שאלות פתוחות: מציאת פרמטר על סמך נתון - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על מציאת פרמטר בפונקציה עם שורש על סמך נתון, לכיתה י"א 4 יחידות. הנתון יכול להיות נקודת חיתוך עם ציר ה-x, נקודה משותפת אחת בלבד עם הציר, או נקודה על הגרף, בפונקציות כמו √(x²+bx+9) ו-4/√(a-x²). אחרי מציאת הפרמטר ממשיכים לנגזרת, לקיצון ולתחומי עלייה וירידה. רוב השאלות בינוניות וקשות, לצד מעט שאלות קלות, ומתאים להרכבת מבחן מסכם בנושא או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

62 שאלותקלה: 5בינונית: 34קשה: 23

שאלה 1 · מציאת פרמטר על סמך נתוןשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+bx+9f(x)=\sqrt{x^2+bx+9}f(x)=x2+bx+9​, כאשר bbb פרמטר. לגרף הפונקציה נקודה משותפת אחת בלבד עם ציר ה-xxx, ששיעור ה-xxx שלה חיובי.

מצאו את bbb.

שאלה 2 · מציאת פרמטר על סמך נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+25f(x)=\sqrt{x^2-6x+25}f(x)=x2−6x+25​.

א.

הראו כי הפונקציה מוגדרת לכל xxx, ומצאו את נקודת הקיצון שלה וקבעו את סוגה.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=−2f(x)+kg(x)=-2f(x)+kg(x)=−2f(x)+k, כאשר kkk פרמטר. מצאו את כל ערכי kkk שעבורם גרף הפונקציה ggg חותך את ציר ה-xxx בשתי נקודות בדיוק.

שאלה 3 · פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון ומספר נקודות חיתוךשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xx+af(x)=x\sqrt{x+a}f(x)=xx+a​, a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה ואת שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ג.

נתון כי הערך המינימלי של הפונקציה f(x)f(x)f(x) הוא −2-2−2. מצאו את aaa.

ד.

הציבו a=3a=3a=3. נתונה הפונקציה g(x)=xx+3+kg(x)=x\sqrt{x+3}+kg(x)=xx+3​+k, kkk הוא פרמטר.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם לגרף g(x)g(x)g(x) יש בדיוק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx.

שאלה 4 · חקירת פונקציית שורש: נגזרת נתונה והזזהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(x+1)x+4f(x)=(x+1)\sqrt{x+4}f(x)=(x+1)x+4​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג.

(1)

הראו כי f′(x)=3x+92x+4f'(x)=\frac{3x+9}{2\sqrt{x+4}}f′(x)=2x+4​3x+9​.

(2)

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=(x+1)x+4+3g(x)=(x+1)\sqrt{x+4}+3g(x)=(x+1)x+4​+3.

רשמו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x), והסבירו מדוע גרף g(x)g(x)g(x) לא חותך את ציר ה-xxx.

שאלה 5 · מציאת פרמטר על סמך נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x+5f(x)=\sqrt{x+5}f(x)=x+5​. בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה.
y=f(x)
-6-4-222

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה fff המקביל לישר y=xy=xy=x.

ב.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם למשוואה x+5=x+m\sqrt{x+5}=x+mx+5​=x+m יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 6 · פונקציה עם שורש ופרמטר: משיק דרך הראשיתשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=4a−x2f(x)=\frac{4}{\sqrt{a-x^2}}f(x)=a−x2​4​, a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

מצאו באמצעות aaa את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ג.

המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1 עובר דרך ראשית הצירים. מצאו את aaa.

ד.

הציבו a=2a=2a=2.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 7 · חקירת פונקציה עם שורש במכנהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1025−x2f(x)=\frac{10}{\sqrt{25-x^2}}f(x)=25−x2​10​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=10x(25−x2)25−x2f'(x)=\frac{10x}{(25-x^2)\sqrt{25-x^2}}f′(x)=(25−x2)25−x2​10x​.

ג.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k, kkk הוא פרמטר.

מהו הערך של kkk שבעבורו הישר y=5y=5y=5 משיק לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x)?

שאלה 8 · מציאת פרמטר על סמך נתוןשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+16f(x)=\sqrt{x^2+ax+16}f(x)=x2+ax+16​, כאשר aaa פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=2x=2x=2.

א.

מצאו את aaa ואת תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 9 · פונקציית שורש עם פרמטר: מספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=xx+af(x)=x\sqrt{x+a}f(x)=xx+a​, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה ואת שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את הערך של aaa שבעבורו נקודת המינימום של f(x)f(x)f(x) נמצאת על הישר y=2xy=2xy=2x.

ג.

הציבו a=12a=12a=12. קבעו, לכל ערך של kkk, כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k.

ד.

נתונה g(x)=−2f(x)g(x)=-2f(x)g(x)=−2f(x) (עם a=12a=12a=12). עבור אלו ערכים של kkk למשוואה g(x)=kg(x)=kg(x)=k יש בדיוק שני פתרונות?

שאלה 10 · חקירת פונקציה עם שורש - בהכוונהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)⋅xf(x)=(x-3)\cdot\sqrt xf(x)=(x−3)⋅x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=3(x−1)2xf'(x)=\frac{3(x-1)}{2\sqrt x}f′(x)=2x​3(x−1)​.

ג.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), כולל נקודות קיצון בקצה תחום ההגדרה, וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c. הישר y=5y=5y=5 משיק לגרף g(x)g(x)g(x). מצאו את ccc.

עוד 39 שאלות על מציאת פרמטר על סמך נתון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת פונקציית שורש והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x(\sqrt{x}-3)$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: מקסימום נתון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2\sqrt{c-2x}$ , $c$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציית שורש: קיצון בקצה התחום והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2\cdot\sqrt{5-x}$ .
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $f(x)=(x-3)\sqrt{x}$ יש מקסימום בקצה התחום $(0,0)$ ומינימום בנקודה $(1,-2)$ . נתונה הפונקציה $g(x)=(x-3)\sqrt{x}+k$ , $k$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: מקום נקודות הקיצון, מספר חיתוכים ושטח קבוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x-2\sqrt{x+a}$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: מערך המינימום לפרמטר ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(x-a)\cdot\sqrt{2x}$ , $a>0$ הוא פרמטר.
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{\sqrt{16-x^2}}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: מהשטח לפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\cdot\sqrt{x+a}$ , $a>0$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציית שורש עם פרמטר ומתיחה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2\sqrt{x+a}$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: ערך המקסימום ומספר הפתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{a-x}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
חקירת פונקציית שורש עם פרמטר: מקסימום, גרף הנגזרת ושטח מתחת לציר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=4\sqrt{x+a}-x$ , $a$ הוא פרמטר. גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(12,0)$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים…
פונקציית שורש עם פרמטר: מספר החיתוכים עם ציר ה-x (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=1+\frac12x-\sqrt{2x+b}$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: סכום של קו ושורש (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x}{2}+\sqrt{a-x}$ , $a$ הוא פרמטר. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
פונקציה עם שורש ופרמטר: מינימום נתון וגבול אינטגרציה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-a)\sqrt{x+4}$ , כאשר $a$ פרמטר, $a>-4$ .
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-x)\sqrt x$ , כאשר $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית שבה $x=2$ .
פונקציה עם שורש ופרמטר: מקסימום נתון, משיקים ומספר נקודות חיתוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2\cdot\sqrt{a-2x}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון בקצה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=1+x-\sqrt{4x+b}$ , $b$ הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(5,0)$ בלבד.
פונקציית שורש: פרמטר מתוך הערך המקסימלי (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt{a-2x}+\frac12x$ , כאשר $a>4$ הוא פרמטר. הערך המקסימלי של הפונקציה $f(x)$ הוא 4.
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt{ax+4}-x$ , $a$ הוא פרמטר. הנקודה $(3,1)$ נמצאת על גרף הפונקציה.
פונקציית שורש עם פרמטר: מבעיה הפוכה לספירת פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2\sqrt{k-x}$ , $k>0$ הוא פרמטר.
פונקציה עם שורש ופרמטר: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(x-m)\cdot\sqrt x$ . $m>0$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: מספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2\cdot\sqrt{a-2x}$ , כאשר $a$ פרמטר חיובי.
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=m\sqrt x-x$ , ו- $m$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית בנקודה שבה $x=9$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: תנאי לשני קיצונים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2+a)\cdot\sqrt{6-2x}$ בתחום $x\le3$ , ו- $a$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה עם שורש בתחום חסום; משיק אופקי להזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\cdot\sqrt{16-x^2}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: פרמטר משטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x+a\sqrt{4-x}$ , $a>0$ הוא פרמטר.
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\cdot\sqrt{x+12}$ . ידוע כי ל- $f(x)$ יש נקודת מינימום פנימית אחת, $(-8,-16)$ , ונקודת מקסימום בקצה התחום, $(-12,0)$ .…
פונקציית שורש עם פרמטר: פרמטר מתוך שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{2x-4}$ , כאשר $a>2$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה וקיצון בקצה (b=1/4) (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt{9-2x}+bx$ , $b>0$ הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(-36,0)$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: מספר אפסים ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x-a\sqrt{x-4}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציית שורש והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2\cdot\sqrt{3x+15}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון, מספר פתרונות והזזה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2\sqrt{k-x}$ , ו- $k>0$ הוא פרמטר.
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{x+3}$ .
שורש של פרבולה עם פרמטר: תחום, קיצון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\sqrt{x^2-4x+k}$ , כאשר $k$ פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{2x-8}$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: משיק אופקי ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{a-x^2}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
פרמטר מנקודה על גרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{x^2+a}$ , כאשר $a>0$ פרמטר. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עובר דרך הנקודה $\left(4,\frac45\right)$ .
פרמטר מתנאי שהמשיק עובר דרך ראשית הצירים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{\sqrt{a-x^2}}$ , $a>0$ הוא פרמטר. נתון כי $f'(x)=\frac{4x}{(a-x^2)\sqrt{a-x^2}}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציית שורש והזזה אנכית · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=x\sqrt{x+2}$ .
חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$ .
חקירת פונקציית שורש עם פרמטר ומתיחה · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=x\sqrt{x+a}$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציית שורש עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 471 קיץ 2022 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x-2\cdot\sqrt{x+a}$ , $a$ הוא פרמטר. גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(6,0)$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף…
פונקציית שורש עם פרמטר: מגרף הנגזרת לחקירה · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 8
נתונה הפונקציה: $f(x)=x\sqrt{a-x}$ , $a$ הוא פרמטר. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון בקצה התחום וגרף הנגזרת · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=1+\frac12x-\sqrt{2x+b}$ , $b$ הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(8,0)$ בלבד.
פונקציה עם שורש ופרמטר: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 471 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=6x\cdot(\sqrt x-m)$ . $m>0$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה עם שורש וקיצון בקצה התחום; משיק אופקי להזזה · בגרות 471 חורף 2023, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2\cdot\sqrt{4x+20}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה וקיצון בקצה · בגרות 471 קיץ 2024 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt{21-2x}+bx$ , $b>0$ הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(-14,0)$ .
חקירת פונקציית שורש והזזה אנכית · בגרות 471 חורף 2024, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2\cdot\sqrt{-2x+10}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{3x-6}$ . $a$ הוא פרמטר.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{a-x}}{x}$ , המוגדרת בתחום $x\le a$ , $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. שיפוע המשיק…
אסימפטוטות אנכיות של פונקציות שורש (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-ax+6}{\sqrt{x-2}}$ , $a$ הוא פרמטר.