שאלות פתוחות: מסלולים: אורך מסלול, דרך, מהירות וזמן - כיתה י"א 3 יח"ל

מסלולים בחזרה על חומר קודם לכיתה י"א, 3 יחידות: אורך מסלול, דרך, מהירות וזמן. בשאלות יש ריצה סביב פארק מלבני, החלקה על משטח שמורכב ממלבן וחצאי עיגול, ושחייה של שניים אל רפסודה מנקודות שונות. בחלק מהשאלות אורך הדרך מחושב בטריגונומטריה - רוכב אופניים שנראה ממגדל תצפית, רחפן מול פסגת הר, רוחף מול צוק - ואחר כך מחשבים זמן. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מורה יכול לשלב אותן בבוחן או בדף עבודה, ולקבל לכל שאלה פתרון מלא.

26 שאלותקלה: 5בינונית: 20קשה: 1

שאלה 1 · טריגונומטריה: עמוד תאורה באצטדיוןשאלה מלאה · קלה

עמוד תאורה ABABAB באצטדיון ניצב לקרקע (∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ∠ABD=90∘).
נועה עומדת בנקודה DDD, במרחק 50 מטר מהעמוד (BD=50BD=50BD=50 מטר). נתון: ∠ADB=34∘\angle ADB=34^\circ∠ADB=34∘.
תום עומד בנקודה CCC, בין נועה לעמוד, על הקו הישר המחבר ביניהם. המרחק בין נועה לתום הוא 20 מטר (CD=20CD=20CD=20 מטר).
ABCD

א.

במשולש ABDABDABD, חשבו את גובה העמוד ABABAB.

ב.

חשבו את המרחק BCBCBC בין תום לעמוד.

ג.

במשולש ABCABCABC, חשבו את הזווית ACBACBACB.

ד.

נועה ותום יצאו באותו רגע לכיוון העמוד, לאורך הקו הישר DBDBDB. נועה הולכת במהירות קבועה של 1.25 מטר לשנייה, ותום הולך במהירות קבועה של 0.8 מטר לשנייה.

חשבו כמה שניות הלך כל אחד מהם עד העמוד. מי הגיע לעמוד ראשון?

שאלה 2 · טריגונומטריה: מגדל תצפית, רוכב אופניים וקורקינטשאלה מלאה · בינונית

מגדל תצפית עומד בפארק בנקודה BBB.
רוכב אופניים נמצא בנקודה DDD, שנמצאת במרחק 120 מטר מן המגדל.
בראש המגדל, בנקודה AAA שנמצאת מעל הנקודה BBB, עומד צופה.
נתון: ∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ∠ABD=90∘, ∠ADB=28∘\angle ADB=28^\circ∠ADB=28∘ (ראו סרטוט).
ABCD

א.

חשבו את גובה הצופה מעל הנקודה BBB (ABABAB).

ב.

ילד עם קורקינט עומד בנקודה CCC, בין רוכב האופניים למגדל, על הקו הישר המחבר ביניהם.
המרחק בין רוכב האופניים לילד הוא 48 מטר (CD=48CD=48CD=48 מטר).

מצאו את הזווית שבה נראה הצופה מן הילד (∠ACB\angle ACB∠ACB).

ג.

רוכב האופניים רכב מנקודה DDD, לאורך קו ישר, עד למגדל (נקודה BBB), במהירות קבועה של 8 מטר לשנייה.

כמה שניות רכב רוכב האופניים עד שהגיע למגדל?

ד.

הילד נסע על הקורקינט מנקודה CCC, לאורך קו ישר, עד למגדל, במהירות קבועה של 6 מטר לשנייה.
הילד יצא לדרכו באותו הזמן שבו יצא רוכב האופניים.

מי הגיע קודם למגדל, הילד או רוכב האופניים? נמקו את תשובתכם.

שאלה 3 · טריגונומטריה: גובה בניין משתי זוויות גובהשאלה מלאה · קשה

ABABAB הוא בניין הניצב לקרקע (∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ∠ABD=90∘).
נוי עומדת בנקודה DDD ורואה את ראש הבניין AAA בזווית גובה של 30∘30^\circ30∘ (∠ADB=30∘\angle ADB=30^\circ∠ADB=30∘).
נוי הולכת 40 מטר ישר לכיוון הבניין, לנקודה CCC שעל הקטע DBDBDB (CD=40CD=40CD=40 מטר). מהנקודה CCC היא רואה את AAA בזווית גובה של 48∘48^\circ48∘ (∠ACB=48∘\angle ACB=48^\circ∠ACB=48∘).
ABCD

א.

חשבו את גובה הבניין ABABAB.

ב.

חשבו את המרחק BDBDBD בין הנקודה DDD לבניין.

ג.

נוי ממשיכה ללכת מ-CCC לכיוון הבניין. כמה מטרים עליה ללכת מ-CCC עד שתראה את AAA בזווית גובה של 60∘60^\circ60∘?

ד.

נוי ממשיכה מ-CCC לבניין במהירות קבועה של 1.2 מטר לשנייה. באותו רגע יוצא חבר שלה מ-DDD ורץ לבניין לאורך הקו DBDBDB במהירות קבועה. מהי המהירות המזערית שבה עליו לרוץ כדי להגיע לבניין לפני נוי?

שאלה 4 · סיבובים סביב פארק: מרחק וזמןשאלה קצרה · קלה

יעל רצה סביב פארק שצורתו מלבן, צמוד לשפת הפארק. אורך הפארק 400 מטר ורוחבו 250 מטר.

א.

יעל רוצה לרוץ 6.5 ק"מ. כמה סיבובים שלמים סביב הפארק עליה לרוץ?

ב.

יעל רצה במהירות קבועה של 200 מטר לדקה. כמה זמן יימשך כל האימון?

שאלה 5 · התמצאות במישור: משטח החלקה ממלבן ושני חצאי עיגולשאלה מלאה · בינונית

מאיה מתאמנת בהחלקה על הקרח.
משטח ההחלקה מורכב משלושה חלקים צמודים: מלבן ABCDABCDABCD ושני חצאי עיגול.
אורכי צלעות המלבן הם 60 מטר ו-30 מטר (AB=60AB=60AB=60, AD=30AD=30AD=30).
ADADAD הוא קוטר של חצי העיגול השמאלי ו-KKK הוא מרכזו; BCBCBC הוא קוטר של חצי העיגול הימני ו-OOO הוא מרכזו, כמתואר בסרטוט שלפניכם.
ABCDKOPQ

א.

מצאו את הרדיוס של כל אחד מחצאי העיגול.

ב.

מאיה מחליקה במסלול האמצעי (PQPQPQ) בקו ישר. המסלול האמצעי מתחיל בנקודה PPP (אמצע הקשת ADADAD), עובר דרך הנקודות KKK ו-OOO ומסתיים בנקודה QQQ (אמצע הקשת BCBCBC).

מצאו את אורך המסלול האמצעי.

ג.

מאיה רוצה להחליק 3,600 מטר סך הכול.

כמה פעמים היא תצטרך להחליק לכל אורך המסלול האמצעי?

ד.

ביום מסוים החליטה מאיה לשנות את מסלול ההחלקה. היא יצאה מן הנקודה AAA והחליקה צמוד לשפת המשטח במסלול המקיף פעם אחת את כל המשטח, וחזרה לאותה הנקודה, AAA.

מהו אורך המסלול החדש של מאיה?

שאלה 6 · טריגונומטריה: צוק, סירה ומצנח רחיפה - שלב אחר שלבשאלה מלאה · קלה

גלעד עומד על שפת צוק בנקודה B.
בנקודה C, בים שלמרגלות הצוק, נמצאת סירת דייגים.
בנקודה A, שגובהה שווה לגובה הצוק, נמצא רוחף במצנח רחיפה (ראו ציור). הנקודה D נמצאת על הקטע AB, ו-CD מאונך ל-AB.
זווית העומק שבה הרוחף רואה את הסירה היא ∢BAC=50∘\sphericalangle BAC=50^\circ∢BAC=50∘, והמרחק בין הרוחף לסירה (AC) הוא 800 מטרים.
זווית העומק שבה גלעד רואה את הסירה היא ∢ABC=35∘\sphericalangle ABC=35^\circ∢ABC=35∘.
35°50°800BDAC

א.

חשבו את המרחק AD.

ב.

חשבו את הגובה של הרוחף מעל פני הים (CD).

ג.

חשבו את המרחק BD.

ד.

מהירות הרחיפה היא 12 מטרים לשנייה. האם יוכל הרוחף להגיע אל גלעד (נקודה B) בפחות מדקה וחצי? פרטו את חישוביכם.

שאלה 7 · טריגונומטריה: פסגת הר, רכב בעמק ורחפן - זוויות עומקשאלה מלאה · בינונית

תצפיתנית עומדת על פסגת הר בנקודה B.
בנקודה C, שנמצאת בעמק שלמרגלות ההר, עומד רכב שטח.
בנקודה A, שגובהה שווה לגובה הפסגה, מרחף רחפן (ראו ציור). הנקודה D נמצאת על הקטע AB, ו-CD מאונך ל-AB.
זווית העומק שבה התצפיתנית רואה את הרכב היא ∢ABC=33∘\sphericalangle ABC=33^\circ∢ABC=33∘.
המרחק של התצפיתנית מן הרכב בקו ישר (BC) הוא 1,450 מטרים.
זווית העומק שבה רואים את הרכב מן הרחפן היא ∢BAC=52∘\sphericalangle BAC=52^\circ∢BAC=52∘.
33°52°1,450BDAC

א.

חשבו את הגובה של הרחפן מעל העמק (CD).

ב.

באיזה מרחק נמצא הרחפן מן התצפיתנית (AB)?

ג.

אם מהירות הטיסה של הרחפן היא 25 מטרים לשנייה, האם יוכל הרחפן להגיע אל התצפיתנית (נקודה B) בפחות מדקה אחת? פרטו את חישוביכם.

שאלה 8 · טריגונומטריה: פירוק משולש בגובהשאלה מלאה · קלה

גל ודנה שחו אל רפסודה בים. גל יצא מנקודה AAA ודנה יצאה מנקודה BBB, ושניהם שחו בקו ישר אל הרפסודה שבנקודה CCC.
הנקודה DDD נמצאת על הקטע ABABAB כך ש-CD⊥ABCD\perp ABCD⊥AB (ראו סרטוט).
נתון: AC=150AC=150AC=150 מטרים, ∠CAB=40∘\angle CAB=40^\circ∠CAB=40∘, BD=60BD=60BD=60 מטרים.
ABCD

א.

במשולש ישר הזווית ADCADCADC, מצאו את אורך הניצב CDCDCD.

ב.

מצאו את אורך הניצב ADADAD.

ג.

מצאו את המרחק ABABAB בין נקודות היציאה.

ד.

דנה שחתה אל הרפסודה וחזרה לנקודה BBB באותו המסלול. כמה מטרים שחתה דנה סך הכול?

שאלה 9 · מדידת גובה מגדל מים במראה: משולשים דומיםשאלה מלאה · בינונית

יואב מדד את הגובה של מגדל מים. הנקודה CCC נמצאת בתחתית המגדל. יואב הניח מראה על הקרקע בנקודה BBB, המרוחקת 96 מטרים מן הנקודה CCC. יואב נעמד בנקודה AAA, הנמצאת על המשך הקטע CBCBCB, במרחק של 1.5 מטרים מן המראה. יואב כיוון קרן לייזר מנקודה DDD אל המראה. הקרן פגעה במראה, ולאחר מכן פגעה בנורה שבראש המגדל, בנקודה EEE (ראו סרטוט).
נתון: EC⊥BCEC\perp BCEC⊥BC, AD⊥ABAD\perp ABAD⊥AB, ∠ABD=∠CBE\angle ABD=\angle CBE∠ABD=∠CBE.
CBADE

א.

(1)

הוכיחו: המשולש CBECBECBE דומה למשולש ABDABDABD.

(2)

חשבו את יחס הדמיון בין המשולש CBECBECBE ובין המשולש ABDABDABD.

ב.

יואב כיוון את הקרן מגובה של 1.25 מטרים מן הקרקע (ADADAD).

מצאו את הגובה של מגדל המים (CECECE).

ג.

בתוך המגדל פועלת מעלית שירות שעולה ללא עצירה מתחתית המגדל לראשו, במהירות של 2.5 מטרים לשנייה.

בכמה זמן המעלית עולה מתחתית המגדל לראשו?

שאלה 10 · דרך, מהירות וזמן: שביל אופנייםשאלה קצרה · קלה

שביל אופניים מעגלי בפארק הוא באורך 3.23.23.2 ק"מ. רוכב אופניים רוכב לאורך השביל במהירות קבועה של 555 מטר לשנייה.

א.

כמה דקות יימשכו שני סיבובים שלמים?

ב.

כמה סיבובים שלמים יספיק הרוכב לסיים בשעה אחת?

עוד 11 שאלות על מסלולים: אורך מסלול, דרך, מהירות וזמן

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טריגונומטריה: קיאקים אל רפסודה (שאלה מלאה · בינונית)
יואב ונועה יצאו לשוט בקיאקים. יואב יצא מנקודה $A$ ונועה יצאה מנקודה $B$ . שניהם שטו בקו ישר אל רפסודה הנמצאת בנקודה $C$ . הנקודה $D$ נמצאת על…
מתקן שעשועים: סולם ומגלשה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניך מתואר מתקן שעשועים. המתקן כולל שני חלקים: סולם לעלייה $AD$ ומגלשה $AC$ . אורך הסולם $AD$ הוא 8 מטרים. אורך המגלשה $AC$ הוא 10…
אומגה: סולם וכבל גלישה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מתואר מתקן אומגה. המתקן כולל סולם לעלייה $AD$ וכבל גלישה ישר $AC$ . אורך הסולם $AD$ הוא 18 מטרים. אורך כבל הגלישה $AC$ הוא 40 מטרים.…
יחס ומסלולים: טריאתלון - חלוקה ביחס וזמני מקצים (שאלה מלאה · בינונית)
טריאתלון הוא ענף ספורט אולימפי המשלב שלושה סוגי ספורט: שחייה, רכיבה על אופניים, ריצה. אורך המסלול הכולל הוא $51.5$ ק"מ והוא מורכב ממקצה…
יחס ומסלולים: מסלול טיול אתגרי - חלוקה ביחס וזמני מקטעים (שאלה מלאה · בינונית)
מסלול טיול אתגרי משלב שלושה מקטעים: הליכה, שיט בקיאקים ורכיבה על אופניים. אורך המסלול הכולל הוא $33$ ק"מ, והוא מורכב ממקטע הליכה $PQ$ , מקטע…
מסלול בשלושה מקטעים: מהירות במקטע האחרון ומהירות ממוצעת (שאלה קצרה · בינונית)
רוכבת אופניים עברה מסלול באורך $60$ ק"מ בשלושה מקטעים: מקטע ישר באורך $12$ ק"מ, שבו רכבה במהירות $24$ קמ"ש; עלייה באורך $30$ ק"מ, שבה רכבה…
מסלולים: מסלול בשלושה מקטעים, מהירות במקטע האחרון ומסלול חלופי (שאלה מלאה · בינונית)
אורך מסלול הנסיעה מעיר א לעיר ב הוא $82$ ק״מ. המסלול מורכב משלושה מקטעים: מקטע ראשון: דרך סלולה ללא עליות וירידות שאורכה $49$ ק״מ מקטע שני:…
מסלולים: מסלול בשלושה מקטעים, מהירות בדרך העפר ומסלול חלופי (שאלה מלאה · בינונית)
אורך מסלול הנסיעה מכפר ההרים לעיר החוף הוא $110$ ק״מ. המסלול מורכב משלושה מקטעים: מקטע ראשון: כביש מהיר שאורכו $72$ ק״מ מקטע שני: כביש הררי…
מהירות בחלק האחרון של מסלול רכיבה (שאלה קצרה · בינונית)
דני רכב על אופניים במסלול שאורכו $42$ ק״מ. את $24$ הק״מ הראשונים רכב במהירות של $16$ קמ״ש. הרכיבה כולה נמשכה שעתיים ורבע.
היקף מעגל ומסלולים: מסלול הליכה (שאלה מלאה · בינונית)
מסלול הליכה מורכב משלוש צלעות של מלבן $ABCD$ וחצי מעגל. אורכי צלעות המלבן הם $200$ מטר ו- $250$ מטר ( $AD=200$ מטר, $DC=250$ מטר), כמתואר…
היקף מעגל ומסלולים: מסלול ריצה בפארק (שאלה מלאה · בינונית)
מסלול ריצה בפארק מורכב משלוש צלעות של מלבן $ABCD$ ומחצי מעגל. אורכי צלעות המלבן הם $70$ מטר ו- $160$ מטר ( $AD=70$ מטר, $DC=160$ מטר). חצי…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

טריגונומטריה: מגדלור, ספינה וסירה · בגרות 371 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
מגדלור עומד על החוף בנקודה $B$ . ספינה עוגנת בים בנקודה $D$ , שנמצאת במרחק 100 מטר מן המגדלור. הפנס של המגדלור נמצא בנקודה $A$ , שנמצאת מעל הנקודה $B$ . נתון:…
התמצאות במישור: בריכה ממלבן וחצי עיגול · בגרות 371 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
נדב מתאמן לקראת תחרות שחייה לבני נוער. בריכת השחייה מורכבת משני חלקים צמודים: מלבן $ABCD$ וחצי עיגול. אורכי צלעות המלבן הם 40 מטר ו-20 מטר ( $AB=40$ , $AD=20$ ).…
טריגונומטריה: צוק, ספינה ומסוק - זוויות עומק · בגרות 371 חורף 2022, שאלה 3
נדב עומד על שפת צוק בנקודה B. בנקודה C, שנמצאת בים למרגלות הצוק, שטה ספינה. בנקודה A, שגובהה שווה לגובה הצוק, מרחף מסוק (ראה ציור). זווית העומק שבה נדב רואה את…
מדידת גובה בניין במראה: משולשים דומים · בגרות 371 חורף 2023, שאלה 3
רוני מדדה את הגובה של בניין מסוים. הנקודה $C$ נמצאת בתחתית הבניין. רוני הניחה מראה על הקרקע בנקודה $B$ , המרוחקת 280 מטרים מן הנקודה $C$ . רוני נעמדה בנקודה $A$ ,…
טריגונומטריה: שחייה אל מצוף · בגרות 371 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
רוני ומיכל יצאו לשחייה בים. רוני יצאה מנקודה $A$ ומיכל יצאה מנקודה $B$ . שתיהן שחו בקו ישר, אל מצוף בים הנמצא בנקודה $C$ . הנקודה $D$ נמצאת על הקטע $AB$ כך ש- $CD$ …