שאלות פתוחות: שיפוע משיק ומשוואת משיק לגרף הפונקציה - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על שיפוע משיק ומשוואת משיק לגרף הפונקציה, לכיתה י', 4 יחידות. יש כאן מציאת משוואת המשיק בנקודה נתונה, משיק שמאונך לישר נתון, משיק לפרבולה שעובר דרך ראשית הצירים, פונקציה שנתונה רק הנגזרת שלה ונקודה על הגרף, ופונקציה עם פרמטר שבה ידוע שיפוע המשיק. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מכאן אפשר לבנות בוחן על משיקים או לשלב שאלה במבחן בנגזרות, עם פתרונות מלאים בוורד.

17 שאלותקלה: 4בינונית: 8קשה: 5

שאלה 1 · משוואת משיק בנקודת החיתוך עם ציר ה-yשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x+2f(x)=x^3-3x+2f(x)=x3−3x+2.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy.

שאלה 2 · משיפוע המיתר לשיפוע המשיקשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 והנקודה A(1,1)A(1,1)A(1,1) שעל הגרף שלה. הנקודה BBB נמצאת גם היא על הגרף, ושיעור ה-xxx שלה הוא 1+h1+h1+h, כאשר h≠0h\neq0h=0. בסרטוט שלפניכם הגרף, הנקודות והישר ABABAB במקרה אחד.
f(x)
AB

א.

הראו כי שיפוע הישר ABABAB הוא 2+h2+h2+h.

ב.

חשבו את שיפוע הישר ABABAB עבור h=1h=1h=1, h=0.1h=0.1h=0.1 ו-h=−0.1h=-0.1h=−0.1.

ג.

מה קורה לשיפוע הישר ABABAB כאשר hhh שואף ל-000? מהי f′(1)f'(1)f′(1), ומה משוואת המשיק לגרף בנקודה AAA?

שאלה 3 · נקודות שבהן נגזרת של פונקציה מורכבת מתאפסתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−5x+6)3f(x)=(x^2-5x+6)^3f(x)=(x2−5x+6)3.

מצאו את כל ערכי xxx שבהם המשיק לגרף הפונקציה מקביל לציר ה-xxx.

שאלה 4 · משיק כשהנגזרת נתונה, ומשיק המקביל לישרשאלה קצרה · בינונית

הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=4x−x2f'(x)=4x-x^2f′(x)=4x−x2. הנקודה (1,5)(1,5)(1,5) נמצאת על הגרף של f(x)f(x)f(x).

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה (1,5)(1,5)(1,5).

ב.

מצאו את שיעורי ה-xxx של כל הנקודות על הגרף של f(x)f(x)f(x) שבהן המשיק מקביל לישר y=−5x+1y=-5x+1y=−5x+1.

שאלה 5 · המשיק בעל השיפוע הגדול ביותרשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=−x3+6x2−9x+1f(x)=-x^3+6x^2-9x+1f(x)=−x3+6x2−9x+1.

מצאו את שיעורי הנקודה על גרף הפונקציה שבה שיפוע המשיק הוא הגדול ביותר, ואת משוואת המשיק בנקודה זו.

שאלה 6 · משיק המאונך לישר נתוןשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2+2f(x)=x^3-3x^2+2f(x)=x3−3x2+2. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA מאונך לישר x+9y=0x+9y=0x+9y=0, והנקודה AAA נמצאת ברביע הראשון.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה AAA.

ג.

על גרף הפונקציה יש נקודה נוספת, BBB, שבה המשיק מקביל למשיק בנקודה AAA. מצאו את שיעורי BBB ואת משוואת המשיק בנקודה BBB.

שאלה 7 · משיקים העוברים דרך ראשית הציריםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−2x+4f(x)=x^2-2x+4f(x)=x2−2x+4. OOO היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את שיעורי כל הנקודות על גרף הפונקציה שהמשיק בהן עובר דרך ראשית הצירים. את הנקודה ששיעור ה-xxx שלה חיובי סמנו ב-AAA, ואת הנקודה האחרת סמנו ב-BBB.

ב.

מצאו את משוואות המשיקים לגרף בנקודות AAA ו-BBB.

ג.

חשבו את שטח המשולש OABOABOAB.

שאלה 8 · מציאת פרמטר משיפוע משיק ונקודת השקהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3+2x2−3x+bf(x)=x^3+2x^2-3x+bf(x)=x3+2x2−3x+b, כאשר bbb פרמטר. AAA היא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הראשון. שיפוע המשיק לגרף בנקודה AAA הוא 4, ושיעור ה-yyy של AAA הוא 3.

מצאו את bbb ואת משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA.

שאלה 9 · שיפוע משיק מינימלי ומציאת פרמטר ממשיקשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2+5x+bf(x)=x^3-3x^2+5x+bf(x)=x3−3x2+5x+b, כאשר bbb פרמטר.

א.

הראו שלפונקציה אין נקודות קיצון, ומצאו את השיפוע הקטן ביותר של משיק לגרף הפונקציה.

ב.

AAA היא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיפוע המשיק לגרף בנקודה AAA הוא 5. מצאו את שיעור ה-xxx של AAA.

ג.

המשיק לגרף בנקודה AAA חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=0.6x=0.6x=0.6. מצאו את bbb ואת משוואת המשיק.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (8)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משוואת המשיק והערכת ערך הפונקציה בעזרתו (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-x$ .
הערכת ערכי פונקציה מנתוני המשיק (שאלה קצרה · בינונית)
בשני הסעיפים אין נוסחה לפונקציה, ומעריכים את ערכיה בעזרת המשיק לגרף.
שיפוע המשיק בשתי נקודות על גרף פולינום (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^4-2x^3+5x$ .
נקודות על הגרף שבהן שיפוע המשיק נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3+3x^2-8x-1$ .
הזווית שהמשיק יוצר עם ציר ה-x (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2+2x$ .
משיקים בנקודות החיתוך עם ציר ה-x (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3+x^2-x-1$ .
משיק לפרבולה המקביל לישר נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-3x+6$ .
משיקים המאונכים לישר הנתון בצורה כללית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3+3x^2-6x+1$ .