שאלות פתוחות: הגדרת הנגזרת בנקודה והמשמעות הגאומטרית שלה - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על הגדרת הנגזרת בנקודה ועל המשמעות הגאומטרית שלה, לכיתה י', 4 יחידות. יש כאן חישוב נגזרת לפי ההגדרה כגבול, שיפוע של מיתר בין שתי נקודות על פרבולה כש-h שואף לאפס, זיהוי הגבול כנגזרת של פונקציה מסוימת, ומשיקים שמשורטטים על גרף נתון. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מתאים לשיעור פתיחה בפרק הנגזרות, לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

8 שאלותקלה: 2בינונית: 2קשה: 4

שאלה 1 · חישוב נגזרת בנקודה לפי ההגדרהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=3x2f(x)=3x^2f(x)=3x2.

חשבו את f′(1)f'(1)f′(1) לפי הגדרת הנגזרת.

שאלה 2 · הנגזרת כשיפוע המשיקשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ושני משיקים לו (בקו מרוסק).
המשיק לגרף בנקודה AAA, שבה x=2x=2x=2, עובר דרך הנקודה B(0,−5)B(0,-5)B(0,−5). ידוע: f(2)=1f(2)=1f(2)=1.
הישר y=4y=4y=4 משיק לגרף בנקודה CCC, שבה x=−1x=-1x=−1.
f(x)
ABC

א.

מצאו את f′(2)f'(2)f′(2).

ב.

מצאו את f(−1)f(-1)f(−1) ואת f′(−1)f'(-1)f′(−1).

שאלה 3 · זיהוי גבול כנגזרת בנקודהשאלה קצרה · קשה

נתון הגבול L=lim⁡h→0(2+h)3−8hL=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^3-8}{h}L=limh→0​h(2+h)3−8​.

הסבירו מדוע LLL הוא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 בנקודה שבה x=2x=2x=2, וחשבו את LLL.

שאלה 4 · משיפוע המיתר לשיפוע המשיקשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 והנקודה A(1,1)A(1,1)A(1,1) שעל הגרף שלה. הנקודה BBB נמצאת גם היא על הגרף, ושיעור ה-xxx שלה הוא 1+h1+h1+h, כאשר h≠0h\neq0h=0. בסרטוט שלפניכם הגרף, הנקודות והישר ABABAB במקרה אחד.
f(x)
AB

א.

הראו כי שיפוע הישר ABABAB הוא 2+h2+h2+h.

ב.

חשבו את שיפוע הישר ABABAB עבור h=1h=1h=1, h=0.1h=0.1h=0.1 ו-h=−0.1h=-0.1h=−0.1.

ג.

מה קורה לשיפוע הישר ABABAB כאשר hhh שואף ל-000? מהי f′(1)f'(1)f′(1), ומה משוואת המשיק לגרף בנקודה AAA?

שאלה 5 · נגזרת בנקודה כללית לפי ההגדרהשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=x^2-6x+8f(x)=x2−6x+8.

א.

הראו לפי הגדרת הנגזרת כי לכל מספר aaa מתקיים f′(a)=2a−6f'(a)=2a-6f′(a)=2a−6.

ב.

מצאו את הנקודה PPP על גרף הפונקציה שבה המשיק לגרף מקביל לישר y=2x+5y=2x+5y=2x+5.

ג.

מצאו את הנקודה QQQ על הגרף שבה שיפוע המשיק נגדי לשיפוע המשיק בנקודה PPP. הראו ש-PPP ו-QQQ הן נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

שאלה 6 · נגזרת של סכום והפרש בלי למצוא את הפונקציותשאלת ביניים · קשה

f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) הן שתי פונקציות פולינומיות. ידוע כי לכל xxx:
f(x)+g(x)=2x3+x2−2x+4,f(x)−g(x)=3x2−6x−2f(x)+g(x)=2x^3+x^2-2x+4,\qquad f(x)-g(x)=3x^2-6x-2f(x)+g(x)=2x3+x2−2x+4,f(x)−g(x)=3x2−6x−2

א.

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x) ואת g′(x)g'(x)g′(x).

ב.

בנקודה AAA על גרף f(x)f(x)f(x) ובנקודה BBB על גרף g(x)g(x)g(x) יש אותו שיעור xxx, והמשיקים לשני הגרפים בנקודות אלה מקבילים זה לזה. מצאו את שיעור ה-xxx המשותף של AAA ו-BBB, ואת השיפוע המשותף של המשיקים.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הערכת הנגזרת בנקודה מקצבי שינוי ממוצעים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2x^2-x$ .
מנת ההפרשים נתונה: נגזרת, שיפוע מיתר וערך הפונקציה (שאלה קצרה · קשה)
על פונקציה $f$ ידוע: $f(2)=1$ , ולכל $h\neq0$ מתקיים $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=3h^2-h+4$