שאלות פתוחות: תחומי עלייה וירידה - כיתה ט'

שאלות על תחומי עלייה וירידה של פונקציה לכיתה ט'. התלמידים כותבים את התחומים מתוך גרף או מתוך ביטוי של פונקציה ריבועית, ומסיקים תחומי עלייה וירידה מנקודות קיצון נתונות. יש שאלה שבה מוצאים b ו-c כשידוע היכן הפונקציה יורדת ועולה ונקודה על הגרף, ושאלה על f(x)=-x²-2x+15. הרמות הן רמה א', רמה ב' ומצוינות. מכאן אפשר לבחור שאלות למבחן או לדף עבודה, כשלכל אחת מצורף פתרון מלא להורדה ב-Word.

33 שאלותרמה א': 16רמה ב': 14מצוינות: 3

שאלה 1 · מנקודות הקיצון לתחומי העלייה והירידהשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף הפונקציה מוגדרת לכל xxx, הגרף שלה הוא קו רציף אחד בלי קטעים אופקיים, ואין לה נקודות קיצון מלבד הנקודות הנתונות.

א.

לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש שלוש נקודות קיצון: נקודת מינימום (−4,−3)(-4,-3)(−4,−3), נקודת מקסימום (1,5)(1,5)(1,5) ונקודת מינימום (6,2)(6,2)(6,2). כתבו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של f(x)f(x)f(x). הסבירו.

ב.

לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש בדיוק שתי נקודות קיצון: (1,2)(1,2)(1,2) ו-(4,7)(4,7)(4,7). לא נתון איזו מהן נקודת מינימום ואיזו נקודת מקסימום. מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוג כל נקודת קיצון. נמקו.

שאלה 2 · תחומי עלייה וירידה מגרף ונקודות המעבר ביניהםשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל xxx. הגרף ממשיך באותה מגמה מעבר לגבולות הסרטוט (בשני הצדדים כלפי מעלה), ונקודות הקיצון שלו מסומנות ונמצאות על נקודות רשת.
f(x)
-5-4-3-2-11234567-3-2-11234567

א.

כתבו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x). לכל נקודה כתבו אם הפונקציה עוברת בה מעלייה לירידה או מירידה לעלייה, וקבעו את סוג הקיצון.

שאלה 3 · עלייה, ירידה ונקודת אפס: מה אפשר להסיק על הסימןשאלה קצרה · מצוינות

בכל סעיף הפונקציה מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו רציף אחד.

א.

הפונקציה f(x)f(x)f(x) יורדת לכל xxx, ו-f(−2)=0f(-2)=0f(−2)=0. מצאו את תחום החיוביות ואת תחום השליליות של f(x)f(x)f(x). הסבירו למה אין ל-f(x)f(x)f(x) נקודות אפס נוספות.

ב.

הפונקציה h(x)h(x)h(x) עולה בתחום 1<x<51<x<51<x<5, ו-h(3)=0h(3)=0h(3)=0. דנה אמרה: "h(x)h(x)h(x) חיובית לכל x>3x>3x>3." האם דנה בהכרח צודקת? אם כן, הסבירו. אם לא, תנו דוגמה נגדית (תיאור של גרף או טבלה) וכתבו מה בטוח נכון.

שאלה 4 · תחומי עלייה וירידה מגרף: שתי נקודות קיצון ופינותשאלה קצרה · רמה א'

כתבו את תחומי העליה והירידה של כל אחת מהפונקציות הבאות:

א.

-3-2-112345678-6-5-4-3-2-1123456

ב.

-5-4-3-2-112345-2-1123456

שאלה 5 · עלייה וירידה של ישר ושל פרבולה מתוך הביטוישאלה קצרה · רמה ב'

בכל סעיף נתונה פונקציה אחרת.

א.

נתונה הפונקציה f(x)=−2x+9f(x)=-2x+9f(x)=−2x+9. יובל אמר: "הפונקציה עולה, כי הגרף שלה חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,9)(0,9)(0,9), שנמצאת מעל ציר ה-xxx." האם יובל צודק? כתבו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x) ונמקו.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=(x+2)2−7g(x)=(x+2)^2-7g(x)=(x+2)2−7. מצאו את הקדקוד של הפרבולה וקבעו את סוגו. כתבו את תחום העלייה ואת תחום הירידה של g(x)g(x)g(x).

שאלה 6 · למצוא פרבולה מתחומי העלייה והירידה שלהשאלת ביניים · מצוינות

נתונה הפונקציה f(x)=x2+bx+cf(x)=x^2+bx+cf(x)=x2+bx+c, כאשר bbb ו-ccc מספרים. ידוע ש-f(x)f(x)f(x) יורדת בתחום x<4x<4x<4 ועולה בתחום x>4x>4x>4, ושהגרף שלה עובר בנקודה (2,1)(2,1)(2,1).

א.

הסבירו למה הקדקוד של הפרבולה נמצא ב-x=4x=4x=4, וקבעו אם הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום. מצאו את bbb.

ב.

מצאו את ccc, כתבו את הביטוי של f(x)f(x)f(x) ומצאו את הקדקוד של הפרבולה.

ג.

מצאו את כל ערכי xxx שעבורם f(x)<f(2)f(x)<f(2)f(x)<f(2). הסבירו בעזרת תחומי העלייה והירידה ובעזרת הסימטריה של הפרבולה, ובדקו באלגברה.

שאלה 7 · פרבולה בהצגה סטנדרטית: תחומי עלייה וירידה והשוואת ערכים בלי חישובשאלת ביניים · רמה א'

נתונה הפונקציה f(x)=−x2−2x+15f(x)=-x^2-2x+15f(x)=−x2−2x+15.

א.

מצאו את נקודות האפס של f(x)f(x)f(x) ואת הקדקוד של הפרבולה. קבעו אם הקדקוד הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום.

ב.

כתבו את תחום העלייה ואת תחום הירידה של f(x)f(x)f(x).

ג.

בלי לחשב את הערכים, קבעו בכל זוג איזה ערך גדול יותר. נמקו בעזרת סעיף ב.
(1) f(−3.5)f(-3.5)f(−3.5) או f(−2.5)f(-2.5)f(−2.5)
(2) f(0.5)f(0.5)f(0.5) או f(1.5)f(1.5)f(1.5)
(3) f(−4)f(-4)f(−4) או f(1.5)f(1.5)f(1.5) (רמז: היעזרו בציר הסימטריה.)

שאלה 8 · תחומי עלייה וירידה מגרף: פרבולה וגרף "פעמון"שאלה קצרה · רמה ב'

כתבו את תחומי העליה והירידה של כל אחת מהפונקציות הבאות:

א.

-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-1123456

ב.

-4-3-2-1123456-0.50.51.01.5

שאלה 9 · חקר: הפונקציה $y = x^{2}$ בקטעים קצריםשאלה מלאה · מצוינות

בשאלה זו חוקרים את הפונקציה f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2, כשמסתכלים עליה רק בחלק מערכי xxx.

א.

כתבו את תחום העלייה ואת תחום הירידה של f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 (לכל xxx). הסבירו בעזרת הקדקוד.

ב.

מסתכלים על f(x)f(x)f(x) רק בתחום 1≤x≤31\le x\le 31≤x≤3, ואחר כך רק בתחום −1≤x≤1-1\le x\le 1−1≤x≤1. בכל אחד משני התחומים קבעו אם f(x)f(x)f(x) עולה בכל התחום, יורדת בכל התחום, או לא זה ולא זה. מצאו בכל תחום את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x), ואיפה הם מתקבלים.

ג.

מסתכלים על f(x)f(x)f(x) בתחום a≤x≤a+2a\le x\le a+2a≤x≤a+2, כאשר aaa מספר כלשהו (התחום הוא קטע שאורכו 222). עבור אילו ערכי aaa הפונקציה עולה בכל התחום? עבור אילו ערכי aaa היא יורדת בכל התחום? עבור אילו ערכי aaa היא לא עולה בכל התחום וגם לא יורדת בכל התחום?

ד.

נניח ש-−2<a<0-2<a<0−2<a<0. הסבירו למה הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום a≤x≤a+2a\le x\le a+2a≤x≤a+2 הוא 000. עבור אילו ערכי aaa הערך הגדול ביותר מתקבל רק בקצה הימני, x=a+2x=a+2x=a+2? עבור איזה ערך של aaa הוא מתקבל בשני הקצוות?

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=(x−5)2+1g(x)=(x-5)^2+1g(x)=(x−5)2+1. עבור אילו ערכי aaa הפונקציה g(x)g(x)g(x) עולה בכל התחום a≤x≤a+2a\le x\le a+2a≤x≤a+2? עבור אילו ערכי aaa היא יורדת בכל התחום? הסבירו את הקשר לתשובה של סעיף ג.

שאלה 10 · בדיקת דוח על גרף עם שתי פסגותשאלת ביניים · רמה א'

לפניכם הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x) בכל התחום שבו היא מוגדרת, −6≤x≤6-6\le x\le 6−6≤x≤6. הגרף בנוי מקטעים ישרים, ונקודות השבירה ונקודות הקצה מסומנות ונמצאות על נקודות רשת.
f(x)
-7-6-5-4-3-2-11234567-4-3-2-11234567

א.

כתבו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של f(x)f(x)f(x).

ב.

תלמיד כתב דוח על הפונקציה. בדוח שלוש טענות:
(1) "מהפסגה השמאלית עד הפסגה הימנית, כלומר בתחום −3<x<4-3<x<4−3<x<4, הפונקציה עולה כל הזמן."
(2) "הפונקציה עולה בתחום −2<y<4-2<y<4−2<y<4."
(3) "בתחום −1<x<1-1<x<1−1<x<1 הגרף מתחת לציר ה-xxx, ולכן הפונקציה יורדת בכל התחום הזה."
בדקו כל טענה בעזרת סעיף א. הסבירו מה הטעות בכל טענה שגויה, ותקנו אותה.

ג.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) שבתוך התחום (לא בקצוות) וקבעו את סוגן. הסבירו איך רואים אותן בתשובה לסעיף א.

עוד 14 שאלות על תחומי עלייה וירידה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

זיהוי פונקציה עולה בכל תחומה ופונקציה יורדת בכל תחומה (שאלה קצרה · רמה ב')
מבין הגרפים של הפונקציות הבאות סמנו את הגרף של הפונקציה שהיא פונקציה עולה בכל תחומה ואת זו שיורדת בכל תחומה. א. ב. ג. ד. ה. ו.
הגדרת פונקציה עולה, יורדת וקבועה: שאלות לדיון (שאלת ביניים · רמה א')
פונקציה עולה בתחום $G$ אם לכל שני ערכים $x_1 < x_2$ ב- $G$ מתקיים: $f(x_1) < f(x_2)$ . פונקציה יורדת בתחום $G$ אם לכל שני ערכים $x_1 < x_2$ …
תחומי עלייה וירידה מגרף: פרבולה ופונקציה קבועה (שאלה קצרה · רמה ב')
כתבו את תחום העלייה והירידה של כל אחת מהפונקציות הבאות.
מחיר כרטיס להצגה: מתי העלאת מחיר מגדילה את ההכנסה (שאלה מלאה · רמה א')
לקראת הצגת סוף השנה, ועד ההורים מעריך שאם מחיר כרטיס יהיה $p$ שקלים, יימכרו $600-10p$ כרטיסים (עבור $0\le p\le 60$ ). ההכנסה $R(p)$ , בשקלים,…
תחומי עלייה וירידה מגרף: פרבולה עם מקסימום וישר יורד (שאלה קצרה · רמה ב')
כתבו את תחום העלייה והירידה של כל אחת מהפונקציות הבאות.
קריאה מגרף ממעלה שלישית והזזה אנכית (שאלה מלאה · רמה א')
נתון גרף הפונקציה $f(x)$ .
תחומי עלייה וירידה מגרף: עקומה עולה ופרבולה שמשיקה לציר (שאלה קצרה · רמה ב')
כתבו את תחום העלייה והירידה של כל אחת מהפונקציות הבאות.
פרבולה לפי ערך מקסימלי ותחום עלייה, והזזה אופקית שלה (שאלה מלאה · רמה א')
נתונה פונקציה ריבועית $f(x)$ . גרף הפרבולה עובר דרך הנקודה $(-1,12)$ . הערך המקסימלי שמקבלת הפונקציה הינו 16. הפונקציה עולה בתחום $x<-3$
טיסה בכדור פורח: מתי הכדור עלה, מתי ירד ומתי שמר על גובה (שאלת ביניים · רמה ב')
הגרף מתאר את הגובה של כדור פורח מעל הקרקע (במטרים) במהלך טיסה אחת. $x$ הוא הזמן (בדקות) מרגע ההמראה, ו- $y$ הוא הגובה. הכדור המריא מהקרקע…
פרבולה לפי נקודת מינימום ונקודת חיתוך, והזזה אופקית שלה (שאלה מלאה · רמה א')
נתונה פונקציה ריבועית $f(x)$ . הערך המינימלי של הפונקציה מתקבל בנקודה $(4,-16)$ . ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר x בנקודה $(8,0)$ ובתחום…
היכרות עם הגרף של $f (x) = x^{3}$ : טבלת ערכים ותכונות (שאלת ביניים · רמה ב')
נכיר את גרף הפונקציה $f(x)=x^3$
עגורים בעמק החולה: מתי מספרם עלה ומתי ירד (שאלה מלאה · רמה ב')
בכל חורף עוצרים בעמק החולה עשרות אלפי עגורים. הגרף מתאר את מספר העגורים בעמק (באלפים) במשך חורף אחד. $x$ הוא מספר החודשים שעברו מ-1 באוקטובר…
היכרות עם הגרף של $f (x) = x^{3} + 1$ (שאלת ביניים · רמה ב')
נכיר את גרף הפונקציה $f(x)=x^3+1$
תכונות של פונקציה מתוך גרף: חיתוכים, סימן, קיצון, עלייה וירידה (שאלה מלאה · רמה ב')
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

תחומי עלייה וירידה מתוך גרף (שאלה קצרה · רמה ב')
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-5\le x\le6$ . הגרף שלה, שלפניכם, בנוי מקטעים ישרים: הוא מתחיל בנקודה $(-5,-2)$ ,…
קריאת תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון וערך גדול ביותר מגרף (שאלה קצרה · רמה ב')
בסרטוט שלפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת בתחום $-4\le x\le7$ . הגרף מתחיל בנקודה $(-4,-3)$ , עולה עד…
גובה שביל הליכה: עלייה, ירידה וקיצון בהקשר (שאלת ביניים · רמה א')
הגרף שלפניכם מתאר את הגובה של שביל הליכה מעל פני הים (במטרים), לפי המרחק מתחילת השביל (בק"מ). אורך השביל $12$ …
האם הפונקציה בהכרח עולה? (שאלה קצרה · רמה א')
הפונקציה $f$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 9$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע.
גרף לפי תיאור: עולה, קבועה, יורדת (שאלת ביניים · רמה א')
הפונקציה $f$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 8$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע. ידוע: $f$ עולה בתחום…
טבלה לא מסודרת: איפה הפונקציה עולה? (שאלת ביניים · רמה א')
הטבלה מתארת כמה נקודות על הגרף של הפונקציה $g$ , בתחום $-2 \le x \le 5$ . ערכי $x$ בטבלה אינם מסודרים. ידוע שבין…
פונקציה שעולה ואחר כך יורדת: כמה פתרונות? (שאלת ביניים · רמה א')
הפונקציה $f$ מוגדרת בתחום $-4 \le x \le 6$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע. ידוע: $f$ עולה בתחום…
שני אתרים, שני גרפים: מתי הפער גדל? (שאלה מלאה · רמה א')
הגרפים מתארים את מספר הגולשים (באלפים) בשני אתרי חדשות במשך יממה אחת: הגרף $f$ באתר א' והגרף $g$ באתר ב'. $x$ …
מה טבלה מבטיחה ומה לא (שאלה מלאה · רמה א')
הפונקציה $f$ מוגדרת בתחום $0\le x\le 6$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע. ידועים רק הערכים שבטבלה: