שאלות פתוחות: תחומי עלייה וירידה - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על תחומי עלייה וירידה של פונקציה בעזרת הנגזרת, לכיתה י', 4 יחידות. השאלות כוללות פולינומים ממעלה שלישית ורביעית, פונקציה שעולה לכל x, פונקציה מורכבת בחזקה שלישית, פונקציה עם פרמטר שבה נתון ערך הנגזרת בנקודה, ופונקציה חדשה שמוגדרת לפי נגזרת נתונה. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. בחרו מהן לבוחן על הנגזרת או לדף עבודה לפני חקירה מלאה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

10 שאלותקלה: 3בינונית: 3קשה: 4

שאלה 1 · תחומי עלייה וירידה של פולינום ממעלה שלישיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+5f(x)=x^3-6x^2+5f(x)=x3−6x2+5.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 2 · נגזרת של הפרש בין פונקציה לישרשאלת ביניים · בינונית

הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=x2−2x−1f'(x)=x^2-2x-1f′(x)=x2−2x−1.
נגדיר פונקציה חדשה: g(x)=f(x)−2xg(x)=f(x)-2xg(x)=f(x)−2x.

א.

הביעו את g′(x)g'(x)g′(x) כביטוי ב-xxx.

ב.

מצאו את ערכי xxx שבהם g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0.

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x) ואת שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן.

שאלה 3 · כלל השרשרת וגורמים בחזקה זוגית בנגזרתשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−2x−3)3f(x)=(x^2-2x-3)^3f(x)=(x2−2x−3)3.

א.

הראו כי f′(x)=6(x−1)(x+1)2(x−3)2f'(x)=6(x-1)(x+1)^2(x-3)^2f′(x)=6(x−1)(x+1)2(x−3)2.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן. האם יש ל-f(x)f(x)f(x) קיצון בנקודות שבהן x=−1x=-1x=−1 ו-x=3x=3x=3? נמקו.

שאלה 4 · פונקציה העולה לכל xשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3+2x2+2x−1f(x)=x^3+2x^2+2x-1f(x)=x3+2x2+2x−1.

הראו שהפונקציה עולה לכל xxx.

שאלה 5 · תחומי עלייה וירידה כשהנגזרת אינה מחליפה סימןשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x4−8x3+18x2f(x)=x^4-8x^3+18x^2f(x)=x4−8x3+18x2.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 6 · מציאת מקדם מערך הנגזרת ותחומי עלייה וירידהשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−ax+(a−12)x4f(x)=x^3-ax+(a-12)x^4f(x)=x3−ax+(a−12)x4, כאשר aaa הוא מספר קבוע. ידוע כי f′(1)=−9f'(1)=-9f′(1)=−9.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 7 · תחומי עלייה וירידה של מכפלה ושימוש בהםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x(x−3)2f(x)=x(x-3)^2f(x)=x(x−3)2.

א.

הראו כי f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x)=3(x-1)(x-3)f′(x)=3(x−1)(x−3).

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

ג.

הראו שלכל xxx המקיים 1<x<31<x<31<x<3 מתקיים 0<f(x)<40<f(x)<40<f(x)<4.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

תחומי עלייה וירידה של פולינום ממעלה שלישית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2x^3+3x^2-36x$ .
תחומי עלייה וירידה של מכפלת גורמים בחזקות (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)^3(x-4)^2$ .
מתי כמות המים במאגר יורדת (שאלה קצרה · קלה)
כמות המים במאגר (באלפי מ"ק), $t$ שעות לאחר תחילת המדידה, מתוארת על ידי $V(t)=t^3-15t^2+48t+200$ , עבור…