מבחן לדוגמה: סדרה הנדסית - כיתה י"א 5 יח"ל

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום $x\ge-2$.

נתון כי $f(x)=x\sqrt{x+2}$ או $f(x)=-x\sqrt{x+2}$.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד, $(-2,5)$, ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד, $y=0$. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $(0,2)$.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)-4}$.

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ ($\angle ACB=90^\circ$).

אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית עולה שמנתה $q$. האיבר הראשון בסדרה הוא אורך הצלע הקצרה $BC$, ונתון $BC=2$.

הוכיחו כי הסדרה $a_n$ היא סדרה הנדסית.

מצאו את $a_2+a_6$.

מצאו את המנה $q$ של הסדרה A ואת האיבר הראשון $a_1$.

בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין-סופית B שאיבריה מקיימים $b_n=\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי.

הראו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית שמנתה $\frac19$, ומצאו את $b_1$.

הסבירו מדוע לסדרה B יש סכום, וחשבו אותו.

בונים סדרה C שאיבריה הם $\frac{k}{a_1\cdot a_2},\ \frac{k}{a_3\cdot a_4},\ \frac{k}{a_5\cdot a_6}, \ldots$, כאשר $k\ne0$ הוא פרמטר.

מצאו את מנת הסדרה ואת מספר האיברים בסדרה.

הראו כי סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול פי 3 מסכום האיברים במקומות האי-זוגיים.

הביעו באמצעות $n$ את סכום האיברים במקומות האי-זוגיים, $a_1+a_3+...+a_{2n-1}$.

הביעו באמצעות $n$ את סכום כל איברי הסדרה.

נסמן: $T=a_2-a_1+a_4-a_3+...+a_{2n}-a_{2n-1}$.

מצאו את $n$ שעבורו $T=3280$.

נתון: $a_2+a_4+\dots+a_{20}=4(a_1+a_3+\dots+a_{19})$.

מצאו את $q$.

האם הסדרה: $a_1^2, a_2^2, a_3^2, \ldots$ היא סדרה הנדסית? הוכיחו את תשובתכם.

מסמנים ב-$S_n$ את הסכום של $n$ האיברים הראשונים של הסדרה A. יהי $n$ מספר טבעי אי-זוגי. הוכיחו כי: $a_1^2+a_2^2+a_3^2+\ldots+a_n^2=S_n\cdot\left(a_1-a_2+a_3-\ldots+a_n\right)$.

נתון: $a_1=4$, $q=2$, ו-$n$ הוא מספר טבעי אי-זוגי. הסכום $a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2$ גדול פי 508 מן הסכום: $a_1-a_2+a_3-\ldots+a_n$. מצאו את $n$.

הביעו באמצעות $n$ את היתרה בחשבון מיד אחרי המשיכה ה-$n$.

כמה משיכות מלאות של $2{,}000$ ש"ח אפשר לבצע? כמה כסף יישאר בחשבון מיד אחרי המשיכה המלאה האחרונה? (עגלו לשקל.)