שאלות פתוחות: תכונות של משולשים ומרובעים - כיתה י"א 3 יח"ל

תכונות של משולשים ומרובעים בחזרה על חומר קודם, לכיתה י"א 3 יחידות. התלמידים משתמשים בתכונות של משולש שווה שוקיים, מעוין וטרפז ישר זווית כדי לחשב אורכים וזוויות: מעמד עם קורה אנכית, גג מחסן, מעוין עם זווית של 70°, דגלונים וקישוט לחלון. יש גם משטח החלקה על הקרח שמורכב ממלבן ושני חצאי עיגול, ועפיפון שנמצא מעל נקודה על הקרקע. השאלות ברמה קלה ובינונית. אפשר לבנות מהן בוחן או דף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא.

28 שאלותקלה: 3בינונית: 25

שאלה 1 · דמיון משולשים: מעמד עם מדף בגובה נתוןשאלה מלאה · קלה

רועי בונה מעמד בצורת משולש שווה שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC), ובו קורה אנכית AGAGAG שאורכה 36 ס"מ, המאונכת למדף התחתון BCBCBC. אורך המדף התחתון BCBCBC הוא 54 ס"מ.
המדף הפנימי DEDEDE מקביל ל-BCBCBC וחותך את AGAGAG בנקודה FFF, כך ש-AF=24AF=24AF=24 ס"מ (ראו סרטוט). המשולש ADEADEADE גם הוא שווה שוקיים (AD=AEAD=AEAD=AE).
ABCGFDE

א.

הסבירו מדוע BG=27BG=27BG=27 ס"מ, וחשבו את אורך הקורה ABABAB.

ב.

הסבירו מדוע ∠AFD=∠AGB\angle AFD=\angle AGB∠AFD=∠AGB, והוכיחו כי המשולשים ADFADFADF ו-ABGABGABG דומים.

ג.

הראו כי יחס הדמיון בין המשולש ADFADFADF ובין המשולש ABGABGABG הוא 23\frac2332​.

ד.

חשבו את אורך המדף DEDEDE.

ה.

רועי רוצה להעמיד במרכז המדף התחתון אגרטל שגובהו 13 ס"מ.

האם האגרטל ייכנס בין המדפים? נמקו.

שאלה 2 · התמצאות במישור: משטח החלקה ממלבן ושני חצאי עיגולשאלה מלאה · בינונית

מאיה מתאמנת בהחלקה על הקרח.
משטח ההחלקה מורכב משלושה חלקים צמודים: מלבן ABCDABCDABCD ושני חצאי עיגול.
אורכי צלעות המלבן הם 60 מטר ו-30 מטר (AB=60AB=60AB=60, AD=30AD=30AD=30).
ADADAD הוא קוטר של חצי העיגול השמאלי ו-KKK הוא מרכזו; BCBCBC הוא קוטר של חצי העיגול הימני ו-OOO הוא מרכזו, כמתואר בסרטוט שלפניכם.
ABCDKOPQ

א.

מצאו את הרדיוס של כל אחד מחצאי העיגול.

ב.

מאיה מחליקה במסלול האמצעי (PQPQPQ) בקו ישר. המסלול האמצעי מתחיל בנקודה PPP (אמצע הקשת ADADAD), עובר דרך הנקודות KKK ו-OOO ומסתיים בנקודה QQQ (אמצע הקשת BCBCBC).

מצאו את אורך המסלול האמצעי.

ג.

מאיה רוצה להחליק 3,600 מטר סך הכול.

כמה פעמים היא תצטרך להחליק לכל אורך המסלול האמצעי?

ד.

ביום מסוים החליטה מאיה לשנות את מסלול ההחלקה. היא יצאה מן הנקודה AAA והחליקה צמוד לשפת המשטח במסלול המקיף פעם אחת את כל המשטח, וחזרה לאותה הנקודה, AAA.

מהו אורך המסלול החדש של מאיה?

שאלה 3 · טריגונומטריה: עפיפוןשאלה מלאה · קלה

ילד עומד בנקודה AAA על קרקע מישורית ומעיף עפיפון. העפיפון נמצא בנקודה CCC, בדיוק מעל הנקודה BBB שעל הקרקע (BC⊥ABBC\perp ABBC⊥AB), כמתואר בסרטוט. (מזניחים את הגובה של יד הילד.)
אורך החוט (ACACAC) הוא 20 מטרים, וגודל הזווית CABCABCAB הוא 40∘40^\circ40∘.
40°ABCD

א.

מצאו את הגובה של העפיפון מעל הקרקע (BCBCBC).

ב.

מצאו את אורך הקטע ABABAB.

ג.

חבר של הילד עומד בנקודה DDD, הנמצאת על המשך הקטע ABABAB, כמתואר בסרטוט. נתון כי AD=30AD=30AD=30 מטרים.

מצאו את אורך הקטע BDBDBD.

ד.

מצאו את גודל הזווית CDBCDBCDB.

שאלה 4 · דמיון משולשים: קורה בגג מחסןשאלה מלאה · בינונית

החתך של גג מחסן הוא משולש שווה שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC).
רצפת עליית הגג היא BCBCBC, ואורכה 6.4 מטר. עמוד אנכי AGAGAG, שאורכו 2.4 מטר, תומך בקודקוד הגג.
קורה אופקית DEDEDE מחברת בין שני צדי הגג ומקבילה לרצפה (DE∥BCDE\parallel BCDE∥BC), ואורכה 4 מטר. הקורה חותכת את העמוד בנקודה FFF (ראו סרטוט).
המשולש ADEADEADE גם הוא שווה שוקיים (AD=AEAD=AEAD=AE).
ABCGFDE

א.

מהו האורך של צד הגג ABABAB?

ב.

הוכיחו כי המשולשים ADFADFADF ו-ABGABGABG דומים.

ג.

חשבו את יחס הדמיון בין המשולש ADFADFADF ובין המשולש ABGABGABG.

ד.

חשבו את האורך של AFAFAF.

ה.

בעל המחסן רוצה להכניס לעליית הגג ארון צר שגובהו 1 מטר, ולהעמיד אותו על הרצפה באמצע, מתחת לקורה DEDEDE.

האם הארון ייכנס מתחת לקורה? נמקו.

שאלה 5 · מעוין: מהמשולש AOB לאלכסונים ולשטחשאלה מלאה · קלה

ABCDABCDABCD הוא מעוין שאורך צלעו 202020 ס"מ, והזווית BADBADBAD בת 70∘70^\circ70∘. אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה OOO, כמתואר בסרטוט.
20 ס"מABCDO

א.

הסבירו מדוע המשולש AOBAOBAOB ישר זווית, ומצאו את גודל הזווית BAOBAOBAO.

ב.

חשבו את אורכי הקטעים AOAOAO ו-BOBOBO.

ג.

חשבו את אורכי האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD.

ד.

חשבו את שטח המעוין.

שאלה 6 · משולשים דומים: דגלונים שווי שוקיים מבדשאלה מלאה · בינונית

תופרת גוזרת מבד דגלונים לקישוט.
היא משתמשת בשתי תבניות בצורת משולשים שווי שוקיים הדומים זה לזה (ראו סרטוט).
התבנית הקטנה היא בצורת המשולש ABCABCABC. נתון: אורך הבסיס של התבנית הקטנה הוא AC=10AC=10AC=10 ס"מ, ואורך השוק שלה הוא AB=13AB=13AB=13 ס"מ.
התבנית הגדולה היא בצורת המשולש DEFDEFDEF. נתון: אורך הבסיס של התבנית הגדולה הוא DF=12DF=12DF=12 ס"מ.
ACBKDFE

א.

מצאו את אורך הגובה לבסיס של התבנית הקטנה (BKBKBK).

ב.

מצאו את השטח של דגלון קטן.

ג.

מהו יחס הדמיון בין התבנית הגדולה לתבנית הקטנה?

ד.

מצאו את השטח של דגלון גדול.

ה.

שטח פיסת הבד שבידי התופרת הוא 1,464 סמ"ר. לגזירת כל הדגלונים היא השתמשה בחצי משטח הבד. היא גזרה מן הבד כמות שווה של דגלונים קטנים וגדולים.

כמה דגלונים גדולים וכמה דגלונים קטנים גזרה התופרת? נמקו.

שאלה 7 · דמיון משולשים: קישוט משני משולשים שווי שוקייםשאלה מלאה · בינונית

מעצב הכין קישוט לחלון.
הקישוט מורכב משני משולשים שווי שוקיים שונים בגודלם (ראו ציור). זווית הראש של המשולש הקטן שווה לזווית הראש של המשולש הגדול.
המשולש הקטן עשוי מזכוכית צבעונית המוקפת בפס נחושת.
המשולש הגדול עשוי מפס נחושת בלבד, כמתואר בציור.
ABCDEF

א.

הסבירו מדוע שני המשולשים שבקישוט הם משולשים דומים.

ב.

נתון: במשולש הגדול אורך כל אחת מהשוקיים הוא 10 ס"מ, ואורך הבסיס הוא 12 ס"מ.

מצאו את האורך של פס הנחושת הדרוש להכנת המשולש הגדול.

ג.

יחס הדמיון בין המשולש הגדול למשולש הקטן הוא 5:35:35:3.

(1)

מצאו את אורך השוק ואת אורך הבסיס של המשולש הקטן.

(2)

מצאו את האורך של פס הנחושת הדרוש להכנת קישוט אחד.

ד.

(1)

מצאו את אורך הגובה לבסיס במשולש הקטן.

(2)

מצאו את השטח של המשולש הקטן.

שאלה 8 · טריגונומטריה בטרפז ישר זווית: גינה קהילתיתשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתוארת גינה קהילתית.
הגינה היא בצורת טרפז ישר זווית ABCDABCDABCD (CD∥BACD\parallel BACD∥BA), ADADAD מאונך לצלע ABABAB.
הנקודה EEE נמצאת על הצלע ABABAB, כך שהקטע CECECE מאונך לצלע ABABAB (ראו סרטוט).
נתון: אורך הקטע BEBEBE הוא 15 מטרים. ∠CBE=58∘\angle CBE=58^\circ∠CBE=58∘.
BEACDM

א.

מצאו את אורך הקטע CECECE.

ב.

הנקודה MMM היא אמצע הקטע CECECE.
נתון: אורך הקטע AEAEAE הוא 36 מטרים.
בנקודה MMM יש ברז מים. מהנקודה AAA מותחים צינור השקיה בקו ישר עד הברז.

(1)

מצאו את אורך הצינור (AMAMAM).

(2)

מצאו את הזווית שבין הצינור AMAMAM ובין הקטע AEAEAE (∠MAE\angle MAE∠MAE).

ג.

מקיפים את הגינה בגדר (היקף ABCDABCDABCD).

מצאו את אורך הגדר.

שאלה 9 · בניין ותורן: צלעות וזווית במשולש ישר זווית, ופיתגורסשאלה מלאה · בינונית

מירב עומדת בנקודה A. בנקודה B יש בניין שגובהו מגיע לנקודה C.
על גג הבניין הציבו תורן שמגיע עד לנקודה D. DB מאונך ל-AB (ראו סרטוט).
נתון: ∠CAB=28∘\angle CAB=28^\circ∠CAB=28∘, האורך של AC הוא 40 מטרים.
28°ABCD

א.

מצאו את גובה הבניין (BC).

ב.

מצאו את המרחק של מירב מן הבניין (AB).

ג.

נתון כי גובה התורן (CD) הוא 12 מטרים.

מצאו את גודל הזווית DAB.

ד.

מירב החלה ללכת מן הנקודה A לכיוון הנקודה B. היא עצרה באמצע הדרך בנקודה G.

מצאו את האורך של GC.

שאלה 10 · טריגונומטריה: כבלי מתיחה של תורןשאלה מלאה · בינונית

תורן דגל ניצב על קרקע מישורית בנקודה BBB. כבל מתוח מראש התורן, בנקודה CCC, אל יתד בקרקע בנקודה AAA, כמתואר בסרטוט.
נתון כי BCBCBC מאונך ל-ABABAB.
אורך הכבל (ACACAC) הוא 8.5 מטרים, וגודל הזווית CABCABCAB הוא 58∘58^\circ58∘.
58°ABCD

א.

מצאו את גובה התורן (BCBCBC).

ב.

מצאו את המרחק בין היתד ובין התורן (ABABAB).

ג.

מראש התורן מתחו כבל נוסף אל יתד בנקודה DDD, הנמצאת על המשך הקטע ABABAB, כמתואר בסרטוט.
נתון כי אורך הקטע ADADAD הוא 15 מטרים.

מצאו את גודל הזווית CDBCDBCDB.

עוד 8 שאלות על תכונות של משולשים ומרובעים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טריגונומטריה: כדור פורח קשור (שאלה מלאה · בינונית)
בפסטיבל הציבו כדור פורח קשור מעל שטח מישורי. הכדור נמצא בנקודה $C$ , בדיוק מעל הנקודה $B$ שעל הקרקע. הכדור קשור בחבל מתוח לעמוד עגינה שבנקודה…
דמיון משולשים: מגלשה בפארק מים (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק מים בנו מגלשה ישרה. המגלשה מתחילה בנקודה $B$ שבראש מגדל ומסתיימת בנקודה $A$ שעל הקרקע. הנקודה $D$ נמצאת על הקטע $AB$ . המגדל $BC$ ועמוד…
דמיון משולשים: מדידת הרוחב של נהר (שאלה מלאה · בינונית)
עומר רוצה למדוד את הרוחב של נהר בלי לחצות אותו. על הגדה הנגדית של הנהר יש עץ בנקודה $A$ . עומר עמד בנקודה $B$ שעל הגדה הקרובה, מול העץ ( $AB$ …
שלט בצורת מעוין: אלכסונים, שטח והיקף (שאלה מלאה · בינונית)
בחוג אומנות מכינים שלטים בצורת מעוין שאורך צלעו $40$ ס"מ. כל משתתף בוחר בעצמו את זוויות המעוין.
אריחים: אורך שביל וריבוע בתוך אריח (שאלה מלאה · בינונית)
נועם קנה אריחי קרמיקה בצבע לבן. כל האריחים זהים והם בצורת ריבוע שאורך צלעו 70 ס״מ. בכניסה לביתו של נועם יש שביל ישר ברוחב של 70 ס״מ. נועם…
אריחים: אורך פס ריצוף וריבוע בתוך אריח (שאלה מלאה · בינונית)
רונית קנתה אריחי גרניט. כל האריחים זהים והם בצורת ריבוע שאורך צלעו 68 ס״מ. לאורך המרפסת של רונית עובר פס ישר ברוחב של 68 ס״מ. רונית הניחה 6…
היקף מעגל ומסלולים: מסלול הליכה (שאלה מלאה · בינונית)
מסלול הליכה מורכב משלוש צלעות של מלבן $ABCD$ וחצי מעגל. אורכי צלעות המלבן הם $200$ מטר ו- $250$ מטר ( $AD=200$ מטר, $DC=250$ מטר), כמתואר…
היקף מעגל ומסלולים: מסלול ריצה בפארק (שאלה מלאה · בינונית)
מסלול ריצה בפארק מורכב משלוש צלעות של מלבן $ABCD$ ומחצי מעגל. אורכי צלעות המלבן הם $70$ מטר ו- $160$ מטר ( $AD=70$ מטר, $DC=160$ מטר). חצי…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

התמצאות במישור: בריכה ממלבן וחצי עיגול · בגרות 371 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
נדב מתאמן לקראת תחרות שחייה לבני נוער. בריכת השחייה מורכבת משני חלקים צמודים: מלבן $ABCD$ וחצי עיגול. אורכי צלעות המלבן הם 40 מטר ו-20 מטר ( $AB=40$ , $AD=20$ ).…
דמיון משולשים: מעמד עץ עם שני מדפים · בגרות 371 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
תלמידי מגמת אומנות בבית ספר מסוים בונים מעמדים מקורות עץ. רועי בונה מעמד בצורת משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) ובו קורה אנכית תומכת ( $AG$ ) שאורכה 46 ס"מ, ושני מדפים…
משולשים דומים: עוגיות משני חותכנים שווי שוקיים · בגרות 371 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
רוני הכינה עוגיות מבצק פריך. היא השתמשה בשני חותכנים של עוגיות בצורת משולשים שווי שוקיים הדומים זה לזה (ראו סרטוט). החותכן הקטן הוא בצורת המשולש $ABC$ . נתון:…
טריגונומטריה במלבן: גינה ושני שבילים · בגרות 371 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מתוארת גינה בצורת מלבן $ABCD$ . הגינה מחולקת למשולשים באמצעות שני שבילים ישרים, $CA$ ו- $CE$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ . נתון:…
דמיון משולשים: תליון משני משולשים שווי צלעות · בגרות 371 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 3
מעצבת תכשיטים הכינה תליון לשרשרת. התליון מורכב משני משולשים שווי צלעות שונים בגודלם (ראו ציור). המשולש הקטן עשוי מאבן שחורה המוקפת בחוט כסף. המשולש הגדול עשוי…
טריגונומטריה בטרפז ישר זווית: חצר בית ספר · בגרות 371 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מתוארת חצר של בית ספר מסוים. החצר היא בצורת טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $CD\parallel BA$ ), $AD$ מאונך לצלע $AB$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , כך…
מגדל ותצפית: צלעות וזווית במשולש ישר זווית, ופיתגורס · בגרות 371 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
חנן נמצא בנקודה A. בנקודה B יש מגדל שגובהו מגיע לנקודה C. על המגדל בנו תצפית שמגיעה עד לנקודה D. DB מאונך ל-AB (ראו סרטוט). נתון: $\angle CAB=35^\circ$ , האורך…
טריגונומטריה: צלמת ציפורים בגינה · בגרות 371 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
בגינה עירונית שהקרקע שלה מישורית ניצב עץ בנקודה $B$ . סמדר היא צלמת ציפורים. היא עומדת בנקודה $A$ ומצלמת ציפור הנמצאת על העץ בנקודה $C$ , כמתואר בסרטוט. נתון כי…
דמיון משולשים: עמודי התמיכה של מדרגות נעות · בגרות 371 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 3
במרכז קניות בן שתי קומות התקינו מדרגות נעות. המדרגות מתחילות בנקודה $A$ שעל הקרקע ומסתיימות בנקודה $B$ . הנקודה $D$ נמצאת על הקטע $AB$ . למדרגות הוסיפו שני עמודי…
עפיפון בצורת מעוין: אלכסונים, שטח והיקף · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 3
תלמידי שכבה י"א השתתפו בתחרות עפיפונים ארצית. כל תלמיד התבקש לבנות עפיפון בצורת מעוין, שצלעו $30$ ס"מ, כאשר בחירת הזוויות הינה חופשית.