שאלות פתוחות: נקודות חיתוך עם הצירים - כיתה ט'

שאלות על נקודות חיתוך של גרף עם הצירים, לכיתה ט'. חלק מהשאלות מתבססות על גרף ברשת משבצות שממנו קוראים את הנקודות, וחלק על חישוב אלגברי לפונקציות ריבועיות וקוויות. יש גם קפיצה למים שגובהה מתואר בפונקציה, ושאלה על משולש שנוצר בין ישר לצירים. השאלות מופיעות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מורה יכול לבחור מהן בוחן או דף עבודה, לקבל פתרון מלא לכל שאלה ולהוריד את הכול ל-Word.

21 שאלותרמה א': 8רמה ב': 10מצוינות: 3

שאלה 1 · התאמת ביטוי לגרף לפי נקודות החיתוך עם שני הציריםשאלה קצרה · רמה א'

לפניכם הגרף של פונקציה ריבועית. כל משבצת ברשת היא יחידה אחת בכל ציר.
-4-3-2-1123456-5-4-3-2-1123456
נתונים ארבעה ביטויים:
(1) y=(x−1)(x+3)y=(x-1)(x+3)y=(x−1)(x+3)
(2) y=x2−2x−3y=x^2-2x-3y=x2−2x−3
(3) y=2(x+1)(x−3)y=2(x+1)(x-3)y=2(x+1)(x−3)
(4) y=−x2+2x+3y=-x^2+2x+3y=−x2+2x+3

א.

איזה מהביטויים מתאים לגרף? נמקו בעזרת נקודות החיתוך של הגרף עם שני הצירים, והסבירו מדוע כל אחד משלושת הביטויים האחרים אינו מתאים.

ב.

כתבו ביטוי של פונקציה ריבועית שהגרף שלה חותך את ציר ה-xxx באותן נקודות כמו הגרף שלפניכם, ואת ציר ה-yyy בנקודה (0,6)(0,6)(0,6).

שאלה 2 · קריאת נקודות חיתוך עם הצירים מגרףשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם הגרף של הפונקציה fff. כל משבצת ברשת היא יחידה אחת בכל ציר.
f
-7-6-5-4-3-2-112345-10-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678910

א.

כתבו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy.

ב.

כתבו את שיעורי כל נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

שאלה 3 · מתי פרבולה בטוח חותכת את ציר ה- $x$ שאלה קצרה · מצוינות

נתונה פונקציה ריבועית f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, כאשר a≠0a\neq 0a=0.

א.

ידוע ש-aaa ו-ccc הם מספרים בעלי סימנים מנוגדים (אחד חיובי והשני שלילי). הסבירו מדוע הגרף של fff חותך את ציר ה-xxx בשתי נקודות, בלי קשר לערך של bbb.

ב.

דנה טוענת: "אם הגרף של פונקציה ריבועית חותך את ציר ה-xxx בשתי נקודות, אז בהכרח ל-aaa ול-ccc יש סימנים מנוגדים." האם הטענה נכונה? אם כן, הסבירו. אם לא, תנו דוגמה נגדית.

שאלה 4 · קפיצה למים: משמעות נקודות החיתוך עם הציריםשאלה קצרה · רמה א'

ספורטאית קופצת למים ממקפצה. הגובה שלה מעל פני המים (במטרים), ttt שניות אחרי הקפיצה, הוא
h(t)=−5t2+5t+10h(t)=-5t^2+5t+10h(t)=−5t2+5t+10
הפונקציה מתארת את הקפיצה מהרגע שבו הספורטאית עוזבת את המקפצה (t=0t=0t=0) ועד שהיא מגיעה למים.

א.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף של hhh עם הציר האנכי. מה המשמעות שלה בסיפור?

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של h(t)=−5t2+5t+10h(t)=-5t^2+5t+10h(t)=−5t2+5t+10 עם הציר האופקי. איזו מהן מתאימה לסיפור, ומה המשמעות שלה? נמקו.

שאלה 5 · חיתוך עם הצירים: ישר ופרבולה בהצגה כמכפלהשאלה קצרה · רמה ב'

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של כל פונקציה עם ציר ה-xxx ועם ציר ה-yyy.

א.

f(x)=12x−3f(x)=\frac{1}{2}x-3f(x)=21​x−3

ב.

g(x)=(x+2)(x−5)g(x)=(x+2)(x-5)g(x)=(x+2)(x−5)

שאלה 6 · שלוש נקודות חיתוך במרחק שווה מראשית הציריםשאלת ביניים · מצוינות

הגרף של הפונקציה הריבועית f(x)=x2+bx+cf(x)=x^2+bx+cf(x)=x2+bx+c חותך את ציר ה-xxx בנקודות AAA ו-BBB, ואת ציר ה-yyy בנקודה CCC. הנקודה AAA נמצאת בחלק השלילי של ציר ה-xxx, והנקודה BBB בחלק החיובי שלו. OOO היא ראשית הצירים.
נתון: OA=OB=OCOA=OB=OCOA=OB=OC.

א.

נסמן OA=OB=pOA=OB=pOA=OB=p (כאשר p>0p>0p>0). כתבו את f(x)f(x)f(x) בהצגה כמכפלה בעזרת ppp, והסבירו מדוע b=0b=0b=0.

ב.

מצאו את ppp ואת הביטוי של fff. כתבו את שיעורי הנקודות AAA, BBB ו-CCC.

ג.

הגרף של פונקציה ריבועית ggg (המקדם של x2x^2x2 אינו בהכרח 111) חותך את ציר ה-xxx בנקודות (−4,0)(-4,0)(−4,0) ו-(4,0)(4,0)(4,0), ואת ציר ה-yyy בנקודה DDD, כך ש-OD=4OD=4OD=4. מצאו את כל האפשרויות לביטוי של ggg.

שאלה 7 · מהגרף לביטוי: נקודות חיתוך והצגה כמכפלהשאלת ביניים · רמה א'

לפניכם הגרף של הפונקציה הריבועית fff. כל משבצת ברשת היא יחידה אחת בכל ציר.
f
-5-4-3-2-1123-9-8-7-6-5-4-3-2-11234567

א.

כתבו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx ועם ציר ה-yyy.

ב.

הביטוי של fff הוא מהצורה f(x)=a(x−t)(x−r)f(x)=a(x-t)(x-r)f(x)=a(x−t)(x−r). היעזרו בסעיף א ומצאו את הביטוי. הסבירו מדוע לא מספיק לדעת את נקודות החיתוך עם ציר ה-xxx כדי למצוא את aaa.

ג.

מזיזים את הגרף של fff שש יחידות למעלה ומקבלים את הגרף של g(x)=f(x)+6g(x)=f(x)+6g(x)=f(x)+6. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של ggg עם הצירים. מה מיוחד באחת הנקודות?

שאלה 8 · ישר, הצירים והמשולש שביניהםשאלת ביניים · רמה ב'

נתונה הפונקציה f(x)=−34x+6f(x)=-\frac{3}{4}x+6f(x)=−43​x+6. הגרף שלה הוא ישר. OOO היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy. סמנו אותה באות AAA.

ב.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx. סמנו אותה באות BBB.

ג.

הישר והצירים יוצרים את המשולש AOBAOBAOB. חשבו את השטח של המשולש ואת ההיקף שלו.

שאלה 9 · חקר: כמה נקודות חיתוך עם הצירים יכולות להיות לפרבולהשאלה מלאה · מצוינות

בשאלה זו נחקור כמה נקודות חיתוך עם הצירים (עם שני הצירים יחד) יכולות להיות לגרף של פונקציה ריבועית. נקודה שנמצאת על שני הצירים נספרת פעם אחת.

א.

מצאו את כל נקודות החיתוך עם הצירים של הגרף של f(x)=x2−6x+8f(x)=x^2-6x+8f(x)=x2−6x+8. כמה נקודות יש?

ב.

מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים של הגרף של g(x)=x2−6x+9g(x)=x^2-6x+9g(x)=x2−6x+9 ושל הגרף של h(x)=x2−6xh(x)=x^2-6xh(x)=x2−6x. לכל אחד מהגרפים יש פחות נקודות מאשר בסעיף א. הסבירו את הסיבה בכל מקרה.

ג.

לאילו ערכים של ccc יש לגרף של k(x)=x2−6x+ck(x)=x^2-6x+ck(x)=x2−6x+c נקודת חיתוך אחת בלבד עם הצירים? נמקו.

ד.

לאילו ערכים של ccc יש לגרף של k(x)=x2−6x+ck(x)=x^2-6x+ck(x)=x2−6x+c בדיוק שתי נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו.

ה.

הסבירו מדוע אין פונקציה ריבועית שלגרף שלה ארבע נקודות חיתוך עם הצירים, ומדוע אין פונקציה ריבועית שלגרף שלה אין אף נקודת חיתוך עם הצירים.

שאלה 10 · ישר שעובר דרך שתי נקודות חיתוך של פרבולה עם הציריםשאלת ביניים · רמה א'

נתונה הפונקציה f(x)=x2−2x−8f(x)=x^2-2x-8f(x)=x2−2x−8.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של fff עם הצירים. סמנו באות AAA את נקודת החיתוך השמאלית עם ציר ה-xxx, באות BBB את הימנית, ובאות CCC את נקודת החיתוך עם ציר ה-yyy.

ב.

מצאו את משוואת הישר ggg שעובר דרך הנקודות BBB ו-CCC.

ג.

מצאו את כל נקודות החיתוך של הישר ggg עם הגרף של fff. מה אתם מגלים?

עוד 10 שאלות על נקודות חיתוך עם הצירים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טמפרטורה בחרמון: נקודות החיתוך עם הצירים בהקשר (שאלה מלאה · רמה ב')
הגרף מתאר את הטמפרטורה בתחנת מדידה בהר חרמון ביממה אחת של חורף, מחצות ועד חצות של הלילה הבא. $t$ הוא מספר השעות שעברו מחצות (על הציר…
דוכן לימונדה: מה מספרות נקודות החיתוך של פונקציית הרווח (שאלה מלאה · רמה א')
תלמידי כיתה ט מוכרים לימונדה ביריד של בית הספר. הכנה של כוס לימונדה עולה להם $2$ ש"ח. לפי סקר שערכו, אם המחיר של כוס יהיה $p$ ש"ח, הם ימכרו…
נקודות חיתוך עם הצירים מגרף: קו שבור ופרבולה (שאלה קצרה · רמה ב')
סמנו ורשמו את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים של כל אחד מהגרפים הבאים:
נקודות חיתוך עם הצירים ונקודות אפס: שאלות לדיון (שאלת ביניים · רמה א')
בהינתן גרף של פונקציה, נמצא את נקודת החיתוך עם ציר $y$ ואת נקודות החיתוך עם ציר $x$ . נקודות החיתוך עם ציר $x$ וגם נקודות ההשקה של גרף…
נקודות חיתוך עם הצירים מגרף: עקומות עם נקודה שטוחה (שאלה קצרה · רמה ב')
סמנו ורשמו את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים של כל אחד מהגרפים הבאים:
נקודות חיתוך עם הצירים מגרף: חיתוך מול השקה בראשית (שאלה קצרה · רמה א')
סמנו ורשמו את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים של כל אחד מהגרפים הבאים:
היכרות עם הגרף של $f (x) = x^{3}$ : טבלת ערכים ותכונות (שאלת ביניים · רמה ב')
נכיר את גרף הפונקציה $f(x)=x^3$
נקודות חיתוך עם הצירים מגרף: השקה בפינות וקו שבור דרך הראשית (שאלה קצרה · רמה א')
סמנו ורשמו את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים של כל אחד מהגרפים הבאים:
היכרות עם הגרף של $f (x) = x^{3} + 1$ (שאלת ביניים · רמה ב')
נכיר את גרף הפונקציה $f(x)=x^3+1$
תכונות של פונקציה מתוך גרף: חיתוכים, סימן, קיצון, עלייה וירידה (שאלה מלאה · רמה ב')
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

קריאת נקודות חיתוך ותחומי סימן מגרף בתחום סגור (שאלה קצרה · רמה ב')
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-6\le x\le4$ , ולפניכם הגרף שלה. קצות הגרף הם הנקודות $(-6,-4)$ ו- $(4,-4)$ .…