שאלות פתוחות: נגזרת של מכפלת פונקציות - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על נגזרת של מכפלת פונקציות לכיתה י', 4 יחידות. יש כאן גזירה של מכפלות כמו (x²+1)(3x-2), x³(x-4) ו-x²(x-2)³, ופונקציה פולינומית שהנוסחה שלה לא נתונה ובה משתמשים בכלל המכפלה לפי ערכים ידועים. בחלק מהשאלות הגזירה היא רק הצעד הראשון, ואחריה מוצאים נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מתאים לדף תרגול בכלל המכפלה או לבוחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

7 שאלותקלה: 1בינונית: 3קשה: 3

שאלה 1 · גזירת מכפלה של שני ביטוייםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(x2+1)(3x−2)f(x)=(x^2+1)(3x-2)f(x)=(x2+1)(3x−2).

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x) לפי כלל הגזירה של מכפלה, וחשבו את f′(1)f'(1)f′(1).

שאלה 2 · נגזרת של מכפלה ונקודות שבהן הנגזרת מתאפסתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(2x−3)(x2−6)f(x)=(2x-3)(x^2-6)f(x)=(2x−3)(x2−6).

מצאו את הנקודות על גרף הפונקציה שבהן f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0.

שאלה 3 · כלל המכפלה כשהנוסחה של אחד הגורמים אינה ידועהשאלה קצרה · קשה

g(x)g(x)g(x) היא פונקציה פולינומית. הנוסחה שלה אינה נתונה.

א.

ידוע ש-g(1)=4g(1)=4g(1)=4 ו-g′(1)=−2g'(1)=-2g′(1)=−2. נגדיר h(x)=x⋅g(x)h(x)=x\cdot g(x)h(x)=x⋅g(x). חשבו את h′(1)h'(1)h′(1).

ב.

ידוע ש-g(2)=5g(2)=5g(2)=5 (הערך של g′(2)g'(2)g′(2) אינו נתון). נגדיר k(x)=(x−2)⋅g(x)k(x)=(x-2)\cdot g(x)k(x)=(x−2)⋅g(x). חשבו את k′(2)k'(2)k′(2).

שאלה 4 · כלל המכפלה ונקודות קיצוןשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3(x−4)f(x)=x^3(x-4)f(x)=x3(x−4).

א.

הראו, בעזרת כלל המכפלה, כי f′(x)=4x2(x−3)f'(x)=4x^2(x-3)f′(x)=4x2(x−3).

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן. האם יש ל-f(x)f(x)f(x) קיצון בנקודה שבה x=0x=0x=0? נמקו.

שאלה 5 · כלל המכפלה עם גורם בחזקהשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2(x−2)3f(x)=x^2(x-2)^3f(x)=x2(x−2)3.

א.

הראו כי f′(x)=x(x−2)2(5x−4)f'(x)=x(x-2)^2(5x-4)f′(x)=x(x−2)2(5x−4).

ב.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן. האם יש ל-f(x)f(x)f(x) קיצון בנקודה שבה x=2x=2x=2? נמקו.

שאלה 6 · נקודות קיצון של פונקציה הנתונה כמכפלהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)(x+2)2f(x)=(x-4)(x+2)^2f(x)=(x−4)(x+2)2.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

שאלה 7 · תחומי עלייה וירידה של מכפלה ושימוש בהםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x(x−3)2f(x)=x(x-3)^2f(x)=x(x−3)2.

א.

הראו כי f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x)=3(x-1)(x-3)f′(x)=3(x−1)(x−3).

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

ג.

הראו שלכל xxx המקיים 1<x<31<x<31<x<3 מתקיים 0<f(x)<40<f(x)<40<f(x)<4.