שאלות פתוחות: קיצון מוחלט וקיצון בקצה תחום ההגדרה - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על קיצון מוחלט ועל קיצון בקצה תחום ההגדרה, לכיתה י', 4 יחידות. השאלות כוללות מציאת הערך הגדול והקטן ביותר של פולינום בקטע סגור, השוואה בין ערכים בנקודות הקיצון לבין ערכים בקצוות, ופונקציות כמו x(x-6)² ו-x⁴-8x² בתחום נתון. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. השאלות מתאימות לבוחן על קיצון בקטע, ולכל אחת יש פתרון מלא שאפשר לייצא לוורד.

10 שאלותקלה: 2בינונית: 4קשה: 4

שאלה 1 · ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגורשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=20x−2x2f(x)=20x-2x^2f(x)=20x−2x2.

א.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום 1≤x≤41\le x\le41≤x≤4.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום 1≤x≤81\le x\le81≤x≤8.

שאלה 2 · קיצון מוחלט מול קיצון מקומי בקטע סגורשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2x3−9x2+12x+7f(x)=2x^3-9x^2+12x+7f(x)=2x3−9x2+12x+7 המוגדרת בתחום 0≤x≤30\le x\le30≤x≤3.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום, ואת הנקודות שבהן הם מתקבלים.

שאלה 3 · ערך קיצון מוחלט שמתקבל בשתי נקודותשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=−x3+3x+2f(x)=-x^3+3x+2f(x)=−x3+3x+2.

א.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום −2≤x≤2-2\le x\le2−2≤x≤2, ואת כל ערכי ה-xxx שבהם מתקבל כל אחד מהם.

ב.

בתחום x≥−2x\ge-2x≥−2: האם יש לפונקציה ערך גדול ביותר? האם יש לה ערך קטן ביותר? אם כן - מצאו אותו. נמקו.

שאלה 4 · ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגורשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−12xf(x)=x^3-12xf(x)=x3−12x בקטע הסגור −1≤x≤3-1\le x\le3−1≤x≤3.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בקטע, ואת הנקודות שבהן הם מתקבלים.

שאלה 5 · קיצון בקצות התחום ומספר פתרונות בתחוםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x(x−6)2f(x)=x(x-6)^2f(x)=x(x−6)2 המוגדרת בתחום 1≤x≤51\le x\le51≤x≤5.

א.

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), ומצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה שאינן בקצות התחום, וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום.

ג.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=28f(x)=28f(x)=28 בתחום? וכמה פתרונות יש למשוואה f(x)=20f(x)=20f(x)=20 בתחום? נמקו.

שאלה 6 · נקודות קיצון בקצות התחום וקיצון מוחלטשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x4−8x2f(x)=x^4-8x^2f(x)=x4−8x2 המוגדרת בתחום −1≤x≤3-1\le x\le3−1≤x≤3.

א.

מצאו את כל נקודות הקיצון של הפונקציה, כולל נקודות קיצון בקצות התחום, וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה בתחום, וקבעו בעזרתה כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=−5f(x)=-5f(x)=−5 בתחום. נמקו.

שאלה 7 · ערך גדול ביותר וקטן ביותר בתחום פתוחשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9x+1f(x)=x^3-6x^2+9x+1f(x)=x3−6x2+9x+1.

א.

בתחום הפתוח 0<x<40<x<40<x<4: האם יש לפונקציה ערך גדול ביותר? האם יש לה ערך קטן ביותר? אם כן, מצאו אותו ואת הנקודה שבה הוא מתקבל.

ב.

בתחום הפתוח 0<x<50<x<50<x<5: האם יש לפונקציה ערך גדול ביותר? האם יש לה ערך קטן ביותר? אם כן, מצאו אותו ואת הנקודה שבה הוא מתקבל.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

קיצון מוחלט: בנקודה פנימית או בקצה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2x^3-9x^2-24x$ , המוגדרת בתחום $-2\le x\le7$ .
ערך קיצון מוחלט שמתקבל בשתי נקודות (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-9x^2+24x$ . בשאלה שני סעיפים שאינם תלויים זה בזה.
הוכחת אי-שוויון בעזרת המינימום בתחום (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2x^3-3x^2+2$ .