שאלות פתוחות: פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה לכיתה י"א ברמת 5 יחידות, עם מבחר גדול של שאלות. יש שאלות על מכפלת איברים במרחק שווה מהקצוות, על שלושה איברים ראשונים שמכפלתם וסכום ריבועיהם ידועים, על שלושה ביטויים עם x שהם איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ועל סדרות חדשות שבונים מסדרה נתונה ובודקים אם הן הנדסיות. רמות הקושי: קלה, בינונית וקשה. המורה יכול לבחור שאלות למבחן מסכם, לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

105 שאלותקלה: 32בינונית: 58קשה: 15

שאלה 1 · פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיהשאלה קצרה · קלה

ana_nan​ היא סדרה הנדסית שסימני איבריה מתחלפים, ו-a1>0a_1>0a1​>0. נתון: a3⋅a9=36a_3\cdot a_9=36a3​⋅a9​=36.

א.

מצאו את a1⋅a11a_1\cdot a_{11}a1​⋅a11​.

ב.

מצאו את a6a_6a6​.

שאלה 2 · פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיהשאלה קצרה · בינונית

בסדרה הנדסית עולה ana_nan​ שכל איבריה חיוביים, מכפלת שלושת האיברים הראשונים היא 216216216 וסכום הריבועים של שלושת האיברים הראשונים הוא 189189189.

מצאו את מנת הסדרה ואת שלושת האיברים הראשונים.

שאלה 3 · סדרה הנדסית בת $2 n$ איברים: המנה מתוך יחס סכומים, סדרה מתחלפת וסכום מכפלותשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה הנדסית בת 2n2n2n איברים: a1,a2,...,a2na_1, a_2, ..., a_{2n}a1​,a2​,...,a2n​, שמנתה qqq (q≠0q\neq0q=0, q≠1q\neq1q=1, q≠−1q\neq-1q=−1). נסמן ב-mmm את היחס בין סכום האיברים במקומות הזוגיים לסכום כל איברי הסדרה.

א.

הביעו את qqq באמצעות mmm.

ב.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם איברי הסדרה מתחלפים בסימנם (חיובי, שלילי, חיובי...).

ג.

נתון: m=32m=\frac32m=23​ ו-a2=6a_2=6a2​=6.

הביעו באמצעות nnn את הסכום U=a1a2+a3a4+...+a2n−1a2nU=a_1a_2+a_3a_4+...+a_{2n-1}a_{2n}U=a1​a2​+a3​a4​+...+a2n−1​a2n​.

שאלה 4 · סדרה הנדסית: תת-סדרת המקומות הזוגיים, סכום הופכיים ותנאי לשלושה איבריםשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית ana_nan​ שאיבריה: a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dotsa1​,a2​,a3​,… והמנה שלה qqq (q≠0q\neq0q=0).

א.

הראו שהאיברים במקומות הזוגיים a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \dotsa2​,a4​,a6​,… הם סדרה הנדסית, ומצאו (באמצעות a1a_1a1​ ו-qqq) את האיבר הראשון שלה ואת המנה שלה.

ב.

נתון: a2+a4+⋯+a20=4(a1+a3+⋯+a19)a_2+a_4+\dots+a_{20}=4(a_1+a_3+\dots+a_{19})a2​+a4​+⋯+a20​=4(a1​+a3​+⋯+a19​).

מצאו את qqq.

ג.

בונים סדרה חדשה: cn=1a2nc_n=\frac{1}{a_{2n}}cn​=a2n​1​, כלומר 1a2,1a4,1a6,…\frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_4}, \frac{1}{a_6}, \dotsa2​1​,a4​1​,a6​1​,…

הראו שלסדרה cnc_ncn​ יש סכום, והביעו אותו באמצעות a1a_1a1​.

ד.

נתונה הסדרה: 1a1,a1,a2\frac{1}{a_1}, a_1, a_2a1​1​,a1​,a2​.

(1)

האם ייתכן שסדרה זו חשבונית? נמקו.

(2)

האם ייתכן שסדרה זו הנדסית? אם כן, מצאו את a1a_1a1​.

שאלה 5 · פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיהשאלה קצרה · בינונית

המספרים x−2x-2x−2, x+1x+1x+1, 3x+33x+33x+3 הם (בסדר זה) שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית.

א.

מצאו את xxx ואת מנת הסדרה.

ב.

המספרים שבנתון הם האיברים a4,a5,a6a_4,a_5,a_6a4​,a5​,a6​ של הסדרה. מצאו את a1a_1a1​.

שאלה 6 · סדרת ההופכיים וסדרה מתחלפת: מנה מתוך שני סכומים אין-סופייםשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldotsa1​,a2​,a3​,… שמנתה qqq (q≠0q\neq0q=0, q≠±1q\neq\pm1q=±1). מן הסדרה A בונים את הסדרה B: 1a1,1a2,1a3,…\frac1{a_1},\frac1{a_2},\frac1{a_3},\ldotsa1​1​,a2​1​,a3​1​,…. בסדרה B מחליפים את הסימן של כל האיברים במקומות האי-זוגיים, וכך מתקבלת הסדרה C: −1a1,1a2,−1a3,1a4,…-\frac1{a_1},\frac1{a_2},-\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldots−a1​1​,a2​1​,−a3​1​,a4​1​,….

א.

הוכיחו שהסדרה C היא סדרה הנדסית, ומצאו את כל ערכי qqq שבעבורם לסדרה C יש סכום אין-סופי.

בסעיפים ב-ד נתון כי ∣q∣>1|q|>1∣q∣>1.

ב.

הביעו באמצעות a1a_1a1​ ו-qqq את הסכום SBS_BSB​ של הסדרה B ואת הסכום SCS_CSC​ של הסדרה C, ואחר כך הביעו את qqq באמצעות SBS_BSB​ ו-SCS_CSC​ בלבד.

ג.

נתון: SB=14S_B=\frac14SB​=41​, SC=−112S_C=-\frac1{12}SC​=−121​. מצאו את qqq ואת a1a_1a1​.

ד.

האם קיימת סדרה A (עם ∣q∣>1|q|>1∣q∣>1) שבעבורה SC=2SBS_C=2S_BSC​=2SB​? נמקו.

שאלה 7 · סדרה הנדסית בת $2 n$ איברים: מסכומי תת-הסדרות לסכום מתחלףשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה הנדסית בת 2n2n2n איברים: a1,a2,...,a2na_1, a_2, ..., a_{2n}a1​,a2​,...,a2n​, שבה a1=2a_1=2a1​=2 ומנת הסדרה היא q=3q=3q=3.

א.

הראו כי סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול פי 3 מסכום האיברים במקומות האי-זוגיים.

ב.

הביעו באמצעות nnn את סכום האיברים במקומות האי-זוגיים, a1+a3+...+a2n−1a_1+a_3+...+a_{2n-1}a1​+a3​+...+a2n−1​.

ג.

הביעו באמצעות nnn את סכום כל איברי הסדרה.

ד.

נסמן: T=a2−a1+a4−a3+...+a2n−a2n−1T=a_2-a_1+a_4-a_3+...+a_{2n}-a_{2n-1}T=a2​−a1​+a4​−a3​+...+a2n​−a2n−1​.

מצאו את nnn שעבורו T=3280T=3280T=3280.

שאלה 8 · פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיהשאלה קצרה · בינונית

בסדרה הנדסית ana_nan​ שכל איבריה חיוביים נתון: a2⋅a9=72a_2\cdot a_9=72a2​⋅a9​=72, a3⋅a6=18a_3\cdot a_6=18a3​⋅a6​=18.

א.

מצאו את מנת הסדרה ואת a1a_1a1​.

ב.

מצאו את a5⋅a8a_5\cdot a_8a5​⋅a8​ בלי לחשב את a5a_5a5​ ואת a8a_8a8​ בנפרד.

שאלה 9 · סדרה הנדסית חיובית: יחס סכומים, מכפלת איברים ומציאת הסדרהשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldotsa1​,a2​,a3​,…, ומנתה qqq. לכל nnn טבעי נסמן: SnS_nSn​ - סכום nnn האיברים הראשונים; Rn=1a1+1a2+…+1anR_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}Rn​=a1​1​+a2​1​+…+an​1​; Pn=a1⋅a2⋅…⋅anP_n=a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_nPn​=a1​⋅a2​⋅…⋅an​ - מכפלת nnn האיברים הראשונים.

א.

הביעו את SnRn\frac{S_n}{R_n}Rn​Sn​​ באמצעות a1a_1a1​ ו-ana_nan​ בלבד.

ב.

הביעו את PnP_nPn​ באמצעות a1a_1a1​, ana_nan​ ו-nnn.

ג.

ידוע כי עבור nnn מסוים: SnRn=64\frac{S_n}{R_n}=64Rn​Sn​​=64 ו-Pn=215P_n=2^{15}Pn​=215. מצאו את nnn.

ד.

נתון בנוסף כי עבור אותו nnn: Sn=62S_n=62Sn​=62. מצאו את a1a_1a1​ ואת qqq (את כל האפשרויות).

שאלה 10 · סדרה הנדסית: מנה משני איברים, סוג הסדרה וסכום סדרת ההופכייםשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא ana_nan​ ומנתה היא qqq. נתון: a2=6a_2=6a2​=6, a4=54a_4=54a4​=54.

א.

מצאו את qqq (שתי אפשרויות).

ב.

נתון גם כי a1<0a_1<0a1​<0.

(1)

מצאו את qqq ואת a1a_1a1​.

(2)

קבעו אם הסדרה A עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת. נמקו.

ג.

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין-סופית B באופן הזה: 1a1,1a2,1a3,1a4,…\frac1{a_1},\frac1{a_2},\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldotsa1​1​,a2​1​,a3​1​,a4​1​,….

הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

ד.

הסבירו מדוע לסדרה B יש סכום אין-סופי, ומצאו אותו.

עוד 54 שאלות על פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
שלושה מספרים הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית עולה, וסכומם $26$ . אם מוסיפים $1$ למספר הראשון, $6$ למספר השני ו- $3$ למספר השלישי, מתקבלים…
שוויון 'סכום המנות = מנת הסכומים': לאילו מנות הוא אפשרי (שאלה מלאה · קשה)
נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות מתכנסות A ו-B, שכל איבריהן שונים מ-0, עם מנות $q_A$ ו- $q_B$ בהתאמה. הסדרה…
סדרה הנדסית נתונה: סדרת ההופכיים ויחס הסכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1,a_2,a_3,\ldots$ , שבה $a_1=3$ והמנה $q=2$ . נסמן ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים של A, וב- $R_n$ את…
סדרה הנדסית מתחלפת: סכומי תת-סדרות, סדרת הופכיים ותנאי לשלושה איברים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית $a_n$ שאיבריה: $a_1, a_2, a_3, \dots$ והמנה שלה $q$ .
סדרת הריבועים של סדרה הנדסית מתכנסת: המנה כפונקציה של הסכום (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ ( $q\neq0$ , $a_1\neq0$ ). נסמן ב- $S$ את הסכום של כל איברי $A$ .…
סדרת מנות של שתי סדרות הנדסיות: התכנסות, סכום ושוויון סכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות. בסדרה A האיבר הראשון הוא $a_1=4$ והמנה היא $q_A=-\frac12$ . בסדרה B האיבר הראשון הוא $b_1=2$ והמנה היא…
סדרה הנדסית בת $3 n$ איברים: סכומים לפי שארית המקום בחלוקה ב-3 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית בת $3n$ איברים: $a_1, a_2, ..., a_{3n}$ . מנת הסדרה היא $q$ .
סדרת המכפלות וסדרת הסכומים של סדרה הנדסית: יחס הסכומים האינסופיים לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
הסדרה A היא סדרה הנדסית אין-סופית שבה $a_1=1$ , ומנתה $q$ מקיימת $-1<q<1$ , $q\neq0$ . הסדרות B ו-C מוגדרות לכל $n$ טבעי באופן הזה:…
הסדרה $a_{n} \cdot q^{n - 1}$ כשהאיבר הראשון נתון: מנה, התכנסות וסכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ שהאיבר הראשון שלה $a_1=2$ ומנתה $q$ ( $q\neq0$ ). בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא…
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית בת $2n$ איברים: $a_1, a_2, ..., a_{2n}$ , שבה $a_1=4$ ומנת הסדרה היא $\frac12$ . נסמן:…
סדרה הנדסית בת $2 n + 1$ איברים: סכומים במקומות זוגיים ואי-זוגיים ומכפיל כפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית שבה $2n+1$ איברים חיוביים ( $n$ הוא מספר טבעי): $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ . סכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים, ללא…
סדרה הנדסית עם $q = - \frac{1}{2}$ : סדרת מכפלות, מונוטוניות וסכומים (שאלה מלאה · קלה)
הסדרה A היא סדרה הנדסית שבה $a_1=1$ והמנה היא $q=-\frac12$ . הסדרה B מוגדרת לכל $n$ טבעי באופן הזה: $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$ .
סדרה הנדסית: מכפלת האיברים הצמודים לאיבר האמצעי, סדרת ההופכיים וסכום אין-סופי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ .
סדרה הנדסית: יחס בין סכום B לסכום תת-הסדרה שלה, כפונקציה של המנה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ , האיבר הראשון שלה $a_1\ne0$ ומנתה $q$ , כאשר $q\ne0$ , $q\ne1$ , $q\ne-1$ .…
סדרה הנדסית בת $2 n + 1$ איברים וסדרה נגזרת אין-סופית - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית שבה $2n+1$ איברים חיוביים ( $n$ הוא מספר טבעי): $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ . סכום איברי הסדרה ללא האיבר הראשון גדול פי 2 מסכום…
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית סופית בת 9 איברים: $a_1,a_2,\ldots,a_9$ , שמנתה $q$ .
סדרה הנדסית עולה וסדרת הריבועים שלה: מערכת סכומים ותחום הערכים האפשריים (שאלה מלאה · קשה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה, ומנתה $q$ מקיימת $-1<q<1$ , $q\neq0$ . $d_n$ היא הסדרה המקיימת $d_n=a_n^2$ לכל $n$ טבעי. נסמן ב- $S_a$ …
סדרה הנדסית: סדרת הופכי מכפלות וסכום אין-סופי - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ . נתון: $a_2=-6$ , $a_5=162$ .
סדרה הנדסית: סדרת הריבועים, סכום מתחלף ותת-סדרה במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ומנתה היא $q$ . כל איברי הסדרה A שונים מאפס.
סדרה הנדסית מתחלפת, $b_{n} = \frac{k ^{2 n}}{a _{n}}$ : טווח הסכום ופרמטר שבעבורו האיברים שנמחקו הם שליש מהסכום (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה $a_1,a_2,\ldots,a_{2m}$ ( $m$ טבעי, $m>1$ ). נתון: $a_1=3$ . סכום האיברים שבמקומות הזוגיים בסדרה הוא פי $(-2)$ …
סדרות הנדסיות אין-סופיות עם אותה מנה: מונוטוניות, סכום וסכומים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה מלאה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שבה $a_1=-6$ , ומנתה $q$ מקיימת $0<q<1$ . $b_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שבה $b_1=9$ , וגם מנתה היא $q$ . לכל…
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית $a_1,a_2,a_3,\ldots$ שמנתה $q$ וכל איבריה שונים מאפס. נגדיר סדרה חדשה: $c_n=a_n\cdot a_{n+1}$ (לכל $n$ טבעי).
סדרת הזנבות של סדרה הנדסית אין-סופית: מנה, בעיה הפוכה עם פסילה, סכום מתחלף (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית $a_n$ שכל איבריה חיוביים, ויש לה סכום. מנת הסדרה היא $q$ . לכל $n$ טבעי, $b_n$ הוא הסכום של כל איברי הסדרה $a_n$ …
סדרה הנדסית שלילית, סדרת ההפכיים וסכום האיברים במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה $a_1,a_2,a_3,\ldots$ . כל איברי הסדרה A שליליים. נתון: $a_1=-\frac12$ , $a_5=81a_1$ .
סדרות הנדסיות אינסופיות: סדרת המכפלות, מונוטוניות, סדרה חשבונית ושוויון סכומים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות מתכנסות A ו-B, שכל איבריהן שונים מ-0. האיבר הכללי של הסדרה A הוא $a_n$ ומנתה היא $q_A$ . האיבר הכללי של…
סדרה הנדסית שבה $a_{4} \cdot a_{9} = 1$ : סימן המנה, זוגות הפכיים ומכפלה מקסימלית (שאלה מלאה · קשה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה $q$ , $q\neq1$ . נתון: $a_4\cdot a_9=1$ .
סדרות הנדסיות: מכפלה של שתי סדרות עולות וסכום אין-סופי (שאלה מלאה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה $\frac15$ . $b_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה $\frac35$ , ו- $b_1=a_1$ . $c_n$ היא הסדרה…
סדרות הנדסיות אינסופיות: סדרת ההפרשים $a_{2 n - 1} - a_{2 n}$ , התכנסות ומונוטוניות, יחס סכומים וסכום חלקי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ ( $q\neq1$ ). בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא…
מכפלת n האיברים הראשונים בסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים: $a_1,a_2,a_3,\ldots$ , ומנתה $q$ . לכל $n$ טבעי נסמן: $P_n=a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n$ - מכפלת $n$ …
סדרה הנדסית אין-סופית וסדרת סכומי זוגות עוקבים: מנה, סכום, סדרה קבועה וסכום מתחלף (שאלה מלאה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שבה $a_1=12$ ו- $q=\frac13$ .
סדרה הנדסית עם מנה שלילית: מכפלת איברים עוקבים, מונוטוניות, סכום אינסופי וסכום מאמצע הסדרה (שאלה מלאה · בינונית)
הסדרה A היא סדרה הנדסית שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\ldots$ ומנתה היא $q$ , $-1<q<0$ . נתון: $a_1=2$ . הסדרה B מוגדרת לכל $n$ טבעי באופן הזה:…
סדרת המכפלות של איברים סמוכים: מנה, סימן ומונוטוניות (שאלת ביניים · קשה)
הסדרה A היא סדרה הנדסית שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\ldots$ ומנתה היא $q$ , $-1<q<0$ . נתון: $a_1=2$ . הסדרה B מוגדרת לכל $n$ טבעי באופן הזה:…
סדרה הנדסית אין-סופית: סכומי המקומות האי-זוגיים והזוגיים, סדרת ההפכיים ואינדוקציה (שאלה מלאה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שסכומה מתכנס, והאיבר הראשון שלה הוא $a_1=8$ . נסמן ב- $q$ את המנה של הסדרה, ב- $T$ את סכום האיברים…
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
הסדרה A היא סדרה הנדסית שבה $a_1=2$ והמנה היא $3$ .
סדרה הנדסית עם מנה 2: איבר אמצעי ומכפלת איברים (שאלה מלאה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית שהמנה שלה $q=2$ . נתון: $a_2\cdot a_8=64$ .
סדרה הנדסית בת $3 n$ איברים, סדרה נגזרת וסכומים אין-סופיים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית שבה: $3n$ איברים ( $n$ הוא מספר טבעי). כל איברי הסדרה: $a_1,a_2,a_3,\dots,a_{3n}$ הם חיוביים. סכום איברי הסדרה ללא שני…
שאלות קצרות מודרכות: זוגיות, סדרה הנדסית, טור אינסופי ואינטגרל של הזזה (שאלה מלאה · קלה)
השאלה כוללת ארבעה סעיפים בלתי תלויים, א-ד.
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית בת 20 איברים חיוביים. סכום איברי הסדרה ללא שלושת האיברים הראשונים גדול פי 8 מסכום איברי הסדרה ללא שלושת האיברים האחרונים.
סדרה הנדסית: סדרות של מכפלות איברים, מונוטוניות וסכום אין-סופי עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ . נתון: $a_1-3a_3=12$ , $\frac{a_5}{a_3}=\frac19$ .
סדרות הנדסיות אין-סופיות: סימן האיברים, צירוף של סדרות עם אותה מנה, סכומים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שמנתה היא $q$ , $0<q<1$ .
סדרה הנדסית מתחלפת סימן, סדרה $b_{n} = a_{n} \cdot k^{n}$ , תנאי התכנסות ומחיקת כל איבר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ובה $m$ איברים ( $m$ הוא מספר טבעי גדול מ-2). נתון: הסימנים של איברי הסדרה A מתחלפים…
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית בת $m$ איברים ( $m$ טבעי, $m>2$ ), שכל איבריה חיוביים. סכום $m-2$ האיברים האחרונים בסדרה קטן פי 4 מסכום $m-2$ האיברים…
סדרות הנדסיות: סדרת המכפלות, מונוטוניות וסכומים אין-סופיים (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה היא $q$ . $b_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה היא $4q$ . $c_n$ היא סדרה אין-סופית שאיבריה…
סדרות הנדסיות: תחום המנה, השוואת סכום המכפלות למכפלת הסכומים ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה $q$ . $b_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה $3q$ , ו- $b_1=2a_1$ . לשתי הסדרות יש סכום. $c_n$ …
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית שבה $a_1=3$ והמנה היא 2. הסדרה $d_n$ מוגדרת לכל $n$ טבעי כך: $d_n=a_n\cdot a_{n+1}$ .
סדרה הנדסית מתחלפת בסימן וסדרת $a_{n} - a_{n + 1} + a_{n + 2}$ : מנה, סכום אין-סופי, סדרה קבועה וסכום מתחלף (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שאיבריה מתחלפים בסימן, והערך המוחלט של כל איבר בה קטן מהערך המוחלט של האיבר שלפניו. מנת הסדרה היא $q$ .
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית שמנתה $q$ ( $q\neq0$ ). לכל $n$ טבעי מגדירים $b_n=a_n\cdot a_{n+2}$ .
סדרה הנדסית שבה $a_{2} \cdot a_{10} = 9$ : איבר אמצעי, איברים מתאימים ומכפלת איברים (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה היא $q$ . $|q|\neq1$ . נתון: $a_2\cdot a_{10}=9$ .
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה הנדסית $a_n$ נתון: $a_2\cdot a_{12}=25$ ו- $a_7<0$ .
ארבעה סעיפים קצרים: משולש חסום, פולינום יורד, גרף הנגזרת וסדרת מכפלות (שאלה מלאה · בינונית)
כמה משולשים ישרי זווית כאלה יש, אם הצלע שאורכה 6 ס"מ קבועה במקומה במעגל?
שאלות קצרות: זוגיות מגרף, סדרה הנדסית, טור הנדסי טריגונומטרי ואינטגרל של הזזה (שאלה מלאה · בינונית)
השלימו את הסרטוט אם הפונקציה היא זוגית.
פעולות על סדרה הנדסית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה הנדסית יש $11$ איברים, וכל איבריה חיוביים. מכפלת כל האיברים היא $2^{22}$ .
צירוף של שתי סדרות הנדסיות בעלות אותה מנה (שאלה קצרה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שמנתה היא $q$ , $0<q<1$ .
סדרת ההופכיים של סדרה הנדסית והיחס בין הסכומים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1,a_2,a_3,\ldots$ , שבה $a_1=3$ והמנה $q=2$ . נסמן ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים של A, וב- $R_n$ את…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

סדרה הנדסית: סכומי תת-סדרות, סדרת הופכיים מתכנסת ותנאי לשלושה איברים · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית $a_n$ שאיבריה: $a_1, a_2, a_3, \dots$ והמנה שלה $q$ .
סדרה הנדסית בת $2 n$ איברים: סכומי המקומות הזוגיים והאי-זוגיים · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 5
נתונה סדרה הנדסית בת $2n$ איברים: $a_1, a_2, ..., a_{2n}$ . מנת הסדרה היא $q$ .
סדרה הנדסית: מכפלת האיברים האמצעיים, סדרת ההופכיים וסכום אין-סופי · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ .
סדרה הנדסית: סדרת ההופכיים, יחס סכומים וסדרה עם סימנים מתחלפים · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ומנתה היא $q$ . כל איברי הסדרה A שונים מאפס.
סדרות הנדסיות אינסופיות: סדרת המנות, מונוטוניות, סדרה חשבונית ושוויון סכומים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 2
נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות מתכנסות A ו-B, שכל איבריהן שונים מ-0. האיבר הכללי של הסדרה A הוא $a_n$ ומנתה היא $q_A$ . האיבר הכללי של הסדרה B הוא $b_n$ …
סדרות הנדסיות אינסופיות: הסדרה $a_{n} \cdot q^{n - 1}$ , התכנסות ומונוטוניות, יחס סכומים וסכום חלקי · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ . בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $b_n=a_n\cdot q^{n-1}$ .
סדרה הנדסית עם מנה שלילית: סדרת מכפלות, מונוטוניות, סכום אינסופי וסכום מאמצע הסדרה · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2
הסדרה A היא סדרה הנדסית שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\ldots$ ומנתה היא $q$ , $-1<q<0$ . נתון: $a_1=1$ . הסדרה B מוגדרת לכל $n$ טבעי באופן הזה: $b_n=a_n\cdot a_{n+2}$ .
סדרה הנדסית בת $2 n + 1$ איברים, סדרה נגזרת וסכומים אין-סופיים במקומות זוגיים ואי-זוגיים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית שבה: $2n+1$ איברים ( $n$ הוא מספר טבעי). כל איברי הסדרה: $a_1,a_2,a_3,\dots,a_{2n+1}$ הם חיוביים. סכום איברי הסדרה ללא שני האיברים הראשונים…
סדרה הנדסית: סדרות של הופכי מכפלות איברים, מונוטוניות וסכום אין-סופי עם פרמטר · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ . נתון: $2a_2+8=a_4$ , $\frac{a_4}{a_2}=4$ .
סדרות הנדסיות אין-סופיות: סימן האיברים, צירוף של סדרות עם אותה מנה, סכומים במקומות זוגיים ואי-זוגיים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 2
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה היא $q$ , $0<q<1$ .
סדרה הנדסית שלילית, סדרה $b_{n} = \frac{k ^{n}}{a _{n}}$ , תנאי התכנסות ומחיקת כל איבר שלישי · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ובה $m$ איברים ( $m$ הוא מספר טבעי גדול מ-4). נתון: כל איברי הסדרה A הם שליליים. סכום $m-4$ האיברים…
סדרות הנדסיות: סדרת המכפלות, מונוטוניות וסכומים אין-סופיים · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה היא $q$ . $b_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה היא $2q$ . $c_n$ היא סדרה אין-סופית שאיבריה מקיימים…
סדרה הנדסית יורדת וסדרת הסכומים של שלושה איברים עוקבים: מנה, סכום אין-סופי, סדרה קבועה וסכום מתחלף · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שכל איבריה חיוביים ומנתה היא $q$ .
סדרה הנדסית שבה $a_{3} \cdot a_{7} = 1$ : איבר אמצעי, איברים הפוכים ומכפלת איברים · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה היא $q$ . $|q|\neq1$ . נתון: $a_3\cdot a_7=1$ .
פרק ראשון: משולש חסום, פולינום מונוטוני, גרף הנגזרת וסדרה הנדסית הפוכה · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה 1.
שאלות קצרות: זוגיות מגרף, סדרה הנדסית, טור הנדסי טריגונומטרי ואינטגרל של הזזה · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מארבעת הסעיפים א-ד.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (25)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

תהליך מעריכי: שינוי ביחס קבוע או באחוז קבוע (שאלה קצרה · קלה)
בתרבית מעבדה מספר החיידקים גדל ב-20% בכל שעה.
שאלות המשלבות סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
בסדרה הנדסית שאיבריה שונים מאפס, שלושת האיברים הראשונים $a_1, a_2, a_3$ מהווים (באותו סדר) גם סדרה חשבונית.
הוכחה שסדרה היא הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית $a_n$ שבה $a_1=5$ והפרש הסדרה הוא $d=-2$ . מגדירים סדרה חדשה: $c_n=3^{a_n}$ .
שאלות המשלבות סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
שלושה מספרים מהווים סדרה חשבונית שסכומה $15$ . אם מוסיפים למספר הראשון $1$ , למספר השני $4$ ולמספר השלישי $19$ ,…
כל איבר הוא ממוצע הנדסי של שכניו (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית שאיבריה שונים מאפס. נתון: $a_3\cdot a_9=36$ .
כל איבר הוא ממוצע הנדסי של שכניו (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה הנדסית נתון: $a_1\cdot a_5=36$ , $a_2+a_4=-15$ .
כל איבר הוא ממוצע הנדסי של שכניו (שאלה קצרה · קלה)
סדרה שכל איבריה שונים מאפס מקיימת $(a_{n+1})^2=a_n\cdot a_{n+2}$ לכל $n\ge 1$ . נתון: $a_1=3$ , $a_3=12$ , וסימני…
כל איבר הוא ממוצע הנדסי של שכניו (שאלה קצרה · קלה)
המספרים $x-1$ , $x+1$ , $3x-1$ הם, בסדר זה, שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית.
כל איבר הוא ממוצע הנדסי של שכניו (שאלה קצרה · בינונית)
שלושה מספרים $a$ , $b$ , $c$ הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית. נתון: $a+b+c=14$ ו- $a^2+b^2+c^2=84$ .
סדרה עולה, יורדת, קבועה ומתחלפת סימן (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית יורדת $a_n$ שכל איבריה שליליים. מגדירים שלוש סדרות חדשות: I. $b_n=a_n^2$ II.…
סכום n האיברים הראשונים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה הנדסית שאיבריה ממשיים ומנתה $q$ , סכום $n$ האיברים הראשונים הוא $S_n=10$ , וסכום $2n$ האיברים הראשונים הוא…
הקשר בין האיבר הכללי לסכום: aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ (שאלה קצרה · קלה)
סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה נתון לכל $n\ge1$ על ידי $S_n=2\cdot3^n-2$ .
הוכחה שסדרה היא הנדסית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית $a_n$ שבה $a_1=2$ והמנה היא $-3$ . מגדירים סדרה חדשה $b_n=a_{2n-1}\cdot a_{2n}$ , כלומר…
הוכחה שסדרה היא הנדסית (שאלה קצרה · קשה)
סדרה מוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי $a_n=p\cdot2^n+r\cdot3^n$ , כאשר $p$ ו- $r$ מספרים ממשיים שאינם שניהם אפס.
הוכחה שסדרה היא הנדסית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית $a_n$ שמנתה $q$ ( $q\ne0$ , $a_1\ne0$ ). מגדירים סדרה חדשה: $b_n=a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n$ .
הוכחה שסדרה היא הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית $a_n$ שמנתה $q$ ( $q\ne0$ , $a_1\ne0$ ). מחליפים את הסימן של כל איבר הנמצא במקום זוגי, ומתקבלת…
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית $a_n$ שמנתה $q>0$ . מגדירים סדרה חדשה של סכומי זוגות: $b_n=a_{2n-1}+a_{2n}$ , כלומר…
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית $a_n$ שמנתה $q$ ( $q\ne0$ , $a_1\ne0$ ). מגדירים סדרה חדשה: $c_n=\frac{a_{2n}}{a_n}$ .
בעיות מחיי היום-יום בסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
הייצור השנתי של מפעל גדל בכל שנה באותו אחוז. בשנתיים הראשונות יחד ייצר המפעל 21,000 יחידות, ובארבע השנים…
שאלות המשלבות סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית $A$ שהפרשה $d\ne0$ ואיברה הראשון $a_1=4$ . האיברים $a_1$ , $a_3$ , $a_7$ (בסדר זה) הם שלושת…
שאלות המשלבות סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
שלושה מספרים שונים $a$ , $b$ , $c$ (בסדר זה) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית. המספרים $c$ , $a$ , $b$ (בסדר…
שאלות המשלבות סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
המספרים $a$ , $b$ , $c$ (השונים מאפס) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, והמספרים $a$ , $2b$ , $3c$ הם שלושה…
סדרה הנדסית וחשבונית: כמה שבועות צריך לאסוף (שאלה מלאה · קלה)
שתי כיתות אספו בקבוקים ריקים והעבירו אותם למחזור תמורת כסף, כדי לממן מסיבת סיום. הכיתה הראשונה אספה בקבוקים…
סדרה הנדסית וחשבונית: פסטיבל אוכל ותרומה יורדת (שאלה מלאה · קלה)
פסטיבל אוכל נמשך 6 ימים. בכל יום נמכרו בפסטיבל פי $q$ מנות מאשר ביום שלפניו ( $q$ קבוע). בשלושת הימים הראשונים…
תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $a_n$ , שאיברה הראשון הוא $a_1=5$ ומנתה היא $q$ , כאשר $0<|q|<1$ . מגדירים סדרה חדשה:…