שאלות פתוחות: קבלת החלטות בעזרת השוואת הסתברויות - כיתה י"א 3 יח"ל
קבלת החלטות בעזרת השוואת הסתברויות, שאלות פתוחות לכיתה י"א 3 יחידות. התלמידים מחשבים הסתברויות כדי לבחור בין אפשרויות: טניסאית שמחליטה בין משחק של מערכה אחת לבין רצף מערכות, שני דוכנים בקרנבל, משחק יריות לסירוגין שבו הראשון שפוגע מנצח, ושני מסלולי רכיבה עם רמזורים. יש גם טבלת סקר לפי מגדר ותהליך קבלה למשלחת נוער בשני שלבים. רוב השאלות ברמה בינונית וקשה, ויש גם קלה. מורה יכול לשלב אותן במבחן מסכם או בדף עבודה מאתגר, עם פתרונות מלאים.
שאלה 1 · קבלת החלטות בעזרת השוואת הסתברויותשאלה קצרה · קלה
בסקר במקום עבודה השתתפו עובדים. בטבלה מספר המשתתפים בסקר ומספר המשתתפים שמגיעים לעבודה באופניים, לפי מגדר:
ההנהלה רוצה לעודד רכיבה לעבודה.
אצל מי ההסתברות להגיע לעבודה באופניים גדולה יותר: אצל גבר שנבחר באקראי מבין משתתפי הסקר, או אצל אישה שנבחרה באקראי מבין משתתפי הסקר? נמקו בעזרת חישוב.
שאלה 2 · קבלת החלטות בעזרת השוואת הסתברויותשאלה קצרה · בינונית
תהליך הקבלה למשלחת נוער כולל ראיון ומבחן שפה. רק מי שעובר את הראיון ניגש למבחן השפה, ורק מי שעובר את שניהם מתקבל למשלחת. מן המועמדים עוברים את הראיון, ומבין אלה עוברים את מבחן השפה. דנה ויעל ניגשות לתהליך הקבלה, והתוצאות שלהן בלתי תלויות זו בזו.
מה הכי סביר: ששתיהן יתקבלו, שבדיוק אחת מהן תתקבל, או שאף אחת מהן לא תתקבל? נמקו בעזרת חישוב.
שאלה 3 · הסתברות: כדורים בדוכן משחק - שק אחד או שנייםשאלה מלאה · קשה
בדוכן משחק ביריד יש שק ובו 12 כדורים: 2 כדורי זהב, כדורי כסף, ושאר הכדורים לבנים.
משתתף מוציא מהשק כדור אחד באקראי. כדור זהב מזכה בפרס גדול, כדור כסף מזכה בפרס קטן, וכדור לבן אינו מזכה בפרס.
ההסתברות שמשתתף יזכה בפרס כלשהו היא 0.5.
מצאו את .
בדוכן שני שקים, ובכל אחד מהם 12 כדורים בהרכב שתואר. נועם מוציא כדור אחד מהשק הראשון, ויעל מוציאה כדור אחד מהשק השני.
מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם יזכה בפרס הגדול?
מהי ההסתברות ששניהם יזכו בפרס, אבל בפרסים שונים זה מזה?
באיזו דרך גדולה יותר ההסתברות ששני המשתתפים יזכו בפרס (כל אחד בפרס כלשהו): כשכל אחד מוציא כדור משק אחר, או כששניהם מוציאים כדורים מאותו שק בלי החזרה? נמקו בחישוב.
שאלה 4 · קבלת החלטות בעזרת השוואת הסתברויותשאלה קצרה · בינונית
דנה ויוסי יורים למטרה לסירוגין: דנה, אחריה יוסי, ושוב דנה - לכל היותר שלוש יריות. הראשון שפוגע במטרה מנצח, והמשחק נגמר. אם אף אחד מהם לא פגע בשלוש היריות, אין מנצח. דנה פוגעת בכל ירייה בהסתברות , ויוסי בהסתברות , והיריות בלתי תלויות זו בזו. יוסי טוען שהמשחק אינו הוגן כלפיו.
חשבו את ההסתברות שדנה תנצח ואת ההסתברות שיוסי ינצח. האם יוסי צודק? נמקו.
שאלה 5 · הסתברות: רמזור שני לא ידוע ושינוי תזמוןשאלה מלאה · קשה
יעל רוכבת על אופניים לעבודה וחוצה בדרך שני צמתים שבהם יש רמזור. בכל רמזור יש אור ירוק או אור אדום, ויעל עוצרת רק באור אדום.
הרמזורים פועלים באופן בלתי תלוי זה בזה.
ההסתברות שברמזור הראשון יהיה אור ירוק היא 0.35.
ההסתברות שיעל תעצור בשני הרמזורים היא 0.26.
מצאו את ההסתברות שברמזור השני יהיה אור ירוק.
מהי ההסתברות שיעל תעצור ברמזור אחד בדיוק?
יעל רוכבת לעבודה בשני ימים שונים, והרמזורים פועלים בכל יום באופן בלתי תלוי ביום האחר. מהי ההסתברות שרק באחד משני הימים יעל תעצור בשני הרמזורים?
העירייה מתכננת לשנות את התזמון של הרמזור השני בלבד (הרמזור הראשון לא משתנה), כך שההסתברות שיעל תעצור ברמזור אחד לפחות תהיה 0.7. מה צריכה להיות ההסתברות לאור ירוק ברמזור השני?
האם אפשר, בשינוי התזמון של הרמזור השני בלבד, להביא את ההסתברות שיעל תעצור ברמזור אחד לפחות אל מתחת ל-0.6? נמקו.
שאלה 6 · קבלת החלטות בעזרת השוואת הסתברויותשאלה קצרה · בינונית
נועה מנצחת בכל מערכה בטניס בהסתברות , בלי קשר לתוצאות המערכות האחרות. בגמר היא יכולה לבחור באחת משתי אפשרויות:
אפשרות א' - משחקים מערכה אחת, והמנצחת בה זוכה.
אפשרות ב' - "הטוב משלוש": המשחק נגמר כשאחת השחקניות ניצחה בשתי מערכות.
באיזו אפשרות ההסתברות שנועה תזכה גדולה יותר? נמקו בעזרת חישוב.
שאלה 7 · איזה כרטיס כדאי להוציא כדי להגדיל את ההסתברות לסכום 8שאלה מלאה · קשה
בקופסה 6 כרטיסים, ועל כל אחד מהם רשום אחד מן המספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
במשחק מוציאים באקראי כרטיס, רושמים את המספר ומחזירים את הכרטיס, ושוב מוציאים כרטיס באקראי.
מהי ההסתברות שסכום המספרים בשתי ההוצאות הוא 8?
מהי ההסתברות שלפחות באחת משתי ההוצאות יצא הכרטיס 6?
הוציאו מן הקופסה את הכרטיס 2 והניחו אותו בצד. משחקים באותו אופן עם 5 הכרטיסים שנותרו.
האם ההסתברות שסכום המספרים יהיה 8 גדלה או קטנה לעומת סעיף א? נמקו.
מוציאים מן הקופסה המקורית כרטיס אחד ומניחים אותו בצד. מצאו את כל הכרטיסים שהוצאתם מגדילה את ההסתברות שסכום המספרים יהיה 8 (לעומת סעיף א).
שאלה 8 · קבלת החלטות בעזרת השוואת הסתברויותשאלה קצרה · בינונית
בקרנבל יש שני דוכנים. בדוכן א' מסובבים גלגל פעמיים. בכל סיבוב ההסתברות לזכייה זהה, בלי קשר לסיבוב האחר, ומי שזוכה לפחות באחד משני הסיבובים מקבל פרס. בדוכן ב' מטילים קובייה הוגנת אחת, ומקבלים פרס אם מתקבל מספר גדול מ-. המארגנים רוצים שההסתברות לקבל פרס תהיה שווה בשני הדוכנים.
מה צריכה להיות ההסתברות לזכייה בסיבוב אחד של הגלגל? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.)
שאלה 9 · קובייה עם 2 ו-(2-): סכום וסימן המכפלה בשלוש הטלותשאלה מלאה · קשה
לפניכם קובייה מאוזנת שלה 6 פאות. על 4 מן הפאות רשום המספר 2, ועל 2 הפאות האחרות רשום המספר . מטילים את הקובייה שלוש פעמים.
מהי ההסתברות שסכום שלושת המספרים שיתקבלו יהיה 6?
מהי ההסתברות שסכום שלושת המספרים שיתקבלו יהיה 2?
מהי ההסתברות שמכפלת שלושת המספרים שיתקבלו תהיה שלילית?
דן ורון משחקים במשחק: מטילים את הקובייה שלוש פעמים. דן זוכה אם סכום שלושת המספרים חיובי, ורון זוכה אם מכפלת שלושת המספרים חיובית (ייתכן ששניהם יזכו). למי מהם סיכוי גבוה יותר לזכות? נמקו.
שאלה 10 · הסתברות: קלפים אדומים וכחוליםשאלה מלאה · בינונית
בקופסה של משחק קלפים יש שני סוגים של קלפים: 10 קלפים אדומים ו-15 קלפים כחולים.
ביום ראשון נועם הוציא באקראי קלף אחד מן הקופסה, החזיר אותו לקופסה ושוב הוציא באקראי קלף (הוצאה עם החזרה).
מהי ההסתברות שנועם הוציא שני קלפים אדומים?
מהי ההסתברות שבדיוק אחד מן הקלפים שהוציא נועם הוא כחול?
מהי ההסתברות שלפחות אחד מן הקלפים שהוציא נועם הוא כחול?
ביום שני נתן נועם לאחיו 2 קלפים אדומים וקלף כחול אחד מן הקופסה.
לאחר מכן הוציא נועם באקראי קלף אחד מן הקופסה, החזיר אותו לקופסה ושוב הוציא באקראי קלף (הוצאה עם החזרה).
האם ההסתברות שביום שני הוציא נועם שני קלפים אדומים, גדולה מן ההסתברות שמצאתם בסעיף א, קטנה ממנה או שווה לה? נמקו את תשובתכם.
עוד 12 שאלות על קבלת החלטות בעזרת השוואת הסתברויות
השאלות המלאות במחולל המבחנים.
- הסתברות: כמה כדורים זוכים יש בקופסה? (שאלה מלאה · קשה)
בדוכן בפארק שעשועים יש קופסה ובה 12 כדורים זהים בגודלם. על חלק מהכדורים כתוב "פרס", ועל השאר לא כתוב דבר. כל משתתף מוציא מהקופסה כדור אחד…
- קבלת החלטות בעזרת השוואת הסתברויות (שאלה קצרה · בינונית)
בקופסה א יש 4 כדורים אדומים ו-6 כדורים לבנים. בקופסה ב יש 6 כדורים אדומים ו-12 כדורים לבנים. אורי בוחר קופסה, מוציא ממנה באקראי כדור, מחזיר…
- קליעה למטרה: הסתברות פגיעה לא ידועה ושתי יריות (שאלה מלאה · קשה)
לוח מטרה מורכב מעיגול פנימי שפגיעה בו מזכה ב-100 נקודות, ומטבעת סביבו שמחולקת לשלושה אזורים: 25, 50 ו-75 נקודות. רון יורה חץ אל הלוח.…
- הסתברות: שירים בעברית ובאנגלית ברשימת השמעה (שאלה מלאה · בינונית)
ברשימת השמעה של עומר יש שני סוגים של שירים: 9 שירים בעברית ו-18 שירים באנגלית. ביום ראשון האפליקציה בחרה באקראי שיר אחד מן הרשימה והשמיעה…
- הסתברות: מספר פתקים לא ידוע בהוצאה עם החזרה חלקית (שאלה מלאה · קשה)
בקופסה יש 4 פתקים ירוקים ו- פתקים אדומים. מוציאים באקראי פתק אחד. אם הוא ירוק משאירים אותו בחוץ, ואם הוא אדום מחזירים אותו לקופסה. לאחר…
- מה סביר יותר: סכום 150 לפחות או בדיוק 100 בשתי יריות (שאלה קצרה · בינונית)
לוח מטרה מורכב מעיגול פנימי שפגיעה בו מזכה ב-100 נקודות, ומטבעת סביבו שמחולקת לשלושה אזורים: 25, 50 ו-75 נקודות. רון יורה שתי יריות אל הלוח,…
- הסתברות: גרב מכל אחת משתי מגירות, מספר לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
במגירה הראשונה יש 9 גרביים: 4 גרביים שחורים ו-5 גרביים לבנים. במגירה השנייה יש 2 גרביים שחורים, ושאר הגרביים בה אפורים. עידו שולף באקראי גרב…
- בחירת נציגים לכנס: השוואה בין שתי שיטות הגרלה (שאלת ביניים · בינונית)
במחלקת המכירות של חברה יש גברים ו- נשים. במחלקת השיווק של החברה יש עובדים. בוחרים בהגרלה אקראית עובד אחד ממחלקת המכירות ועובד…
- הסתברות: מספר חסר מתוך הסתברות נתונה, והשוואה בין שתי שיטות הגרלה (שאלה מלאה · קשה)
במחלקת המכירות של חברה יש גברים ו- נשים. במחלקת השיווק של החברה יש עובדים. בוחרים בהגרלה אקראית עובד אחד ממחלקת המכירות ועובד…
- הסתברות עם פרמטר: מספר הגולות הירוקות (שאלה מלאה · קשה)
בקופסה יש גולות ירוקות, גולות אדומות וגולה אחת צהובה. רון מוציא באקראי גולה אחת מהקופסה, משאיר אותה בחוץ, ולאחר מכן מוציא באקראי…
- סכום חיובי או מכפלה חיובית בשלוש הטלות: למי סיכוי גבוה יותר (שאלה קצרה · קשה)
לפניכם קובייה מאוזנת שלה 6 פאות. על 4 מן הפאות רשום המספר 2, ועל 2 הפאות האחרות רשום המספר . מטילים את הקובייה שלוש פעמים.
- שתי גולות באותו צבע: עם החזרה לעומת בלי החזרה (שאלת ביניים · קשה)
בקופסה יש גולות זהות בגודלן בשלושה צבעים: אדום, ירוק וכחול. מן הגולות אדומות. מוציאים באקראי גולה אחת, מחזירים אותה לקופסה, ושוב…
שאלות מבחינות הבגרות על השיעור
השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.
בקלמר של סיגל יש שני סוגים של כלי כתיבה: 6 עפרונות ו-18 עטים. ביום ראשון סיגל הוציאה באקראי כלי כתיבה אחד מן הקלמר, החזירה אותו לקלמר ושוב הוציאה באקראי כלי…