שאלות פתוחות: נגזרת של סכום והפרש - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על נגזרת של סכום והפרש של פונקציות, לכיתה י', 4 יחידות. השאלות כוללות גזירה של פולינום, פישוט לפני הגזירה, מציאת פרמטר לפי ערך נתון של הנגזרת, סכום של חמישה ריבועים, ומציאת הנגזרות של שתי פונקציות כשנתונים רק הסכום וההפרש שלהן. רוב השאלות ברמה קשה ובינונית, ויש גם קלה. מתאים לבוחן קצר בתחילת פרק הנגזרות; לכל שאלה פתרון מלא, ואת השאלות אפשר לייצא לוורד.

6 שאלותקלה: 1בינונית: 2קשה: 3

שאלה 1 · גזירת פולינום איבר-איברשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x4−3x3+2x2−5x+7f(x)=x^4-3x^3+2x^2-5x+7f(x)=x4−3x3+2x2−5x+7.

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וחשבו את f′(2)f'(2)f′(2).

שאלה 2 · נגזרת של הפרש - פישוט לפני גזירהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x2+1)2−(x2−1)2f(x)=(x^2+1)^2-(x^2-1)^2f(x)=(x2+1)2−(x2−1)2.

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וחשבו את f′(3)f'(3)f′(3).

שאלה 3 · מציאת פרמטר מערך הנגזרת בנקודהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x4−ax2+(a−5)x3f(x)=x^4-ax^2+(a-5)x^3f(x)=x4−ax2+(a−5)x3, כאשר aaa הוא פרמטר.
ידוע: f′(−1)=6f'(-1)=6f′(−1)=6.

מצאו את הערך של aaa.

שאלה 4 · נגזרת של הפרש בין פונקציה לישרשאלת ביניים · בינונית

הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=x2−2x−1f'(x)=x^2-2x-1f′(x)=x2−2x−1.
נגדיר פונקציה חדשה: g(x)=f(x)−2xg(x)=f(x)-2xg(x)=f(x)−2x.

א.

הביעו את g′(x)g'(x)g′(x) כביטוי ב-xxx.

ב.

מצאו את ערכי xxx שבהם g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0.

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x) ואת שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן.

שאלה 5 · נגזרת של סכום ארוךשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה 
f(x)=(x−1)2+(x−2)2+(x−3)2+(x−4)2+(x−5)2f(x)=(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2+(x-4)^2+(x-5)^2f(x)=(x−1)2+(x−2)2+(x−3)2+(x−4)2+(x−5)2

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), ומצאו את הערך של xxx שבו f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0.

שאלה 6 · נגזרת של סכום והפרש בלי למצוא את הפונקציותשאלת ביניים · קשה

f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) הן שתי פונקציות פולינומיות. ידוע כי לכל xxx:
f(x)+g(x)=2x3+x2−2x+4,f(x)−g(x)=3x2−6x−2f(x)+g(x)=2x^3+x^2-2x+4,\qquad f(x)-g(x)=3x^2-6x-2f(x)+g(x)=2x3+x2−2x+4,f(x)−g(x)=3x2−6x−2

א.

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x) ואת g′(x)g'(x)g′(x).

ב.

בנקודה AAA על גרף f(x)f(x)f(x) ובנקודה BBB על גרף g(x)g(x)g(x) יש אותו שיעור xxx, והמשיקים לשני הגרפים בנקודות אלה מקבילים זה לזה. מצאו את שיעור ה-xxx המשותף של AAA ו-BBB, ואת השיפוע המשותף של המשיקים.