דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: חזרה: נגזרת של מכפלה מהצורה f(x)·√g(x) - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על נגזרת של מכפלה מהצורה f(x)·√g(x), לכיתה י"א 4 יחידות. הפונקציות הן כמו (x+1)√(x+4), (x-4)√x ו-x√(x²-4x+3), והתלמידים גוזרים, מוצאים קיצון ותחומי עלייה וירידה. יש שאלות עם פרמטר שמוצאים מנקודת קיצון או ממשיק המאונך לישר y=x, ובעיית קיצון על משולש שווה שוקיים החסום בחצי מעגל. רוב השאלות קלות ובינוניות, ויש גם קשות, והמורה יכול להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

89 שאלותקלה: 27בינונית: 51קשה: 11

שאלה 1 · חקירת פונקציית שורש: נגזרת נתונה והזזהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(x+1)x+4f(x)=(x+1)\sqrt{x+4}.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג.
(1)

הראו כי f′(x)=3x+92x+4f'(x)=\frac{3x+9}{2\sqrt{x+4}}.

(2)

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=(x+1)x+4+3g(x)=(x+1)\sqrt{x+4}+3.

רשמו את נקודות הקיצון של g(x)g(x), והסבירו מדוע גרף g(x)g(x) לא חותך את ציר ה-xx.

שאלה 2 · חזרה: נגזרת של מכפלה מהצורה f(x)·√g(x)שאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+2f(x)=(x-3)\sqrt{2x+2}.

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1.

ב.

חשבו את שטח המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים.

שאלה 3 · חזרה: נגזרת של מכפלה מהצורה f(x)·√g(x)שאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)xf(x)=(x-4)\sqrt{x}.

מצאו את שיעורי הנקודה על גרף הפונקציה שבה שיפוע המשיק שווה ל-22.

שאלה 4 · חקירת פונקציית שורש: קיצון בקצה התחוםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(x−12)xf(x)=(x-12)\sqrt{x}.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג.

הראו כי f′(x)=3x−122xf'(x)=\frac{3x-12}{2\sqrt x}.

ד.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. עבור אלו ערכים של kk הישר y=ky=k אינו חותך את הגרף?

שאלה 5 · חזרה: נגזרת של מכפלה מהצורה f(x)·√g(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−k)2x+9f(x)=(x-k)\sqrt{2x+9}, כאשר kk פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=−1x=-1.

א.

מצאו את kk.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yy.

שאלה 6 · חזרה: נגזרת של מכפלה מהצורה f(x)·√g(x)שאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xx2−4x+3f(x)=x\sqrt{x^2-4x+3}.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של הפונקציה שאינן בקצות תחום ההגדרה, וקבעו את סוגן.

שאלה 7 · משולש שווה שוקיים בחצי מעגל: צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

בחצי מעגל שרדיוסו 6 ס"מ חסום משולש שווה שוקיים ABOABO, שקודקוד הראש שלו במרכז המעגל OO ובסיסו ABAB מקביל לקוטר (ראו ציור). נסמן ב-xx את גובה המשולש OHOH.

OABH
א.

הסבירו מדוע HH היא אמצע ABAB, והביעו באמצעות xx את AHAH.

ב.

הראו כי שטח המשולש הוא S(x)=x36−x2S(x)=x\sqrt{36-x^2}, ורשמו את התחום של xx.

ג.

הראו כי S′(x)=36−2x236−x2S'(x)=\frac{36-2x^2}{\sqrt{36-x^2}}.

ד.

מצאו את xx שבעבורו השטח מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

שאלה 8 · חזרה: נגזרת של מכפלה מהצורה f(x)·√g(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)2x+1f(x)=(x-a)\sqrt{2x+1}, כאשר aa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=4x=4 מאונך לישר y=xy=x.

א.

מצאו את aa.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה שאינה בקצה תחום ההגדרה, וקבעו את סוגה.

שאלה 9 · פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון ומספר נקודות חיתוךשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xx+af(x)=x\sqrt{x+a}, a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aa את תחום ההגדרה ואת שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

הביעו באמצעות aa את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ג.

נתון כי הערך המינימלי של הפונקציה f(x)f(x) הוא −2-2. מצאו את aa.

ד.

הציבו a=3a=3. נתונה הפונקציה g(x)=xx+3+kg(x)=x\sqrt{x+3}+k, kk הוא פרמטר.

מצאו את כל ערכי kk שעבורם לגרף g(x)g(x) יש בדיוק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-xx.

שאלה 10 · פונקציית שורש: קיצון ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

בציור שלפניכם מוצג גרף הפונקציה f(x)=x3−xf(x)=x\sqrt{3-x}.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת נקודות החיתוך של גרפה עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=3(2−x)23−xf'(x)=\frac{3(2-x)}{2\sqrt{3-x}}.

ג.

מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ד.

כמה פתרונות יש למשוואה x3−x=1x\sqrt{3-x}=1? נמקו.

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישר x=−1x=-1.

עוד 50 שאלות על חזרה: נגזרת של מכפלה מהצורה f(x)·√g(x)

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. חקירת פונקציית שורש והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x(x−3)f(x)=x(\sqrt{x}-3).

  2. טרפז בחצי מעגל: שטח מקסימלי (שאלה מלאה · קשה)

    בחצי מעגל שמרכזו OO ורדיוסו 12 ס"מ חסום טרפז ABCDABCD: הבסיס DCDC הוא קוטר חצי המעגל, והקודקודים AA ו-BB נמצאים על הקשת (AB∥DCAB\parallel DC),…

  3. חקירת פונקציית שורש: קיצון קצה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x−4xf(x)=x-4\sqrt{x}. בסוף השאלה מופיעים שני גרפים I-II: גרף I: גרף II:

  4. חקירת פונקציית שורש עם פרמטר ומתיחה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x2x+af(x)=x^2\sqrt{x+a}, aa הוא פרמטר.

  5. פונקציית שורש עם פרמטר: מקסימום נתון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2c−2xf(x)=x^2\sqrt{c-2x}, cc הוא פרמטר חיובי.

  6. חקירת פונקציית שורש, שיקוף ושטח בין גרף לשיקופו (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(x−6)⋅xf(x)=(x-6)\cdot\sqrt{x}.

  7. משולש בחצי מעגל: שטח מקסימלי (שאלה מלאה · בינונית)

    בחצי מעגל שמרכזו OO ורדיוסו 8 ס"מ, PQPQ הוא הקוטר. הנקודה AA נמצאת על הקשת, ו-HH היא עקב האנך מ-AA לקוטר, כך ש-HH נמצאת בין OO ל-QQ…

  8. פונקציית שורש עם פרמטר: מערך המינימום לפרמטר ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(x−a)⋅2xf(x)=(x-a)\cdot\sqrt{2x}, a>0a>0 הוא פרמטר.

  9. חקירת פונקציית שורש ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x⋅x+3f(x)=x\cdot\sqrt{x+3}.

  10. פונקציית שורש: קיצון, מספר פתרונות וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    בציור שלפניכם מוצג גרף הפונקציה: f(x)=(x2+5x−10)5−xf(x)=(x^2+5x-10)\sqrt{5-x}.

  11. פונקציית שורש עם פרמטר: ערך המקסימום ומספר הפתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=xa−xf(x)=x\sqrt{a-x}, כאשר a>0a>0 פרמטר.

  12. פונקציית שורש: נגזרת, קיצון בקצה התחום והזזה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x12−xf(x)=x\sqrt{12-x}.

  13. חקירת פונקציית שורש, שיקוף ושטח בין גרף לשיקופו (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(x−6)⋅x+3f(x)=(x-6)\cdot\sqrt{x+3}.

  14. פונקציה עם שורש ופרמטר: מינימום נתון וגבול אינטגרציה (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)x+4f(x)=(x-a)\sqrt{x+4}, כאשר aa פרמטר, a>−4a>-4.

  15. פונקציית שורש: תחום, קיצון בקצה, חיתוכים וסקיצה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x−2x+3f(x)=x-2\sqrt{x+3}.

  16. חקירת פונקציית שורש ושטח משולש בין נקודות קיצון (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x⋅12−xf(x)=x\cdot\sqrt{12-x}.

  17. פונקציה עם שורש ופרמטר: מהשטח מתחת לנגזרת לפרמטר (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=6x⋅(x−m)f(x)=6x\cdot(\sqrt x-m). m>0m>0 הוא פרמטר.

  18. פונקציה עם שורש: קיצון בקצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)xf(x)=(x-3)\sqrt x.

  19. פונקציית שורש עם פרמטר: סכום של קו ושורש (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x2+a−xf(x)=\frac{x}{2}+\sqrt{a-x}, aa הוא פרמטר. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

  20. פונקציה עם שורש ופרמטר: מקסימום נתון, משיקים ומספר נקודות חיתוך (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2⋅a−2xf(x)=x^2\cdot\sqrt{a-2x}, כאשר a>0a>0 פרמטר.

  21. פונקציה עם שורש: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x⋅(x−6)f(x)=x\cdot(\sqrt x-6).

  22. פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון בקצה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=1+x−4x+bf(x)=1+x-\sqrt{4x+b}, bb הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה f(x)f(x) חותך את ציר ה-xx בנקודה (5,0)(5,0) בלבד.

  23. פונקציית שורש: הזזה אופקית עם פרמטר (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)15−xf(x)=(x-3)\sqrt{15-x}. לכל מספר mm מגדירים g(x)=f(x+m)g(x)=f(x+m).

  24. חקירת פונקציה עם שורש - בהכוונה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)⋅xf(x)=(x-3)\cdot\sqrt x.

  25. חקירת פונקציה עם שורש וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(x−5)⋅x+7f(x)=(x-5)\cdot\sqrt{x+7}.

  26. פונקציית שורש: קיצון בקצה ופונקציה שנגזרתה -f (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=5−2x+12xf(x)=\sqrt{5-2x}+\frac12x.

  27. פונקציה עם שורש ופרמטר: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(x−m)⋅xf(x)=(x-m)\cdot\sqrt x. m>0m>0 הוא פרמטר.

  28. פונקציית שורש: חקירה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x12−xf(x)=x\sqrt{12-x}.

  29. חקירת פונקציה עם שורש בתחום חסום; משיק אופקי להזזה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x⋅16−x2f(x)=x\cdot\sqrt{16-x^2}.

  30. פונקציית שורש: קיצון בקצה התחום והזזה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x2⋅5−xf(x)=x^2\cdot\sqrt{5-x}.

  31. פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה וקיצון בקצה (b=1/4) (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=9−2x+bxf(x)=\sqrt{9-2x}+bx, b>0b>0 הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה f(x)f(x) חותך את ציר ה-xx בנקודה (−36,0)(-36,0).

  32. פונקציית שורש: חקירה והזזה ימינה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)16−xf(x)=(x-4)\sqrt{16-x}.

  33. חקירת פונקציית שורש והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x2⋅3x+15f(x)=x^2\cdot\sqrt{3x+15}.

  34. פונקציית שורש: נגזרת, קיצון וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x2+15)⋅5−xf(x)=(x^2+15)\cdot\sqrt{5-x}.

  35. חקירת פונקציית שורש והזזה אופקית (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(2x−2)13−xf(x)=(2x-2)\sqrt{13-x}. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

  36. פונקציית שורש: קיצון בקצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(13−x)⋅x−1f(x)=(13-x)\cdot\sqrt{x-1}.

  37. פונקציית שורש: זיהוי גרף הנגזרת, קיצון בקצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת בתחום x≤4x\le4, ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x<4x<4. לפונקציה f(x)f(x) יש בדיוק שתי נקודות קיצון פנימיות. לפניכם…

  38. פונקציית שורש: קיצון בקצה התחום והזזה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x)=x\sqrt{3-x}.

  39. פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=(a−x)⋅2x−8f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{2x-8}. aa הוא פרמטר.

  40. חזרה: נגזרת של מכפלה מהצורה f(x)·√g(x) (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x28−xf(x)=x^2\sqrt{8-x}.

  41. פונקציית שורש: חקירה, קיצון בקצה התחום והזזה אופקית (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x22x+5f(x)=x^2\sqrt{2x+5}.

  42. פונקציית שורש של פרבולה סימטרית (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2−9f(x)=x^2-9.

  43. פרבולה ופונקציית השורש שלה: תחום, חיתוכים, קיצון בקצה וסקיצה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=x^2-6x+8.

  44. חקירת פונקציית שורש עם קיצון בקצה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=xx+3f(x)=x\sqrt{x+3}.

  45. חקירת פונקציית שורש זוגית והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x29−x2f(x)=x^2\sqrt{9-x^2}.

  46. בעיית קיצון: מלבן מתחת לגרף שורש - שלב אחר שלב (שאלה מלאה · קלה)

    הקדקוד BB של המלבן ABCDABCD נמצא על גרף הפונקציה f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2}. הצלע ADAD מונחת על הישר x=7x=7 והצלע DCDC מונחת על ציר ה-xx (ראו ציור).…

  47. בעיית קיצון: מלבן מתחת לגרף פונקציית שורש (שאלה מלאה · בינונית)

    הקדקוד BB של המלבן ABCDABCD נמצא על גרף הפונקציה f(x)=12−x2f(x)=\sqrt{12-x^2}. הצלע ADAD מונחת על הישר x=−2x=-2 והצלע DCDC מונחת על ציר ה-xx (ראו…

  48. נגזרת של מכפלה x²·√(8−x) (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x28−xf(x)=x^2\sqrt{8-x}.

  49. שטח מקסימלי של מלבן שקודקוד שלו על גרף שורש (שאלת ביניים · בינונית)

    הקדקוד BB של המלבן ABCDABCD נמצא על גרף הפונקציה f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2}. הצלע ADAD מונחת על הישר x=7x=7 והצלע DCDC מונחת על ציר ה-xx (ראו ציור).…

  50. פרמטר מנקודת קיצון של מכפלה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=(x−k)2x+9f(x)=(x-k)\sqrt{2x+9}, כאשר kk פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=−1x=-1.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (8)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.