שאלות פתוחות: הקשר בין היקף לשטח ומינימום/מקסימום של פונקציה ריבועית - כיתה י"א 3 יח"ל

הקשר בין היקף לשטח ומינימום ומקסימום של פונקציה ריבועית, בחזרה על חומר קודם לכיתה י"א 3 יחידות. התלמידים מוצאים את הקדקוד של פרבולה במסלול של כדור ובקשת של גשר, ומחשבים מחיר שמביא להכנסה מרבית כשכל משתתף נוסף מוזיל את המחיר - בסיור במוזיאון, בסדנת צילום ובסדנת בישול. יש גם התאמה בין פרבולה לגרף ולוח מטרה עם עיגול וטבעת. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. בחרו מהן שאלות לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה.

26 שאלותקלה: 8בינונית: 14קשה: 4

שאלה 1 · פרבולה בהקשר: מעוף של כדורשאלה מלאה · קלה

כדור נבעט מהקרקע. מסלול הכדור מתואר על ידי הפרבולה f(x)=−x2+6xf(x)=-x^2+6xf(x)=−x2+6x, כאשר xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה, ו-f(x)f(x)f(x) הוא גובה הכדור (במטרים). הקרקע היא בגובה y=0y=0y=0, והחלק החיובי של הפרבולה מתאר את מעוף הכדור.
לפניכם שני גרפים, 1 ו-2:
גרף 1
גרף 2

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-xxx.

ב.

קבעו איזה מן הגרפים, 1 או 2, מתאר את הפרבולה. נמקו.

ג.

שיעור ה-xxx של קדקוד הפרבולה נמצא באמצע בין נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-xxx. מצאו את שיעורי הקדקוד.

ד.

בעבור אילו ערכי xxx הכדור נמצא בעלייה?

ה.

מה גובה הכדור כשהמרחק האופקי שלו מנקודת הבעיטה הוא 1 מטר?

שאלה 2 · פרבולה בהקשר: קפיצה של דולפיןשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפרבולה: f(x)=−0.4x2+2xf(x)=-0.4x^2+2xf(x)=−0.4x2+2x.
לפניכם ארבעה גרפים, 1-4:
גרף 1
גרף 2
גרף 3
גרף 4

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-xxx.

ב.

קבעו איזה גרף מן הגרפים 1-4 מתאר את הפרבולה.

ג.

דולפין קופץ מן המים בבריכה של פארק ימי וחוזר אליה. החלק החיובי של הפרבולה מתאר את מסלול הקפיצה של הדולפין מעל פני המים.
ציר ה-xxx מתאר את המרחק האופקי (במטרים) מהנקודה שבה הדולפין יצא מן המים, וציר ה-yyy מתאר את הגובה (במטרים) של הדולפין מעל פני המים.
פני המים בבריכה הם בגובה y=0y=0y=0.

מצאו את שיעורי הנקודה שבה הדולפין מגיע לגובה מקסימלי.

ד.

בעבור אילו ערכי xxx הדולפין נמצא בעלייה?

ה.

המאמן תלה חישוק מעל הבריכה, בגובה 2.7 מטרים מעל פני המים.

האם הדולפין יכול לעבור דרך החישוק בקפיצה הזאת? נמקו.

שאלה 3 · פרבולה עם פרמטר: מהגובה המקסימלי למסלול, ומספר נקודות המפגש עם רחפןשאלה מלאה · קשה

מסלול של כדור שנבעט מהקרקע מתואר על ידי הפרבולה f(x)=−x2+bxf(x)=-x^2+bxf(x)=−x2+bx, כאשר bbb הוא פרמטר. xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה, ו-f(x)f(x)f(x) הוא גובה הכדור (במטרים); החלק החיובי של הפרבולה מתאר את מעוף הכדור, והכדור עף בכיוון החיובי של ציר ה-xxx.

א.

הביעו באמצעות bbb את שיעורי הקדקוד של הפרבולה.

ב.

הגובה המקסימלי של הכדור הוא 6.25 מטרים. מצאו את bbb.

ג.

הציבו b=5b=5b=5.

רחפן טס במסלול אופקי ישר, בגובה 4 מטרים מעל הקרקע, באותו מישור של מסלול הכדור. באילו מרחקים אופקיים מנקודת הבעיטה מסלול הכדור חוצה את מסלול הרחפן?

ד.

רחפן אחר טס במסלול אופקי בגובה hhh מטרים (h>0h>0h>0). קבעו, לפי ערכי hhh, בכמה נקודות מסלול הכדור חוצה את מסלול הרחפן או נוגע בו.

שאלה 4 · פרבולה בהקשר: סיור במוזיאון - שורשים וקדקודשאלה מלאה · קלה

קבוצה של 121212 ילדים נרשמה לסיור במוזיאון. כל ילד היה צריך לשלם 606060 ₪, אבל על כל ילד נוסף שמצטרף, המחיר לכל ילד בסיור יורד ב-222 ₪.
אם xxx הוא מספר הילדים הנוספים, סכום הכסף שייאסף הוא y=(12+x)(60−2x)y=(12+x)(60-2x)y=(12+x)(60−2x). לפניכם גרף הפונקציה:

א.

מה סכום הכסף שייאסף אם יצטרפו 555 ילדים נוספים?

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx. לאיזו מהן יש משמעות בהקשר, ומהי?

ג.

כמה ילדים נוספים צריכים להצטרף כדי שסכום הכסף שייאסף יהיה הגבוה ביותר? מהו הסכום הזה?

שאלה 5 · קשת של גשר: הגובה המקסימלישאלה קצרה · בינונית

הקשת של גשר מתוארת על ידי הפרבולה f(x)=−0.5x2+4xf(x)=-0.5x^2+4xf(x)=−0.5x2+4x, כאשר xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) מתחילת הקשת ו-f(x)f(x)f(x) הוא גובה הקשת (במטרים) מעל המים.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה הגבוהה ביותר של הקשת.

ב.

האם יש מקום לאורך הקשת שבו גובהה 8.5 מטרים? נמקו.

שאלה 6 · הסתברות עם פרמטר: מהתוצאה אל ההסתברותשאלה מלאה · קשה

לוח מטרה מורכב מעיגול פנימי וטבעת שסביבו. בעיגול הפנימי זוכים ב-50 נקודות. הטבעת מחולקת לשני אזורים: באחד זוכים ב-10 נקודות ובשני ב-20 נקודות (ראו סרטוט).
501020
ההסתברות שרון יקלע לעיגול הפנימי היא ppp, וההסתברות שיקלע לכל אחד משני האזורים שבטבעת זהה. רון קולע תמיד ללוח.
רון קלע למטרה פעמיים.

א.

הביעו באמצעות ppp את ההסתברות שבשתי הפעמים זכה רון באותו מספר נקודות.

ב.

נתון כי ההסתברות שבשתי הפעמים זכה רון באותו מספר נקודות היא 0.44, וכי ההסתברות לקלוע לעיגול הפנימי גדולה מההסתברות לקלוע לכל אחד משני האזורים שבטבעת.

מצאו את ppp.

ג.

בעבור ppp שמצאתם, מהי ההסתברות שסכום הנקודות שזכה בהן רון בשתי הפעמים גדול מ-50?

ד.

בלי קשר לנתון שלפני סעיף ב: בעבור איזה ערך של ppp ההסתברות שבשתי הפעמים זכה רון באותו מספר נקודות היא הקטנה ביותר? מהי ההסתברות הזאת?

שאלה 7 · פרבולה בהקשר: סכום הכסף לסדנת צילוםשאלה מלאה · בינונית

קבוצה של 161616 משתתפים נרשמה לסדנת צילום. כל משתתף היה צריך לשלם 120120120 ₪.
המדריך הסכים שלכל משתתף נוסף שיצטרף לסדנה, הוא יוזיל את המחיר ב-333 ₪ לכל משתתף בסדנה.
(לדוגמה, אם יצטרפו 444 משתתפים, כל אחד ישלם 4⋅3=124\cdot3=124⋅3=12 ₪ פחות.)
סמנו ב-xxx את מספר המשתתפים הנוספים (מעבר ל-161616 המשתתפים) שישתתפו בסדנה.

א.

(1)

במידה ולא יתווספו משתתפים, מעבר ל-161616 המשתתפים, מה סכום הכסף שייאסף לסדנה?

(2)

במידה וישתתפו בסדנה 212121 משתתפים (555 בנוסף ל-161616), מה סכום הכסף שייאסף לסדנה?

ב.

לפניכם 333 פונקציות. איזו מבין הפונקציות מייצגת את סכום הכסף שייאסף לסדנה במצב המתואר?
(i) y=(16+3x)(120−x)y=(16+3x)(120-x)y=(16+3x)(120−x)
(ii) y=(16+x)(120−3x)y=(16+x)(120-3x)y=(16+x)(120−3x)
(iii) y=(16+x)(117−x)y=(16+x)(117-x)y=(16+x)(117−x)

ג.

גרף הפונקציה בהקשר למצב המתואר מסורטט במערכת הצירים.

(1)

מהו ערך הפונקציה עבור x=2x=2x=2, x=9x=9x=9, x=1.5x=1.5x=1.5, x=−3x=-3x=−3? מבין הערכים האלה, מה הם הערכים שיש להם משמעות בהקשר לנתוני השאלה?

(2)

לאיזה חלק בגרף הפונקציה יש משמעות? הסבר.

ד.

(1)

מה מספר המשתתפים הנוספים שכדאי למדריך שיצטרפו, כדי שסכום הכסף שהוא יקבל יהיה הגבוה ביותר?

(2)

מהו סכום הכסף שייאסף במקרה זה?

ה.

עבור מספר משתתפים נוספים שגדול ממספר המשתתפים הנוספים שמצאת בסעיף ד', האם סכום הכסף שייאסף לסדנה:
(1) הולך וגדל (2) נשאר אותו הדבר (3) הולך וקטן.
הסבר את תשובתך.

שאלה 8 · פרבולה בהקשר: מחיר לא ידוע וקדקוד לא שלםשאלה מלאה · קשה

סדנת בישול מיועדת לקבוצה של 151515 משתתפים, שכל אחד מהם משלם ppp ₪. על כל משתתף נוסף שמצטרף, המחיר לכל משתתף בסדנה יורד ב-333 ₪.
ידוע שאם יצטרפו 555 משתתפים נוספים, ייאסף בסך הכול 2,0002{,}0002,000 ₪.

א.

מצאו את ppp.

ב.

כמה משתתפים נוספים צריכים להצטרף כדי שסכום הכסף שייאסף יהיה הגבוה ביותר? מהו הסכום?

ג.

עבור אילו מספרים של משתתפים נוספים ייאסף סכום שאינו קטן מהסכום שהיה נאסף בלי משתתפים נוספים?

שאלה 9 · שטח מקסימלי של דיר צמוד לקירשאלה קצרה · בינונית

חקלאי בונה דיר מלבני צמוד לקיר ארוך, ומקיף אותו מ-333 צדדים ב-606060 מ' של גדר (הקיר הוא הצלע הרביעית). xxx הוא אורך כל אחת משתי הצלעות הניצבות לקיר, ושטח הדיר הוא y=x(60−2x)y=x(60-2x)y=x(60−2x).

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx והסבירו את משמעותן.

ב.

מה צריך להיות xxx כדי ששטח הדיר יהיה הגדול ביותר? מהו השטח הזה?

שאלה 10 · לוח ריבועי עם ריבוע אדום: מהשטח למיקום הנקודותשאלה מלאה · קשה

שלט עשוי מלוח ריבועי ABCDABCDABCD שאורך צלעו 85 ס״מ.
על צלעות הלוח מסמנים את הנקודות EEE, FFF, GGG, HHH כך ש-AE=BF=CG=DHAE=BF=CG=DHAE=BF=CG=DH, ומחברים אותן. המרובע EFGHEFGHEFGH הוא ריבוע, והוא נצבע באדום; ארבעת המשולשים שבפינות נשארים לבנים.
ABCDEFGH

א.

צלע הריבוע האדום היא 65 ס״מ. מצאו את האורך AEAEAE (מצאו את שתי האפשרויות).

ב.

האם אפשר לבחור את מיקום הנקודות כך שהשטח האדום יהיה קטן מחצי משטח הלוח? נמקו.

ג.

שלטים שבהם צלע הריבוע האדום היא 65 ס״מ נתלים זה לצד זה, צמודים, לאורך גדר שאורכה 12 מטרים. כמה שלטים שלמים אפשר לתלות לאורך הגדר, ומה השטח האדום הכולל שלהם במ״ר?

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פרבולה בהקשר: מזרקה ומסלול המים · בגרות 371 קיץ 2023 מועד א', שאלה 6
נתונה הפרבולה: $f(x)=-x^2+3x$ . לפניכם ארבעה גרפים, 1-4: גרף 1: גרף 2: גרף 3: גרף 4:
פרבולה בהקשר: סכום הכסף לטיול כשהמחיר יורד עם כל משתתף · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 6
קבוצה של $14$ ילדים החליטה לצאת לטיול. כל ילד היה צריך לשלם $100$ ₪. מארגן הטיול הסכים שלכל ילד נוסף שיצטרף לטיול, הוא יוזיל את המחיר ב- $2$ ₪ לכל ילד שיצא…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (14)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מודל ריבועי: כמות המוצרים במפעל לאורך זמן (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $y=x^2-8x+17$ מתארת את כמות המוצרים שייצרו במפעל מסוים לפי הזמן, במשך תקופה מסוימת. לפניכם גרף המתאר…
מודל ריבועי: מספר המבקרים בפארק מים לאורך זמן (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $y=0.5x^2-6x+22$ מתארת את מספר המבקרים בפארק מים לפי הזמן, במשך תקופה מסוימת. לפניכם גרף המתאר את…
קדקוד הפרבולה בנוסחה x=−b/2a (שאלה קצרה · בינונית)
העלות היומית של הפעלת מכונה במפעל (באלפי שקלים) לפי מספר שעות העבודה $x$ מתוארת על ידי הפונקציה…
מודל ריבועי: מסלול טיפוס בצורת פרבולה (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק שעשועים בנו על קרקע מישורית מסלול טיפוס בצורת פרבולה. המסלול מתחיל בנקודה $A$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר…
מודל ריבועי: מתקן טיפוס בצורת פרבולה (שאלה מלאה · קלה)
בגן משחקים בנו מתקן טיפוס בצורת פרבולה. המתקן מתחיל בנקודה $A$ על הקרקע ומסתיים בנקודה $B$ על הקרקע. עמוד…
קדקוד הפרבולה בנוסחה x=−b/2a (שאלה קצרה · בינונית)
הגובה (במטרים) של כדור שנבעט כלפי מעלה מתואר על ידי הפונקציה $h(t)=-5t^2+20t+1.5$ , כאשר $t$ הוא הזמן בשניות…
מודל ריבועי: זריקת אבן (שאלה מלאה · בינונית)
נדב זורק אבן כלפי מעלה. הפונקציה הריבועית $y=-5x^2+16x+2$ מתארת במטרים את הגובה של האבן מעל הקרקע (ציר ה- $y$ )…
מודל ריבועי: זריקת כדור (שאלה מלאה · קלה)
מיכל זורקת כדור כלפי מעלה. הפונקציה הריבועית $y=-5x^2+14x+1$ מתארת במטרים את הגובה של הכדור מעל הקרקע (ציר…
מודל ריבועי: סילון מים (שאלה מלאה · קלה)
סילון מים יוצא מצינור הקבוע בקיר. הפונקציה $y=-x^2+4x+12$ מתארת את הגובה של הסילון מעל הקרקע במטרים ( $y$ )…
מודל ריבועי: מגלשת מים (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה $y=x^2-6x+11$ . למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע, בנקודה…
מודל ריבועי: מגלשת מים (שאלה מלאה · קלה)
בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה $y=0.5x^2-5x+15$ . למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע,…
מודל ריבועי: רמפת סקייטבורד (שאלה מלאה · קלה)
מסלול של רמפת סקייטבורד בנוי בצורת פרבולה שמשוואתה $y=0.5x^2-4x+9$ , עבור $0\le x\le7$ . ציר ה- $x$ מונח על הקרקע…
קדקוד הפרבולה בנוסחה x=−b/2a (שאלה קצרה · בינונית)
סילון מים של מזרקה נע במסלול שמשוואתו $y=-0.5x^2+4x+1.5$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מפיית המזרקה…
מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · בינונית)
כדור נבעט מהקרקע. הגובה שלו במטרים כעבור $x$ שניות מתואר על ידי הפונקציה $y=-5x^2+18x$ .