שאלות פתוחות: משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגל - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגל, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מוצאים את שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה ומשם את שיפוע המשיק המאונך לו. יש שאלות שבהן נקודת ההשקה תלויה בפרמטר, שאלה שבה המשיק למעגל משיק גם לפרבולה, ושאלות שבהן המשיק והישר דרך שתי נקודות על המעגל נחתכים בראשית. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ומתאים לבוחן או למבחן בגאומטריה אנליטית, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

41 שאלותקלה: 8בינונית: 24קשה: 9

שאלה 1 · משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגלשאלה קצרה · קלה

נתון המעגל (x−2)2+(y+1)2=25(x-2)^2+(y+1)^2=25(x−2)2+(y+1)2=25, והנקודה A(5,3)A(5,3)A(5,3) נמצאת עליו.
-4-22468-6-4-2246MA

מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AAA.

שאלה 2 · משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגלשאלה קצרה · בינונית

הנקודה P(t,t+1)P(t,t+1)P(t,t+1) נמצאת ברביע הראשון, על המעגל x2+y2=13x^2+y^2=13x2+y2=13. מעבירים משיק למעגל בנקודה PPP.
P

א.

מצאו את שיעורי PPP ואת משוואת המשיק.

ב.

המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. חשבו את שטח המשולש AOBAOBAOB, כאשר OOO ראשית הצירים.

שאלה 3 · מרובע חסום במעגל: משיק ושטח מקסימלישאלה מלאה · קשה

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠BAD=∠BCD\angle BAD=\angle BCD∠BAD=∠BCD, A(6,−1)A(6,-1)A(6,−1), D(0,−1)D(0,-1)D(0,−1), C(1,4)C(1,4)C(1,4).
ABCD

א.

הוכיחו כי BDBDBD קוטר במעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB ואת משוואת המעגל.

ג.

המשיק למעגל בנקודה CCC חותך את הישר ABABAB בנקודה PPP. מצאו את שיעורי PPP.

ד.

מצאו את כל הנקודות KKK על המעגל, שונות מ-CCC, שבעבורן שטח המשולש BDKBDKBDK שווה לשטח המשולש BDCBDCBDC.

שאלה 4 · מעגל ומשיק מראשית הצירים: צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו MMM. הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל, ו-ACACAC הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה AAA והישר BCBCBC נחתכים בראשית הצירים OOO, כמתואר בסרטוט.
OABCM

א.

(1)

הסבירו מדוע ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘.

(2)

הסבירו מדוע ∠OAC=90∘\angle OAC=90^\circ∠OAC=90∘.

(3)

הוכיחו: ΔABC∼ΔOAC\Delta ABC\sim\Delta OACΔABC∼ΔOAC.

ב.

נתון: OC=13OC=13OC=13, BC=4BC=4BC=4.

מצאו את אורך ACACAC.

ג.

נתון: M(7,9)M(7,9)M(7,9).

מצאו את רדיוס המעגל ואת משוואת המעגל.

ד.

נתון: A(9,6)A(9,6)A(9,6).

(1)

מצאו את השיפוע של הרדיוס MAMAMA.

(2)

הראו כי משוואת המשיק למעגל בנקודה AAA היא y=23xy=\frac23xy=32​x.

שאלה 5 · משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגלשאלה קצרה · בינונית

המשיק למעגל x2+y2=8x^2+y^2=8x2+y2=8 בנקודה (2,2)(2,2)(2,2) משיק גם לפרבולה y=x2+cy=x^2+cy=x2+c.

א.

מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה (2,2)(2,2)(2,2).

ב.

מצאו את ccc ואת נקודת ההשקה של הישר עם הפרבולה.

שאלה 6 · משיק וחותך מראשית הצירים: מהאורכים לשיעוריםשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו MMM. הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל, ו-ACACAC הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה AAA והישר BCBCBC נחתכים בראשית הצירים OOO, כמתואר בסרטוט.
OABCM

א.

הוכיחו כי OA2=OB⋅OCOA^2=OB\cdot OCOA2=OB⋅OC.

ב.

נתון: OB=16OB=16OB=16, BC=9BC=9BC=9.

מצאו את אורך המשיק OAOAOA ואת אורך הקוטר ACACAC.

ג.

נתון: משוואת המשיק למעגל בנקודה AAA היא y=43xy=\frac43xy=34​x, הנקודה AAA נמצאת ברביע הראשון, והמרכז MMM נמצא מתחת לישר המשיק.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA ואת משוואת המעגל.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-BBB.

שאלה 7 · מעגל המשיק לציר ה-x: מהמשיק לאורך האנךשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו M(4,5)M(4,5)M(4,5), המשיק לציר ה-xxx בנקודה AAA. רדיוס המעגל שווה למרחק המרכז מציר ה-xxx.
ABCM

א.

מצאו את רדיוס המעגל, את משוואתו ואת שיעורי הנקודה AAA.

ב.

המעגל חותך את ציר ה-yyy בשתי נקודות. BBB היא העליונה מביניהן.

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

ג.

הראו ששיפוע הרדיוס MBMBMB הוא −34-\frac34−43​, ומצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה BBB.

ד.

מהנקודה AAA הורידו אנך למשיק, והוא פוגש את המשיק בנקודה CCC.

הוכיחו כי AC∥MBAC\parallel MBAC∥MB. (רמז: מה הזווית בין MBMBMB למשיק?)

ה.

מצאו את משוואת הישר ACACAC ואת שיעורי הנקודה CCC.

ו.

חשבו את אורך הקטע ACACAC.

שאלה 8 · משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגלשאלה קצרה · בינונית

הנקודה A(2,−2)A(2,-2)A(2,−2) נמצאת על המעגל x2+y2+2x−4y−20=0x^2+y^2+2x-4y-20=0x2+y2+2x−4y−20=0.

א.

מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AAA.

ב.

למעגל יש משיק נוסף המקביל למשיק בנקודה AAA. מצאו את משוואתו.

שאלה 9 · מעגל ושני משיקים מנקודה: שיקוף ביחס לישר המרכזיםשאלה מלאה · קשה

הקטע ABABAB הוא קוטר במעגל (x+1)2+(y−5)2=10(x+1)^2+(y-5)^2=10(x+1)2+(y−5)2=10, שמרכזו MMM. הנקודה BBB היא נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה-yyy ששיעור ה-yyy שלה גדול מ-5. הקטע CDCDCD משיק למעגל בנקודה AAA, AMAMAM הוא חוצה זווית CMDCMDCMD, והקטע CMCMCM מקביל לציר ה-xxx.
BAMCD

א.

הוכיחו כי משולש CMDCMDCMD הוא שווה שוקיים.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-DDD.

ג.

חשבו את היקף המשולש CMDCMDCMD.

ד.

מהנקודה CCC יוצא משיק נוסף למעגל, המשיק לו בנקודה KKK (K≠AK\ne AK=A). מצאו את שיעורי הנקודה KKK.

ה.

חשבו את שטח המרובע CAMKCAMKCAMK.

שאלה 10 · מעגל ומשיק: מחוצה זווית לאמצע הקטעשאלה מלאה · קלה

הקטע ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו MMM. הקטע CDCDCD משיק למעגל בנקודה AAA. הנקודה BBB נמצאת על ציר ה-yyy, כמתואר בסרטוט. AMAMAM הוא חוצה זווית CMDCMDCMD.
BAMCD

א.

(1)

הסבירו מדוע MA⊥CDMA\perp CDMA⊥CD.

(2)

הוכיחו כי △CMA≅△DMA\triangle CMA\cong\triangle DMA△CMA≅△DMA, והסיקו כי MC=MDMC=MDMC=MD.

ב.

נתון כי משוואת המעגל היא: (x+2)2+(y−5)2=20(x+2)^2+(y-5)^2=20(x+2)2+(y−5)2=20, וכי שיעור ה-yyy של הנקודה BBB גדול מ-5.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB ו-AAA.

ג.

נתון כי הקטע CMCMCM מקביל לציר ה-xxx.

הראו כי משוואת המשיק CDCDCD היא y=−12x−1y=-\frac12x-1y=−21​x−1, ומצאו את שיעורי הנקודה CCC.

ד.

הסבירו מדוע AAA היא אמצע הקטע CDCDCD, ומצאו את שיעורי הנקודה DDD.

עוד 25 שאלות על משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגל

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (שאלה קצרה · בינונית)
מעגל עובר דרך ראשית הצירים $O$ , ורדיוסו $\sqrt{10}$ . המשיק למעגל בנקודה $O$ הוא הישר $y=3x$ .
מעגל, קוטר ומשיק: שיעורי נקודה מתוך דמיון (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמשוואתו $(x-5)^2+(y-12)^2=169$ ומרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . $AB$ הוא קוטר במעגל.…
מעגל המשיק לציר ה-x: דלתון ומעגל חוסם (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שרדיוסו 3 ומרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . המעגל משיק לציר ה- $x$ בראשית הצירים $O$ , כמתואר בסרטוט. הישר $4x+3y=24$ …
מעגל, משיק מראשית הצירים ומשולשים דומים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו $M$ . הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את הישר $BC$ בראשית הצירים $O$ ,…
מעגל מהמשיק: משולש שווה שוקיים ודמיון (שאלה מלאה · קשה)
מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A(-12,8)$ נמצאת על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $D(0,-1)$ . המשך הקטע…
מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים - צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמשוואתו $(x-4)^2+(y-3)^2=25$ ומרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך…
משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $M(6,5)$ . הישר $y=3x-3$ משיק למעגל בנקודה $A$ .
משולש החסום במעגל: יחס דמיון כפרמטר והמשיק (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל, ו- $AC$ הוא קוטר במעגל. הקודקוד $A(0,2)$ נמצא על ציר ה- $y$ והקודקוד $B(4,0)$ נמצא על ציר ה- $x$ . דרך…
מעגל במערכת צירים: משיק וקוטר (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו $M(-12,0)$ ורדיוסו 5. הנקודה $A(-8,3)$ נמצאת על המעגל.
מעגל המשיק לציר ה-x: משיק בנקודה על ציר ה-y וחוצה זווית (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $M(5,13)$ . המעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $A$ .
משיקים למעגל מנקודה: רדיוס משטח המרובע (שאלה מלאה · קשה)
מהנקודה $B(0,25)$ העבירו שני משיקים למעגל שמרכזו בראשית הצירים $O$ ורדיוסו $R$ . נקודות ההשקה הן $A$ (ברביע השני) ו- $C$ . האלכסונים של המרובע…
מעגל החוסם משולש ישר זווית: משוואת המעגל והמשיק (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם המשולש $ABC$ , שקודקודיו $A(0,1)$ , $B(3,0)$ , $C(6,9)$ . דרך שלושת הקודקודים עובר מעגל. המשיק למעגל בנקודה $C$ חותך את ציר ה- $x$ …
משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המעגל $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ שמרכזו $M$ , והנקודה $P(5,3)$ .
נקודת ההשקה ומשוואת המעגל ממשוואת המשיק (שאלה קצרה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו $M$ , ו- $AC$ הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ עובר בראשית הצירים $O$ . נתון: אורך קטע המשיק $OA=20$ ,…
מעגל, משיק וחוצה זווית: משיק בשיפוע מתון (שאלה מלאה · בינונית)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $M$ . הקטע $CD$ משיק למעגל בנקודה $A$ . הנקודה $B$ היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ , כמתואר…
משיק בקצה קוטר: פרמטר מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-x (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל, ו- $AC$ הוא קוטר במעגל. הקודקוד $A(0,2)$ נמצא על ציר ה- $y$ והקודקוד $B(4,0)$ נמצא על ציר ה- $x$ . דרך…
משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המעגל $(x-1)^2+(y+2)^2=20$ , שמרכזו $M$ . הנקודה $A(3,2)$ נמצאת על המעגל.
מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים: דמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל כך ש- $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך…
משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המעגל $(x+1)^2+(y-2)^2=25$ . הנקודה $P(3,5)$ נמצאת על המעגל.
מעגל במערכת צירים: משיק, קוטר ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל. מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A$ נמצאת על המעגל. המשך הקטע $MA$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . נתון:…
משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המעגל $(x-3)^2+(y+1)^2=25$ . הנקודה $A(6,3)$ נמצאת על המעגל.
משולש החסום במעגל במערכת צירים: דמיון, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. $AC$ הוא קוטר במעגל. הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $x$ . דרך הנקודה $C$ …
משוואת משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $P(1,2)$ ו- $Q(7,8)$ הן קצות קוטר במעגל.
נקודה על המשיק למעגל שבגובה המרכז (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המעגל $(x+2)^2+(y-7)^2=40$ שמרכזו $M$ . הנקודה $A(-4,1)$ נמצאת על המעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המשיק למעגל בנקודה $A$ .
קוטר ומשיק בקצהו: חיתוכים עם ציר ה-x (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל כך ש- $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מעגל, משיק מראשית הצירים ומשולשים דומים · בגרות 471 חורף 2022, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו $M$ . הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את הישר $BC$ בראשית הצירים $O$ , כמתואר בסרטוט. נתון:…
מעגל המשיק לציר ה-x: משיק, הקבלה וחוצה זווית · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $M(6,10)$ . המעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $A$ .
מעגל, משיק וחוצה זווית במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $M$ . הקטע $CD$ משיק למעגל בנקודה $A$ . הנקודה $B$ היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ , כמתואר בסרטוט. $AM$ הוא חוצה…
מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים: דמיון משולשים · בגרות 471 קיץ 2025 מועד א', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל כך ש- $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך הנקודה $B$ העבירו…
מעגל במערכת צירים: משיק, קוטר ושטח משולש · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל. מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A$ נמצאת על המעגל. המשך הקטע $MA$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . נתון: $A(-16,6)$ , $B(0,18)$ .
משולש החסום במעגל במערכת צירים: דמיון, משיק ושטח · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. $AC$ הוא קוטר במעגל. הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $x$ . דרך הנקודה $C$ העבירו אנך לציר ה- $x$ …