שאלות פתוחות: אסימפטוטות של פונקציות עם שורש - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על אסימפטוטות של פונקציות עם שורש, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מוצאים אסימפטוטות אנכיות בקצוות תחום ההגדרה, כמו ב-10/√(25-x²), ואסימפטוטות אופקיות של פונקציות כמו 6x/√(x²+9)+1, שבהן הגרף מתקרב לישרים שונים כאשר x שואף לפלוס ולמינוס אינסוף. יש שאלה שבה מוצאים פרמטר מתוך אסימפטוטה אופקית נתונה, ושאלה על שורש של פרבולה שנתונה בסרטוט. רוב השאלות בינוניות וקשות, ויש גם קלות, והמורה יכול לשלב אותן בבוחן או במבחן, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

18 שאלותקלה: 2בינונית: 10קשה: 6

שאלה 1 · אסימפטוטות של פונקציות עם שורששאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x+1x−4f(x)=\frac{\sqrt{2x+1}}{x-4}f(x)=x−42x+1​​.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות האנכיות שלה.

שאלה 2 · אסימפטוטות של פונקציות עם שורששאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה הריבועית f(x)f(x)f(x). הגרף חותך את ציר ה-xxx בנקודות (−2,0)(-2,0)(−2,0) ו-(2,0)(2,0)(2,0), ואת ציר ה-yyy בנקודה (0,4)(0,4)(0,4), שהיא נקודת המקסימום של הפונקציה. נגדיר h(x)=1f(x)h(x)=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}h(x)=f(x)​1​.
y=f(x)
-4-3-2-11234-3-2-112345

א.

מצאו את תחום ההגדרה של hhh ואת האסימפטוטות של hhh המאונכות לצירים.

ב.

מצאו את נקודת הקיצון של hhh, וקבעו את סוגה.

שאלה 3 · אסימפטוטות של פונקציות עם שורששאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ax+7x2+4+2f(x)=\frac{ax+7}{\sqrt{x^2+4}}+2f(x)=x2+4​ax+7​+2, כאשר aaa פרמטר. הישר y=5y=5y=5 הוא אסימפטוטה אופקית של גרף הפונקציה כאשר x→∞x\to\inftyx→∞.

א.

מצאו את aaa, ומצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם כל אחת מהאסימפטוטות האופקיות, אם יש כאלה.

שאלה 4 · חקירת פונקציה עם שורש במכנהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1025−x2f(x)=\frac{10}{\sqrt{25-x^2}}f(x)=25−x2​10​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=10x(25−x2)25−x2f'(x)=\frac{10x}{(25-x^2)\sqrt{25-x^2}}f′(x)=(25−x2)25−x2​10x​.

ג.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k, kkk הוא פרמטר.

מהו הערך של kkk שבעבורו הישר y=5y=5y=5 משיק לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x)?

שאלה 5 · אסימפטוטות של פונקציות עם שורששאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+12x+3f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x}+3f(x)=2xx2+1​​+3.

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

שאלה 6 · אסימפטוטות של פונקציות עם שורששאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=6xx2+9+1f(x)=\frac{6x}{\sqrt{x^2+9}}+1f(x)=x2+9​6x​+1.

א.

מצאו את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה.

ב.

המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלו עם ציר ה-yyy חותך את שתי האסימפטוטות האופקיות בנקודות AAA ו-BBB. מצאו את אורך הקטע ABABAB.

שאלה 7 · חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכיתשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−1f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}f(x)=x2−1​x2​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה).

(4)

הראו כי הפונקציה היא זוגית.

(5)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבעו את סוגן.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-kg(x)=f(x)−k, kkk הוא פרמטר.

מהו הערך של kkk שבעבורו הישר y=−4y=-4y=−4 משיק לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x)?

שאלה 8 · פונקציה עם שורש ופרמטר: משיק דרך הראשיתשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=4a−x2f(x)=\frac{4}{\sqrt{a-x^2}}f(x)=a−x2​4​, a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

מצאו באמצעות aaa את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ג.

המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1 עובר דרך ראשית הצירים. מצאו את aaa.

ד.

הציבו a=2a=2a=2.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 9 · אסימפטוטות של פונקציות עם שורששאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=xx2−9f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}f(x)=x2−9​x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לציר ה-xxx.

שאלה 10 · ארבע אסימפטוטות של פונקציה עם שורש במכנהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה: h(x)=2−3xx2−4h(x)=2-\frac{3x}{\sqrt{x^2-4}}h(x)=2−x2−4​3x​.

מצאו את תחום ההגדרה של h(x)h(x)h(x) ואת משוואות כל האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

עוד 2 שאלות על אסימפטוטות של פונקציות עם שורש

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אסימפטוטות של אחד חלקי שורש של פונקציה ריבועית הנתונה בגרף (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה הריבועית $f(x)$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $(-2,0)$ ו- $(2,0)$ , ואת ציר ה- $y$ בנקודה $(0,4)$ , שהיא נקודת…
אסימפטוטות ומלבן הכלוא ביניהן (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x-3}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציית שורש: צמצום, חקירה וגרף של $- f (x + 2)$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(x-3)^2(x+2)}{\sqrt{x+2}}$ .
משוואות אי-רציונליות במהלך החקירה ובדיקת הפתרונות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3x-2}{\sqrt{x^2+5}}$ .
אסימפטוטות אופקיות של פונקציות שורש: שונות בפלוס ובמינוס אינסוף (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x-3}$ .
פונקציית שורש: נגזרת, קיצון כולל נקודות קצה ושיפוע משיק (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x+\sqrt{x^2-4}$ .
אסימפטוטות אנכיות של פונקציות שורש (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-ax+6}{\sqrt{x-2}}$ , $a$ הוא פרמטר.