שאלות פתוחות: מיתרים וקטרים במעגל במערכת צירים - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על מיתרים וקטרים במעגל במערכת צירים, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מוצאים את קצות המיתר שמונח על ישר נתון, את אמצע המיתר ואת אורכו, או את משוואת המיתר כשאמצעו ידוע. יש שאלות על מיתרים שעוברים דרך נקודה בתוך המעגל, על מיתר שקצהו האחד על ציר, ועל משולש שקדקודיו על המעגל ושתי צלעותיו שוות. הרמות: קלה, בינונית וקשה, ואפשר לבחור מהן לדף עבודה או למבחן, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

37 שאלותקלה: 8בינונית: 19קשה: 10

שאלה 1 · מיתרים וקטרים במעגל במערכת ציריםשאלה קצרה · קלה

במערכת צירים נתון המעגל (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2+(y-1)^2=25(x−2)2+(y−1)2=25. המיתר ABABAB של המעגל מונח על הישר y=−2x+15y=-2x+15y=−2x+15.

מצאו את שיעורי הנקודה MMM, אמצע המיתר ABABAB, ואת אורך המיתר ABABAB.

שאלה 2 · מיתרים וקטרים במעגל במערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

במערכת צירים נתון המעגל x2+y2=50x^2+y^2=50x2+y2=50. המיתר ABABAB של המעגל מונח על הישר y=3x+by=3x+by=3x+b, ושיעור ה-xxx של אמצע המיתר הוא 333.

א.

מצאו את bbb.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

שאלה 3 · מיתרים וקטרים במעגל במערכת ציריםשאלה קצרה · קשה

נתון המעגל x2+y2−6x+4y−12=0x^2+y^2-6x+4y-12=0x2+y2−6x+4y−12=0. הנקודה P(1,0)P(1,0)P(1,0) נמצאת בתוך המעגל. מעבירים דרך PPP מיתרים של המעגל.

א.

מצאו את אורך המיתר הקצר ביותר מבין המיתרים העוברים דרך PPP. נמקו.

ב.

מצאו את משוואת המיתר הקצר ביותר העובר דרך PPP.

שאלה 4 · מיתרים וקטרים במעגל במערכת ציריםשאלה קצרה · קלה

נתון המעגל x2+y2−8x+2y−152=0x^2+y^2-8x+2y-152=0x2+y2−8x+2y−152=0. הישר x=−1x=-1x=−1 חותך את המעגל בנקודות AAA ו-BBB.

א.

מצאו את מרכז המעגל ואת רדיוסו.

ב.

מצאו את אורך המיתר ABABAB ואת שיעורי אמצעו.

שאלה 5 · מיתרים וקטרים במעגל במערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

נתונים המעגל (x−2)2+(y+1)2=25(x-2)^2+(y+1)^2=25(x−2)2+(y+1)2=25 והישרים מהצורה 3x+4y+c=03x+4y+c=03x+4y+c=0, כאשר ccc פרמטר.

מצאו את כל ערכי ccc שעבורם הישר 3x+4y+c=03x+4y+c=03x+4y+c=0 חותך מן המעגל מיתר שאורכו 888.

שאלה 6 · מיתרים שווים במעגל: מיחס השטחים לזווית ולמיתרשאלה מלאה · קשה

הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל (x−1)2+(y−6)2=20(x-1)^2+(y-6)^2=20(x−1)2+(y−6)2=20 שמרכזו MMM, כך ש-AB=BCAB=BCAB=BC. המיתר BCBCBC מקביל לציר ה-xxx ונמצא מתחת ל-MMM (BBB משמאל ל-CCC). נתון: שטח המשולש AMCAMCAMC גדול פי 1.5 משטח המשולש ABCABCABC.
MABCxy

א.

הוכיחו: MB⊥ACMB\perp ACMB⊥AC.

ב.

מצאו את גודל הזווית BACBACBAC.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB ו-CCC.

ד.

מצאו את כל הערכים של הזווית BACBACBAC שעבורם שטח המשולש AMCAMCAMC גדול משטח המשולש ABCABCABC (כש-AB=BCAB=BCAB=BC ו-MMM ו-BBB משני צדי ACACAC).

שאלה 7 · מיתרים שווים במעגל: זווית היקפית ויחס שטחים בהדרכהשאלה מלאה · קלה

הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל (x+1)2+(y−2)2=25(x+1)^2+(y-2)^2=25(x+1)2+(y−2)2=25 שמרכזו MMM, כך ש-AB=BCAB=BCAB=BC. הנקודות BBB ו-CCC נמצאות על הישר y=−2y=-2y=−2 (BBB משמאל ל-CCC).
MABCxy

א.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB ו-CCC, ואת אורך המיתר BCBCBC.

ב.

הוכיחו: MBMBMB חוצה זווית AMCAMCAMC.

ג.

הראו כי cos⁡∠MBC=0.6\cos\angle MBC=0.6cos∠MBC=0.6, וחשבו את הזוויות BMCBMCBMC ו-BACBACBAC.

ד.

NNN היא נקודת המפגש של MBMBMB ו-ACACAC. הסבירו מדוע MB⊥ACMB\perp ACMB⊥AC, וחשבו את BNBNBN ואת MNMNMN.

ה.

חשבו את היחס בין שטח המשולש AMCAMCAMC לשטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 8 · מיתרים וקטרים במעגל במערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

הנקודה N(3,3)N(3,3)N(3,3) היא אמצע המיתר ABABAB במעגל (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2+(y-2)^2=25(x−1)2+(y−2)2=25. שיעור ה-xxx של הנקודה AAA קטן משיעור ה-xxx של הנקודה BBB.

א.

מצאו את משוואת הישר ABABAB.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

שאלה 9 · מעגל המשיק לציר ה-y עם פרמטרשאלה מלאה · קשה

ציר ה-yyy משיק בנקודה A(0,−k)A(0,-k)A(0,−k) למעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 6, כאשר 0<k<60<k<60<k<6. המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות BBB ו-CCC (BBB קרובה יותר לציר ה-yyy). ADADAD הוא קוטר במעגל (ראו איור).
ABCDM

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודות MMM, BBB, CCC ו-DDD.

ב.

מצאו את הערך של kkk שעבורו AB=BCAB=BCAB=BC.

ג.

עבור kkk שמצאתם, חשבו את גודל הזווית BADBADBAD ואת גודל הזווית BCDBCDBCD.

ד.

בסעיף זה kkk אינו נתון (0<k<60<k<60<k<6).

הוכיחו כי לכל ערך של kkk מתקיים ∠BAD>45∘\angle BAD>45^\circ∠BAD>45∘.

שאלה 10 · מעגל המשיק לציר ה-y: זוויות במרובע החסוםשאלה מלאה · קלה

ציר ה-yyy משיק בנקודה A(0,−3)A(0,-3)A(0,−3) למעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 5. המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות BBB ו-CCC (BBB קרובה יותר לציר ה-yyy). ADADAD הוא קוטר במעגל (ראו איור).
ABCDM

א.

הרדיוס MAMAMA מאונך לציר ה-yyy. מצאו את שיעורי MMM ואת משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB, CCC ו-DDD.

ג.

הסבירו מדוע ∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ∠ABD=90∘.

ד.

חשבו את גודל הזווית BADBADBAD.

ה.

מצאו את גודל הזווית BCDBCDBCD. נמקו.

עוד 21 שאלות על מיתרים וקטרים במעגל במערכת צירים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מיתרים וקטרים במעגל במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל $(x-2)^2+(y-1)^2=20$ שמרכזו $M$ נתון מיתר $AB$ ששיפועו $2$ . אמצע המיתר, $N$ , נמצא על ציר ה- $y$ (ראו סרטוט).
טרפז על הצירים: מהשטח לקודקודים, ונקודה על מעגל (שאלה מלאה · קשה)
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ( $AB\parallel CD$ ), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. ראשית הצירים $O$ היא מפגש האלכסונים של…
מעגל ומשיק: מחוצה זווית לאמצע הקטע (שאלה מלאה · קלה)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $M$ . הקטע $CD$ משיק למעגל בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה- $y$ , כמתואר בסרטוט. $AM$ הוא חוצה זווית…
מיתרים שווים במעגל: חוצה זווית, זווית היקפית ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל שמרכזו $M$ המיתרים $AB$ ו- $BC$ שווים (ראו סרטוט).
מעגל ושני משיקים מנקודה: שיקוף ביחס לישר המרכזים (שאלה מלאה · קשה)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל $(x+1)^2+(y-5)^2=10$ , שמרכזו $M$ . הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ ששיעור ה- $y$ שלה גדול מ-5. הקטע…
דלתון במערכת צירים: אלכסונים ומעוין (שאלה מלאה · קלה)
במערכת צירים נתונות הנקודות $A(2,6)$ , $B(6,8)$ , $C(6,2)$ , $D(0,2)$ (ראו סרטוט). $E$ היא נקודת החיתוך של הקטעים $AC$ ו- $BD$ .
מעגל המשיק לציר ה-y וטרפז חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . ציר ה- $y$ משיק למעגל בנקודה $A$ , והמעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ . $AD$ הוא קוטר במעגל (ראו…
דלתון חסום במעגל: מציאת קודקודים ומעגל (שאלה מלאה · קשה)
נתון דלתון $ABCD$ ( $CB=CD$ , $AB=AD$ ) החסום במעגל. נתון: $A(2,11)$ , $C(12,1)$ . הקודקוד $D$ מונח על ציר ה- $y$ , ושיעור ה- $y$ שלו גדול מ-6 (ראו…
מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים - צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמשוואתו $(x-4)^2+(y-3)^2=25$ ומרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך…
מעגל, משיק וחוצה זווית: משיק בשיפוע מתון (שאלה מלאה · בינונית)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $M$ . הקטע $CD$ משיק למעגל בנקודה $A$ . הנקודה $B$ היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ , כמתואר…
מעגל, קוטר ומשיק: שיעורי נקודה מתוך דמיון (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמשוואתו $(x-5)^2+(y-12)^2=169$ ומרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . $AB$ הוא קוטר במעגל.…
מעגל במערכת צירים: משיק וקוטר (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו $M(-12,0)$ ורדיוסו 5. הנקודה $A(-8,3)$ נמצאת על המעגל.
מיתרים וקטרים במעגל במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המעגל $(x-3)^2+(y-2)^2=25$ , שמרכזו $M$ . הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ ששיעור ה- $y$ שלה גדול מ-2. הקטע $AB$ הוא קוטר…
מעגל מהמשיק: משולש שווה שוקיים ודמיון (שאלה מלאה · קשה)
מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A(-12,8)$ נמצאת על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $D(0,-1)$ . המשך הקטע…
דלתון במערכת צירים: אלכסונים, מעוין וחסימה (שאלה מלאה · בינונית)
נתון דלתון $ABCD$ ( $CB=CD$ , $AB=AD$ ). הקודקוד $D$ מונח על ציר ה- $y$ , שיעור ה- $y$ של הקודקוד $D$ קטן מ-8 (ראו סרטוט). נתון: $A(1,8)$ ,…
הקצה השני של מיתר על ישר נתון במעגל שמרכזו קודקוד (שאלה קצרה · קשה)
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ( $AB\parallel CD$ ), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. ראשית הצירים $O$ היא מפגש האלכסונים של…
מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים: דמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל כך ש- $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך…
מיתר על ציר ה-x במעגל המשיק לציר ה-y: פרמטר מאורכי מיתרים (שאלת ביניים · קשה)
ציר ה- $y$ משיק בנקודה $A(0,-k)$ למעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו 6, כאשר $0<k<6$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ ( $B$ קרובה יותר לציר…
מעגל במערכת צירים: משיק, קוטר ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל. מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A$ נמצאת על המעגל. המשך הקטע $MA$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . נתון:…
קצות קוטר: נקודה על ציר ה-y והקצה השני (שאלה קצרה · בינונית)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $M$ . הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה- $y$ .
מיתר מקביל לציר ה-x: זווית מרכזית, זווית היקפית ומרחקים (שאלת ביניים · בינונית)
הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על המעגל $(x+1)^2+(y-2)^2=25$ שמרכזו $M$ , כך ש- $AB=BC$ . הנקודות $B$ ו- $C$ נמצאות על הישר $y=-2$ ( $B$ משמאל…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מיתרים שווים במעגל: חוצה זווית, זווית היקפית ויחס שטחים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 5
במעגל שמרכזו $M$ המיתרים $AB$ ו- $BC$ שווים (ראו סרטוט).
מעגל המשיק לציר ה-y וטרפז חסום · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 5
המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . ציר ה- $y$ משיק למעגל בנקודה $A$ , והמעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ . $AD$ הוא קוטר במעגל (ראו איור).
מעגל, משיק וחוצה זווית במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $M$ . הקטע $CD$ משיק למעגל בנקודה $A$ . הנקודה $B$ היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ , כמתואר בסרטוט. $AM$ הוא חוצה…
דלתון במערכת צירים: אלכסונים, מעוין וחסימה במעגל · בגרות 471 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
נתון דלתון $ABCD$ ( $CB=CD$ , $AB=AD$ ). הקודקוד $D$ מונח על ציר ה- $y$ , שיעור ה- $y$ של הקודקוד $D$ קטן מ-9 (ראו סרטוט). נתון: $A(1,9)$ , $C(6,4)$ , אורך הצלע $AD$ …
מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים: דמיון משולשים · בגרות 471 קיץ 2025 מועד א', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל כך ש- $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך הנקודה $B$ העבירו…
מעגל במערכת צירים: משיק, קוטר ושטח משולש · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל. מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A$ נמצאת על המעגל. המשך הקטע $MA$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . נתון: $A(-16,6)$ , $B(0,18)$ .