שאלות פתוחות: חקירת פונקציה פולינומיאלית וסרטוט סקיצה - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על חקירת פונקציה פולינומית ושרטוט סקיצה, לכיתה י', 4 יחידות. יש כאן חקירה מלאה של פולינומים ממעלה שלישית ורביעית, בחירת הסקיצה הנכונה מתוך שלוש, פונקציה עם פרמטר שידוע מקום הקיצון שלה, ושאלה שבה נתון רק גרף הנגזרת ויש להסיק ממנו על הפונקציה. רוב השאלות ברמה קשה ובינונית, ויש גם קלות. שאלה מכאן היא שאלה מרכזית טובה למבחן בחקירת פונקציות; לכל שאלה פתרון מלא, והכול יוצא לוורד.

16 שאלותקלה: 3בינונית: 6קשה: 7

שאלה 1 · נקודות חיתוך ונקודות קיצון של פולינוםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2f(x)=x4−2x2.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

שאלה 2 · מספר הפתרונות של משוואה לפי נקודות הקיצוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−12x+11f(x)=x^3-12x+11f(x)=x3−12x+11.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן. הסבירו בעזרתן מדוע למשוואה x3−12x+11=0x^3-12x+11=0x3−12x+11=0 יש בדיוק שלושה פתרונות (אין צורך למצוא אותם).

שאלה 3 · התאמת סקיצה לפונקציה לפי חקירהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x4−4x3f(x)=3x^4-4x^3f(x)=3x4−4x3. לפניכם שלוש סקיצות, I, II ו-III. בכל אחת מהן הגרף חותך או משיק לציר ה-xxx בשתי נקודות בדיוק.
גרף II
גרף IIII
גרף IIIIII

חקרו את הפונקציה (נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx, נקודות שבהן המשיק אופקי ותחומי עלייה וירידה), וקבעו איזו מן הסקיצות מתאימה לגרף של f(x)f(x)f(x). נמקו מדוע כל אחת מהאחרות אינה מתאימה.

שאלה 4 · חקירת פולינום ממעלה שלישית וסרטוט סקיצהשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2f(x)=x3−3x2.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ג.

עבור אילו ערכים של kkk הישר y=ky=ky=k חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות?

שאלה 5 · חקירה: נקודת קיצון על ציר ה-x וסקיצהשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2−9x+27f(x)=x^3-3x^2-9x+27f(x)=x3−3x2−9x+27.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ב.

היעזרו בסעיף א והסבירו מדוע לגרף הפונקציה יש בדיוק שתי נקודות משותפות עם ציר ה-xxx. מצאו אותן.

ג.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

שאלה 6 · פרמטר מנקודת קיצון, חקירה ומספר חיתוכים עם ישר אופקישאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ax3+9x2f(x)=ax^3+9x^2f(x)=ax3+9x2, כאשר aaa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=3x=3x=3.

א.

חשבו את aaa.

ב.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה, ומצאו בעבור אילו ערכים של kkk הישר y=ky=ky=k חותך את הגרף בשלוש נקודות שונות.

שאלה 7 · סקיצה של פונקציה מגרף הנגזרת ומספר נקודות חיתוך עם ישר אופקישאלת ביניים · קשה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא פולינום המוגדר לכל xxx. לפניכם הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x): זו פרבולה שחותכת את ציר ה-xxx רק בנקודות שבהן x=−1x=-1x=−1 ו-x=3x=3x=3. נתון גם: f(−1)=6f(-1)=6f(−1)=6, f(3)=−2f(3)=-2f(3)=−2.
f′(x)

א.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (שני השיעורים), וקבעו את סוגן.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

בעבור אילו ערכים של kkk הישר y=ky=ky=k חותך את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בשלוש נקודות שונות? ובעבור אילו ערכים של kkk הוא חותך את הגרף בנקודה אחת בלבד?

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

זיהוי גרף של פונקציה ממעלה שלישית לפי נקודות הקיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2x^3+3x^2-12x$ . לפניכם שלושה גרפים, I, II ו-III. אחד מהם הוא הגרף של $f(x)$ . גרף I: גרף…
התאמת שלוש פונקציות לגרפים שלהן לפי סוג הקיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות שלוש פונקציות: $f(x)=2x^3-9x^2,\qquad g(x)=9x^2-2x^3,\qquad h(x)=2x^3+9x^2$ לפניכם שלושה גרפים, I, II…
חקירה וסקיצה של פולינום ממעלה שלישית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3+3x^2-4$ . ידוע כי $f(x)=(x-1)(x+2)^2$ .
חקירה וסקיצה של פולינום ממעלה רביעית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=-x^4+8x^2+9$ .
חקירה של פונקציה עולה עם משיק אופקי (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2+3x-9$ .
מספר הפתרונות של f(x)=k לפי נקודות הקיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-27x+10$ .
נקודה שבה הנגזרת מתאפסת ואינה קיצון, ומספר הפתרונות (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=3x^4+8x^3$ .
שלושה פתרונות בפולינום עם שלוש נקודות קיצון (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=3x^4-16x^3+18x^2$ .
פתרון אי-שוויון בעזרת ערך המינימום (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3+6x^2-15x$ .