-3-2-112345

א.

היעזרו בגרפים ופתרו את המשוואה 4−12x2=12x+14-\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x+14−21​x2=21​x+1. בדקו את הפתרונות בהצבה.

ב.

עבור אילו ערכי xxx מתקיים f(x)>g(x)f(x)>g(x)f(x)>g(x)? נמקו בעזרת הגרפים.

שאלה 2 · פתרון $f (x) = k$ מגרף של קו שבורשאלה קצרה · רמה ב'

הפונקציה fff מוגדרת בתחום −6≤x≤6-6\le x\le 6−6≤x≤6, ולפניכם הגרף שלה. הגרף בנוי מקטעים ישרים, ונקודות השבירה ונקודות הקצה שלו מסומנות ונמצאות על נקודות רשת. כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
f
-7-6-5-4-3-2-11234567-3-2-1123456

א.

פתרו את המשוואה f(x)=2f(x)=2f(x)=2.

ב.

פתרו את המשוואה f(x)=−1f(x)=-1f(x)=−1 ואת המשוואה f(x)=5f(x)=5f(x)=5. הסבירו את התשובות בעזרת הגרף.

שאלה 3 · משוואה בתחפושת: $f (x) - x = 1$ שאלה קצרה · מצוינות

הפונקציה fff מוגדרת בתחום −2.5≤x≤2.5-2.5\le x\le 2.5−2.5≤x≤2.5, ולפניכם הגרף שלה. כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
f(x)
-3-2-1123-5-4-3-2-11234567

א.

פתרו בעזרת הגרף את המשוואה f(x)−x=1f(x)-x=1f(x)−x=1. הסבירו איזה קו כדאי להוסיף לסרטוט, ולמה.

ב.

עבור אילו ערכי xxx בתחום של fff מתקיים f(x)−x>1f(x)-x>1f(x)−x>1? נמקו.

שאלה 4 · פתרון אחד ידוע: מציאת $k$ והפתרון השני בעזרת הסימטריהשאלה קצרה · רמה א'

לפניכם הגרף של פונקציה ריבועית fff. הקדקוד של הפרבולה נמצא על נקודת רשת, וכל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
f(x)
-5-4-3-2-11234567-6-5-4-3-2-11234567

א.

ידוע שאחד הפתרונות של המשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k הוא x=−2x=-2x=−2. מצאו את kkk ואת הפתרון השני של המשוואה. נמקו.

ב.

מצאו את הערך של kkk שעבורו למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש פתרון אחד בלבד, ואת הפתרון. עבור אילו ערכי kkk אין למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k פתרון?

שאלה 5 · דופק באימון ריצה: מתי הדופק היה שווה לערך נתוןשאלה קצרה · רמה ב'

שירה עשתה אימון ריצה של 303030 דקות, ושעון חכם מדד את הדופק שלה (מספר פעימות הלב בדקה). p(t)p(t)p(t) הוא הדופק ttt דקות מתחילת האימון (0≤t≤300\le t\le 300≤t≤30). הגרף מתאר את הדופק בקירוב, בעזרת קטעים ישרים. על הציר האופקי כל משבצת היא 222 דקות, ועל הציר האנכי כל משבצת היא 101010 פעימות בדקה.
p(t)
‫t (דקות)‬‫p (פעימות בדקה)‬024681012141618202224262830325060708090100110120130140150160170180

א.

פתרו את המשוואה p(t)=120p(t)=120p(t)=120. מה המשמעות של הפתרונות?

ב.

כמה פתרונות יש למשוואה p(t)=160p(t)=160p(t)=160, ומהם? ולמשוואה p(t)=180p(t)=180p(t)=180? נמקו בעזרת הגרף.

שאלה 6 · משוואה עם אינסוף פתרונות לפי גרף של פרבולהשאלה קצרה · מצוינות

כתבו משוואות מתאימות למספר הפתרונות שבטבלה מימין. העזרו בדוגמה:
מספר פתרונותנתון גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x)המשוואה
דוגמהפתרון יחידגרף 0f(x)=1f(x)=1f(x)=1
*אינסוף פתרונותגרף 5
גרף 0:
f(x)
-3-2-1123-2-1123

	מספר פתרונות	נתון גרף הפונקציה $f(x)$	המשוואה
דוגמה	פתרון יחיד	גרף 0	$f(x)=1$
	*אינסוף פתרונות	גרף 5

גרף 5 (*אינסוף פתרונות):
f(x)
-3-2-1123-2-1123

שאלה 7 · מספר הפתרונות של $f (x) = k$ : ישר דרך נקודת המקסימום ומתחת למינימוםשאלה קצרה · רמה א'

העזרו בגרף הנתון ומצאו את מספר הפתרונות למשוואות הבאות.
נתון גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) (לגרף יש נקודת מקסימום בנקודה (−2,1.5)(-2,1.5)(−2,1.5) )
f(x)
-5-4-3-2-112345-3-2-1123456max 1.5min -0.3

א.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1.5f(x)=1.5f(x)=1.5?

ב.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=−2f(x)=-2f(x)=−2?

שאלה 8 · מספר הפתרונות של $f (x) = k$ : ישר בין הקיצונים ומעליהםשאלה קצרה · רמה ב'

העזרו בגרף הנתון ומצאו את מספר הפתרונות למשוואות הבאות.
נתון גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) (לגרף יש נקודת מקסימום בנקודה (−2,1.5)(-2,1.5)(−2,1.5) )
f(x)
-5-4-3-2-112345-3-2-1123456max 1.5min -0.3

א.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1f(x)=1f(x)=1?

ב.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=3f(x)=3f(x)=3?

שאלה 9 · משוואות שבהן $f (x)$ מופיע פעמייםשאלת ביניים · מצוינות

הפונקציה fff מוגדרת בתחום −5≤x≤5-5\le x\le 5−5≤x≤5, ולפניכם הגרף שלה. הגרף בנוי מקטעים ישרים, ונקודות השבירה ונקודות הקצה שלו מסומנות ונמצאות על נקודות רשת. כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
f
-6-5-4-3-2-1123456-3-2-112345

א.

פתרו את המשוואה f(x)=2f(x)=2f(x)=2 ואת המשוואה f(x)=−2f(x)=-2f(x)=−2.

ב.

פתרו את המשוואה (f(x))2=4\big(f(x)\big)^2=4(f(x))2=4. הסבירו איך סעיף א עוזר.

ג.

מצאו את המספר kkk שעבורו למשוואה (f(x)−k)(f(x)−2)=0\big(f(x)-k\big)\big(f(x)-2\big)=0(f(x)−k)(f(x)−2)=0 יש בדיוק ארבעה פתרונות. נמקו.

שאלה 10 · פתרון $f (x) = 0$ וערכי $k$ שבהם הישר $y = k$ חותך את הגרף פעם או פעמייםשאלה קצרה · רמה א'

העזרו בגרף הנתון ומצאו את מספר הפתרונות למשוואות הבאות.
נתון גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) (לגרף יש נקודת מקסימום בנקודה (−2,1.5)(-2,1.5)(−2,1.5) )
f(x)
-5-4-3-2-112345-3-2-1123456max 1.5min -0.3

א.

פתרו את המשוואה f(x)=0f(x)=0f(x)=0

ב.

לאילו ערכי kkk הישר y=ky=ky=k חותך את גרף הפונקציה בתחום −5<x<5-5<x<5−5<x<5 בנקודה אחת? בשתי נקודות?

עוד 17 שאלות על הקשר בין משוואה לגרף: פתרון f(x)=k ו-f(x)=g(x) מתוך גרף

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פתרון $g (x) = 5$ ומשוואה בלי פתרון (שאלה קצרה · רמה ב')
העזרו בגרף הנתון ומצאו את מספר הפתרונות למשוואות הבאות. נתון גרף הפונקציה $g(x)$
חקר: פתרון משוואות ריבועיות בעזרת הפרבולה $y = x^{2}$ וישרים (שאלה מלאה · מצוינות)
לפניכם הגרף של $y=x^2$ . כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר. את המשוואה $x^2-x-2=0$ אפשר לכתוב כך: $x^2=x+2$ . לכן הפתרונות שלה הם שיעורי ה- $x$ של…
מספר הפתרונות של $g (x) = k$ : מתחת לראש הקשת ובגובה שלו (שאלה קצרה · רמה א')
העזרו בגרף הנתון ומצאו את מספר הפתרונות למשוואות הבאות. נתון גרף הפונקציה $g(x)$
פתרון $g (x) = 0$ מגרף שנוגע בציר ה- $x$ (שאלה קצרה · רמה ב')
העזרו בגרף הנתון כדי לפתור את המשוואה הבאה. נתון גרף הפונקציה $g(x)$
מספר הפתרונות של $t (x) = 3$ ופתרון $t (x) = 1$ (שאלה קצרה · רמה א')
העזרו בגרף הנתון ומצאו את מספר הפתרונות למשוואות הבאות. נתון גרף הפונקציה $t(x)$ . ענו בהתאם לגרף הנתון:
נקודת המקסימום ונקודת המינימום של $t (x)$ מהגרף (שאלה קצרה · רמה ב')
נתון גרף הפונקציה $t(x)$ . ענו בהתאם לגרף הנתון:
כתיבת משוואה עם פתרון יחיד ועם שני פתרונות לפי גרף (שאלה קצרה · רמה א')
כתבו משוואות מתאימות למספר הפתרונות שבטבלה מימין. העזרו בדוגמה: גרף 0:
גרף אחד, שלוש משוואות: איזו נקודה פותרת איזו משוואה (שאלת ביניים · רמה ב')
לפניכם הגרפים של הפונקציות $f(x)=x^2-2x-2$ ו- $g(x)=x-2$ , וגם הישר $y=1$ . הנקודות $A$ , $B$ , $C$ הן נקודות המפגש של הגרפים. כל משבצת היא יחידה…
כתיבת משוואה עם יותר משני פתרונות ובלי פתרון לפי גרף (שאלה קצרה · רמה א')
כתבו משוואות מתאימות למספר הפתרונות שבטבלה מימין. העזרו בדוגמה: גרף 0:
כדור ורחפן: מתי הם באותו גובה? (שאלה מלאה · רמה ב')
מאיה בועטת כדור ישר למעלה מהקרקע. הגובה של הכדור (במטרים) $t$ שניות אחרי הבעיטה הוא $h(t)=-5t^2+20t$ , עד שהכדור חוזר לקרקע. באותו רגע ממריא…
שתי פרבולות: נקודות חיתוך, איזו גבוהה יותר, ופונקציית ההפרש (שאלת ביניים · רמה א')
לפניכם הגרפים של הפונקציות $f(x)=x^2-3$ ו- $g(x)=-x^2+2x+1$ . כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
תכונות של פונקציה מתוך גרף: חיתוכים, סימן, קיצון, עלייה וירידה (שאלה מלאה · רמה ב')
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$
$x^{2}$ או $2 x$ : מי גדול יותר? (שאלת ביניים · רמה א')
לפניכם הגרפים של הפונקציות $f(x)=x^2$ ו- $g(x)=2x$ באותה מערכת צירים. כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
רכב ואופניים: משוואות מתוך גרף של מרחק וזמן (שאלה מלאה · רמה א')
דנה יצאה ברכב מהעיר אל מצפה שנמצא במרחק $120$ ק"מ מהעיר, נחה שם וחזרה לעיר באותה דרך. באותו רגע יצא רוני מהעיר באופניים, באותה דרך, ורכב…
ישר אופקי שחותך את הגרף שלוש פעמים (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$
קריאה מגרף ממעלה שלישית והזזה אנכית (שאלה מלאה · רמה א')
נתון גרף הפונקציה $f(x)$ .
שתי פרבולות לפי תכונות: השוואה, הזזה אנכית והזזה אופקית (שאלה מלאה · רמה א')
תרגילי סיכום

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מספר הפתרונות של f(x)=k מתוך גרף שבור (שאלה קצרה · רמה ב')
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-4\le x\le5$ בלבד. הגרף שלה מורכב מארבעה קטעים ישרים, שקצותיהם בנקודות $(-4,2)$ ,…
מספר הפתרונות של f(x)=k לפרבולה בתחום מוגבל (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה הפונקציה $f(x)=-x^2+4x$ , המוגדרת בתחום $-1\le x\le6$ בלבד.
פונקציה שעולה ואחר כך יורדת: כמה פתרונות? (שאלת ביניים · רמה א')
הפונקציה $f$ מוגדרת בתחום $-4 \le x \le 6$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע. ידוע: $f$ עולה בתחום…

שאלה 1 · פרבולה וישר: פתרון f(x)=g(x) ו-f(x)>g(x) מהגרףשאלה קצרה · רמה א'

שאלה 2 · פתרון f(x)=k מגרף של קו שבורשאלה קצרה · רמה ב'

שאלה 3 · משוואה בתחפושת: f(x)−x=1שאלה קצרה · מצוינות

שאלה 4 · פתרון אחד ידוע: מציאת k והפתרון השני בעזרת הסימטריהשאלה קצרה · רמה א'

שאלה 5 · דופק באימון ריצה: מתי הדופק היה שווה לערך נתוןשאלה קצרה · רמה ב'

שאלה 6 · משוואה עם אינסוף פתרונות לפי גרף של פרבולהשאלה קצרה · מצוינות

שאלה 7 · מספר הפתרונות של f(x)=k: ישר דרך נקודת המקסימום ומתחת למינימוםשאלה קצרה · רמה א'

שאלה 8 · מספר הפתרונות של f(x)=k: ישר בין הקיצונים ומעליהםשאלה קצרה · רמה ב'

שאלה 9 · משוואות שבהן f(x) מופיע פעמייםשאלת ביניים · מצוינות

שאלה 10 · פתרון f(x)=0 וערכי k שבהם הישר y=k חותך את הגרף פעם או פעמייםשאלה קצרה · רמה א'