שאלות פתוחות: נקודות קיצון מקומיות - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על נקודות קיצון מקומיות של פונקציה פולינומית, לכיתה י', 4 יחידות. יש כאן מציאת נקודות מקסימום ומינימום של פולינום ממעלה שלישית, פונקציות כמו x²(x-2)³ ו-(x²-4x)² שבהן יש גם נקודות פיתול, ופונקציה שמוגדרת לפי נגזרת נתונה. רוב השאלות ברמה בינונית וקשה, ויש גם קלות. אפשר להרכיב מהן בוחן או דף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

17 שאלותקלה: 3בינונית: 7קשה: 7

שאלה 1 · נקודות קיצון של פולינום ממעלה שלישיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5f(x)=2x3−3x2−12x+5.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

שאלה 2 · נגזרת של הפרש בין פונקציה לישרשאלת ביניים · בינונית

הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=x2−2x−1f'(x)=x^2-2x-1f′(x)=x2−2x−1.
נגדיר פונקציה חדשה: g(x)=f(x)−2xg(x)=f(x)-2xg(x)=f(x)−2x.

א.

הביעו את g′(x)g'(x)g′(x) כביטוי ב-xxx.

ב.

מצאו את ערכי xxx שבהם g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0.

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x) ואת שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן.

שאלה 3 · כלל המכפלה עם גורם בחזקהשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2(x−2)3f(x)=x^2(x-2)^3f(x)=x2(x−2)3.

א.

הראו כי f′(x)=x(x−2)2(5x−4)f'(x)=x(x-2)^2(5x-4)f′(x)=x(x−2)2(5x−4).

ב.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן. האם יש ל-f(x)f(x)f(x) קיצון בנקודה שבה x=2x=2x=2? נמקו.

שאלה 4 · כלל המכפלה ונקודות קיצוןשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3(x−4)f(x)=x^3(x-4)f(x)=x3(x−4).

א.

הראו, בעזרת כלל המכפלה, כי f′(x)=4x2(x−3)f'(x)=4x^2(x-3)f′(x)=4x2(x−3).

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן. האם יש ל-f(x)f(x)f(x) קיצון בנקודה שבה x=0x=0x=0? נמקו.

שאלה 5 · כלל השרשרת וגורמים בחזקה זוגית בנגזרתשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−2x−3)3f(x)=(x^2-2x-3)^3f(x)=(x2−2x−3)3.

א.

הראו כי f′(x)=6(x−1)(x+1)2(x−3)2f'(x)=6(x-1)(x+1)^2(x-3)^2f′(x)=6(x−1)(x+1)2(x−3)2.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן. האם יש ל-f(x)f(x)f(x) קיצון בנקודות שבהן x=−1x=-1x=−1 ו-x=3x=3x=3? נמקו.

שאלה 6 · כלל השרשרת ונקודות קיצוןשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−1)48+2f(x)=\frac{(x^2-1)^4}{8}+2f(x)=8(x2−1)4​+2.

א.

הראו כי f′(x)=x(x2−1)3f'(x)=x(x^2-1)^3f′(x)=x(x2−1)3.

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

שאלה 7 · נקודות קיצון של פונקציה מורכבתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−4x)2f(x)=(x^2-4x)^2f(x)=(x2−4x)2.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

שאלה 8 · נקודות קיצון של פונקציה הנתונה כמכפלהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)(x+2)2f(x)=(x-4)(x+2)^2f(x)=(x−4)(x+2)2.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

שאלה 9 · נקודות קיצון של פונקציה ושל פונקציות הבנויות ממנהשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=−x3+3x2f(x)=-x^3+3x^2f(x)=−x3+3x2.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=3f(x)g(x)=3f(x)g(x)=3f(x). רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן, בלי לגזור את g(x)g(x)g(x). נמקו.

ג.

נתונה הפונקציה h(x)=g(x)−9xh(x)=g(x)-9xh(x)=g(x)−9x. מצאו את הנקודה על גרף h(x)h(x)h(x) שבה המשיק מקביל לציר ה-xxx, והראו שנקודה זו אינה נקודת קיצון.

שאלה 10 · מציאת מקדם מנקודת קיצון נתונהשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x4+ax2f(x)=x^4+ax^2f(x)=x4+ax2, כאשר aaa הוא מספר קבוע. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x=2x=2.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (7)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נקודות קיצון של פולינום ממעלה שלישית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3+3x^2-9x+1$ .
סוג הקיצון בעזרת טבלת סימנים של הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-9x^2+15x+3$ .
נקודה שבה הנגזרת מתאפסת ואין בה קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=3x^5-5x^3$ .
סוג הקיצון מתוך נגזרת נתונה בצורת מכפלה (שאלה קצרה · קשה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ , והנגזרת שלה היא $f'(x)=(x+1)^2(x-2)^3(4-x)$ (הנוסחה של $f(x)$ אינה נתונה).
פונקציה אי-זוגית: נקודת קיצון שנייה מתוך הסימטרייה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=27x-x^3$ .
פונקציה זוגית: עלייה, ירידה וקיצון בעזרת הסימטרייה (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-3)^3$ .
ירי אנכי: מהירות התחלתית מתוך הגובה המרבי (שאלה קצרה · קשה)
חץ נורה מקשת אנכית כלפי מעלה, מגובה הקרקע, במהירות התחלתית $v_0$ מטר לשנייה ( $v_0>0$ ). גובהו מעל הקרקע…