שאלות פתוחות: נקודות קיצון מקומיות ומוחלטות - כיתה ט'

כתבו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של $f(x)$.

תלמיד כתב דוח על הפונקציה. בדוח שלוש טענות:

(1) "מהפסגה השמאלית עד הפסגה הימנית, כלומר בתחום $-3<x<4$, הפונקציה עולה כל הזמן."

(2) "הפונקציה עולה בתחום $-2<y<4$."

(3) "בתחום $-1<x<1$ הגרף מתחת לציר ה-$x$, ולכן הפונקציה יורדת בכל התחום הזה."

בדקו כל טענה בעזרת סעיף א. הסבירו מה הטעות בכל טענה שגויה, ותקנו אותה.

מצאו את נקודות הקיצון של $f(x)$ שבתוך התחום (לא בקצוות) וקבעו את סוגן. הסבירו איך רואים אותן בתשובה לסעיף א.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

נעזר בטבלת ערכים לצורך שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה:

לדיון:

•האם לפונקציה נקודות אפס?

•האם לפונקציה נקודות קיצון?

•קבעו באיזה תחום הפונקציה עולה / הפונקציה יורדת

•קבעו באיזה תחום הפונקציה חיובית / הפונקציה שלילית

נועה טוענת: "בכל פונקציה, הערך בכל נקודת מקסימום גדול מהערך בכל נקודת מינימום."

הראו בעזרת סקיצה של גרף שהטענה לא נכונה. רשמו בסקיצה את השיעורים של נקודות הקיצון.

רון טוען: "יש פונקציה כזו שיש לה בדיוק שתי נקודות קיצון, ושתיהן נקודות מקסימום."

הסבירו למה בין שתי נקודות מקסימום של פונקציה כזו יש תמיד נקודת מינימום. האם רון צודק?

השלימו: $f(x)=4$ כאשר $x=$ ________

רשמו את התחום בו $f(x)>0$

רשמו את התחום שבו הפונקציה עולה וגם שלילית.

רשמו שני ערכים מתאימים ל- $n$ שעבורם למשוואה $f(x)=n$ יש 3 פתרונות.

נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)+1$

רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$. סמנו ליד כל נקודה אם היא נקודת מינימום או נקודת מקסימום.

אחד מבין שני הייצוגים האלגבריים מתאים ל- $f(x)$. איזה מהם? נמקו.

$y=-x(x-3)^2$ $\qquad$ $y=x(x-3)^2$

כמה עגורים היו בעמק ב-1 באוקטובר? מתי היו בעמק הכי הרבה עגורים, וכמה עגורים היו אז?

כתבו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה. כתבו כל תחום גם במילים: באילו חודשים מספר העגורים עלה ובאילו ירד?

בתוך התחום יש שלוש נקודות שבהן הגרף מחליף כיוון. כתבו אותן, וקבעו לכל אחת אם היא נקודת מקסימום או נקודת מינימום. הסבירו בעזרת סעיף ב.

יואב אמר: "בדצמבר היו בעמק הרבה יותר עגורים מאשר באוקטובר, ולכן בדצמבר מספר העגורים עלה." האם יואב צודק? הסבירו את ההבדל בין "יש הרבה" לבין "המספר עולה".

מצאו את הקדקוד של הפרבולה וקבעו את סוגו. מהו ערך המינימום של $f(x)$?

הפונקציה מוגדרת רק בתחום $0\le x\le 8$. מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f(x)$ בתחום, ואת ערכי $x$ שבהם הם מתקבלים.

עכשיו הפונקציה מוגדרת רק בתחום $0\le x\le t$, כאשר $t$ מספר חיובי.

(1) עבור אילו ערכים של $t$ הערך הקטן ביותר של $f(x)$ בתחום הוא $-6$?

(2) עבור אילו ערכים של $t$ הערך הגדול ביותר של $f(x)$ בתחום הוא $3$? נמקו.

הפונקציה מוגדרת רק בתחום $-5\le x\le 1$. לפניכם סקיצה של הגרף שלה בתחום הזה.

מצאו את נקודת הקיצון של $f(x)$ שבתוך התחום וקבעו את סוגה. מהו הערך הגדול ביותר של $f(x)$ בתחום, ובאילו ערכי $x$ הוא מתקבל?

עכשיו הפונקציה $f(x)=(x+2)^2-3$ מוגדרת רק בתחום $0\le x\le 3$. האם יש לה נקודת קיצון בתוך התחום? מהם הערך הגדול ביותר והערך הקטן ביותר שלה בתחום הזה, ובאילו ערכי $x$ הם מתקבלים?

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

נעזר בטבלת ערכים לצורך שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה:

לדיון:

• האם לפונקציה נקודות אפס?

• האם לפונקציה נקודות קיצון?

• קבעו באיזה תחום הפונקציה עולה / הפונקציה יורדת

• קבעו באיזה תחום הפונקציה חיובית / הפונקציה שלילית

רשמו את נקודות הקיצון של $p(t)$ בתוך התחום (כלומר עבור $0<t<8$), וקבעו את הסוג של כל אחת.

מה היו המחיר הגבוה ביותר והמחיר הנמוך ביותר בכל התקופה, ומתי?

משקיעה רוצה לקנות מניה אחת ולמכור אותה מאוחר יותר באותה תקופה. היא אומרת: "אקנה במחיר הנמוך ביותר ואמכור במחיר הגבוה ביותר." הסבירו למה זה לא אפשרי בתקופה הזאת.

הסבירו למה, כדי להרוויח הכי הרבה, כדאי למכור רק בנקודת מקסימום או בסוף התקופה, ולא ברגע שבו המחיר עדיין עולה.

מתי כדאי למשקיעה לקנות ומתי למכור כדי שהרווח שלה יהיה הגדול ביותר? מהו הרווח הזה? האם רגע המכירה הוא נקודת קיצון של $p(t)$?

טענה ראשונה: "לפונקציה יש נקודת מקסימום $(2,3)$, ולכן הערך הגדול ביותר של $g(x)$ בתחום הוא $3$."

בדקו את הטענה ותקנו אותה אם צריך.

טענה שנייה: "ערך המינימום של $g(x)$ הוא $-2$, כי נקודת המינימום נמצאת ב-$x=-2$."

בדקו את הטענה ותקנו אותה אם צריך.