שאלות פתוחות: חישוב צלע במשולש ישר-זווית - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על חישוב צלע במשולש ישר-זווית בעזרת טריגונומטריה, לכיתה י"א, 5 יחידות, מתוך בעיות מעגל ברמת בגרות. בשאלות מבטאים אורכים בעזרת רדיוס וזווית בשרטוטים של שני משיקים מנקודה חיצונית, של משיק וחותך, של מלבן שצלעותיו משיקות למעגל, ושל משולש חסום שאחת מצלעותיו קוטר. רוב השאלות קלות ובינוניות. מתאים לחזרה על טריגונומטריה בסיסית לפני הבגרות; אפשר לבחור מהשאלות לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

48 שאלותקלה: 18בינונית: 25קשה: 5

שאלה 1 · שני משיקים למעגל: מרובע בר-חסימה, אורכים באמצעות $α$ ומשוואה עם זווית כפולהשאלה מלאה · קלה

DBDBDB ו-DCDCDC משיקים למעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, כמתואר בסרטוט. המשך BDBDBD חותך את המשך OCOCOC בנקודה AAA. נסמן: ∢DBC=α\sphericalangle DBC=\alpha∢DBC=α.
OBCDA

א.

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBDCOBDCOBDC, ומדוע ODODOD הוא קוטר של המעגל החוסם אותו.

ב.

הראו כי ∢BOD=α\sphericalangle BOD=\alpha∢BOD=α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את ODODOD ואת DBDBDB.

ג.

הסבירו מדוע ∢OAB=90∘−2α\sphericalangle OAB=90^\circ-2\alpha∢OAB=90∘−2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את OAOAOA.

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורה OA=2⋅ODOA=2\cdot ODOA=2⋅OD.

שאלה 2 · משיק בקצה הקרוב של הקוטר: אורכים בפרמטר, F אינה אמצע, בעיה הפוכה ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O). המשיק למעגל בנקודה C חותך את הקטע AB בנקודה F (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
OABCDF

א.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורכי הקטעים FB ו-AF.

ב.

הוכיחו כי לכל ערך של α\alphaα הנקודה F אינה אמצע הקטע AB, וקבעו איזה מהקטעים AF ו-FB ארוך יותר.

ג.

נתון: AF=3FBAF=3FBAF=3FB.

מצאו את α\alphaα ואת היחס ACR\frac{AC}{R}RAC​.

ד.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס בין שטח המשולש AFC לשטח המשולש BCD, וחשבו אותו בעבור הנתון של סעיף ג.

שאלה 3 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: מתי הנקודה קיימת והאם היא הקרובה או הרחוקהשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D. הנקודה B נמצאת על המעגל, ונתון: AB=3RAB=\sqrt3RAB=3​R. נסמן: ∠AOD=α\angle AOD=\alpha∠AOD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.

א.

הביעו את cos⁡β\cos\betacosβ באמצעות α\alphaα.

ב.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שבעבורם יש על המעגל נקודה B כזו.

ג.

קבעו, לפי α\alphaα, מתי הישר AB משיק למעגל, מתי B היא נקודת החיתוך של הישר עם המעגל הקרובה יותר ל-A, ומתי היא הרחוקה יותר.

ד.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו rrr. נתון: Rr=65\frac{R}{r}=\frac65rR​=56​.

מצאו את α\alphaα ואת β\betaβ, וקבעו אם B היא נקודת החיתוך הקרובה יותר ל-A או הרחוקה יותר.

שאלה 4 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן: חישוב זוויות ואורכיםשאלה מלאה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות בנקודות EEE ו-KKK בהתאמה למעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 6. הקודקוד CCC נמצא על המעגל, ו-∢KCD=15∘\sphericalangle KCD=15^\circ∢KCD=15∘ (ראו סרטוט).
ABCDEKO

א.

הוכיחו כי המרובע AEOKAEOKAEOK הוא ריבוע, ומצאו את ∢KCE\sphericalangle KCE∢KCE.

ב.

היעזרו במשפט על הזווית שבין משיק למיתר, ומצאו את הזוויות של המשולש KCEKCEKCE.

ג.

המעגל הנתון הוא המעגל החוסם את המשולש KCEKCEKCE. חשבו את אורכי הצלעות KEKEKE, CKCKCK ו-CECECE.

ד.

חשבו את ∢ECB\sphericalangle ECB∢ECB, את האורך EBEBEB ואת אורך הצלע ABABAB.

שאלה 5 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: הזווית שבנקודה A ויחס בין החותך למשיקשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בשתי נקודות: C (הקרובה ל-A) ו-B, כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠OAD=α\angle OAD=\alpha∠OAD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.
OABCD

א.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα, β\betaβ ו-RRR, אם יש צורך, את: אורך הקטע AO.

(2)

אורך הקטע AB.

ב.

נתון: AB=2⋅ADAB=\sqrt2\cdot ADAB=2​⋅AD.

הוכיחו כי: cos⁡β=3sin⁡2α−12sin⁡α\cos\beta=\frac{3\sin^2\alpha-1}{2\sin\alpha}cosβ=2sinα3sin2α−1​.

ג.

משולש ADO חסום במעגל אחר, שרדיוסו rrr. נתון: Rr=43\frac{R}{r}=\frac43rR​=34​.

מצאו את גודלי הזוויות α\alphaα ו-β\betaβ.

שאלה 6 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מיקום הנקודה E לפי הזווית ומתי הזווית OEG קההשאלה מלאה · קשה

משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR, והצלע BD היא קוטר המעגל. נסמן ∠CDB=α\angle CDB=\alpha∠CDB=α.
E היא נקודה על הקוטר BD, שונה מ-B, כך ש-CE=CBCE=CBCE=CB (ראו סרטוט).
BCDOEG

א.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורכי הקטעים BE ו-ED.

ב.

מצאו את כל ערכי α\alphaα שבעבורם הנקודה E נמצאת בין O ל-D (ואינה מתלכדת עם אחת מהן).

ג.

נתון ששטח המשולש CED הוא 20% משטח המשולש BCD. מצאו את α\alphaα.

ד.

מעבירים רדיוס OG, המקביל לצלע CD, כמתואר בסרטוט.

מצאו את כל ערכי α\alphaα מהתחום שמצאתם בסעיף ב, שבעבורם הזווית OEG קהה.

שאלה 7 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: משפט הקוסינוסים ומעגל חוסםשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בנקודה B (B היא נקודת החיתוך הקרובה ל-A), כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠AOD=α\angle AOD=\alpha∠AOD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.
OABD

א.

הראו כי AO=Rcos⁡αAO=\frac{R}{\cos\alpha}AO=cosαR​, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע AD.

ב.

נתון: α=60∘\alpha=60^\circα=60∘.

הראו כי AB=R5−4cos⁡βAB=R\sqrt{5-4\cos\beta}AB=R5−4cosβ​.

ג.

נתון גם: AB=2RAB=\sqrt2RAB=2​R.

מצאו את גודל הזווית β\betaβ.

ד.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו rrr.

הביעו את rrr באמצעות RRR.

שאלה 8 · בעיית קיצון טריגונומטרית: גדר דרך עמוד בפינה של שני קירותשאלה מלאה · בינונית

שני קירות ישרים, הניצבים זה לזה, נפגשים בפינה OOO. עמוד PPP נמצא במרחק aaa מהקיר OBOBOB ובמרחק bbb מהקיר OAOAOA (ראו סרטוט). מתכננים גדר ישרה שעוברת דרך העמוד PPP, ומחברת את הנקודה AAA שעל קיר אחד עם הנקודה BBB שעל הקיר השני, כך שנוצרת חלקה משולשת OABOABOAB. הגדר יוצרת זווית שגודלה xxx עם הקיר OAOAOA (x=∠OABx=\angle OABx=∠OAB).
OPAB

א.

הביעו באמצעות aaa, bbb ו-xxx את שטח החלקה OABOABOAB.

ב.

נתון כי: a=2ba=2ba=2b.

מצאו את xxx שבעבורו שטח החלקה OABOABOAB יהיה מינימלי.

ג.

ידוע כי השטח המינימלי של החלקה הוא 36. מצאו את bbb.

שאלה 9 · תיכון וחותך מאונכים עם יחס פרמטרי: מתי הזווית B ישרה, ורדיוס המעגל החוסםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC, BDBDBD הוא תיכון לצלע ACACAC. הנקודה EEE נמצאת על הצלע BCBCBC. AEAEAE ו-BDBDBD נחתכים בנקודה PPP ומאונכים זה לזה (ראו סרטוט).
נתון: BP=n⋅PDBP=n\cdot PDBP=n⋅PD, כאשר n>0n>0n>0 הוא פרמטר.
נסמן: AB=kAB=kAB=k, ∠BAP=α\angle BAP=\alpha∠BAP=α.
ABCDEP

א.

הביעו באמצעות kkk, α\alphaα ו-nnn את אורכי הקטעים BDBDBD ו-ADADAD.

בסעיפים ב-ה נתון גם: ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘.

ב.

הביעו את tan⁡α\tan\alphatanα באמצעות nnn.

ג.

הביעו באמצעות kkk ו-nnn את רדיוס המעגל החוסם את המשולש AECAECAEC.

ד.

האם ייתכן שרדיוס המעגל החוסם את המשולש AECAECAEC שווה לאורך הצלע ABABAB? נמקו.

ה.

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש AECAECAEC הוא 324k\frac{3\sqrt2}{4}k432​​k. מצאו את nnn.

שאלה 10 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, $f^{''}$ , ערך מוחלט ודמיון במעגלשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

נתון השוויון: 2+6+12+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)32+6+12+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}2+6+12+…+n(n+1)=3n(n+1)(n+2)​.

(1)

בדקו שהשוויון מתקיים בעבור n=1n=1n=1 ובעבור n=2n=2n=2, וכתבו את האיבר שמתווסף לאגף השמאלי במעבר מ-n=kn=kn=k ל-n=k+1n=k+1n=k+1.

(2)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית שהשוויון מתקיים בעבור כל nnn טבעי.

ב.

בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה f′′(x)f''(x)f′′(x) של פונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל xxx. הגרף חותך את ציר ה-xxx בנקודות (a,0)(a,0)(a,0) ו-(b,0)(b,0)(b,0), והנקודה (c,e)(c,e)(c,e) היא נקודת המקסימום שלו.
abc(c,e)e

(1)

הביעו באמצעות aaa, bbb את תחומי העלייה והירידה של f′(x)f'(x)f′(x).

(2)

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו את סוגן.

נתונה פונקציה h(x)h(x)h(x) המקיימת h′(x)=f′′(x)−eh'(x)=f''(x)-eh′(x)=f′′(x)−e.

(3)

הראו שלפונקציה h(x)h(x)h(x) אין נקודות קיצון, ומצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הפיתול שלה.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4f(x)=x^2-4f(x)=x2−4, ונתונות הפונקציות g(x)=∣f(x)+1∣g(x)=|f(x)+1|g(x)=∣f(x)+1∣ ו-h(x)=∣f(x)∣+1h(x)=|f(x)|+1h(x)=∣f(x)∣+1.

(1)

מצאו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

(2)

מצאו את נקודות הקיצון של h(x)h(x)h(x), וקבעו את סוגן.

(3)

כמה נקודות חיתוך יש לישר y=4y=4y=4 עם גרף g(x)g(x)g(x), וכמה עם גרף h(x)h(x)h(x)? נמקו.

ד.

המרובע ABCD חסום במעגל, ו-AD הוא קוטר במעגל שאורכו 10. הנקודה F נמצאת על המשך הצלע CB, כך ש-FB⊥FAFB\perp FAFB⊥FA, כמתואר בסרטוט שלפניכם.
ABCDF

(1)

הסבירו מדוע ∠ACD=90∘\angle ACD=90^\circ∠ACD=90∘, ומדוע ∠ABF=∠ADC\angle ABF=\angle ADC∠ABF=∠ADC.

(2)

הוכיחו: △ACD∼△AFB\triangle ACD\sim\triangle AFB△ACD∼△AFB, וכתבו את התאמת הקודקודים.

נתון: ∠BDA=30∘\angle BDA=30^\circ∠BDA=30∘.

(3)

חשבו את האורך AB, ואת היחס בין שטח המשולש ACD ובין שטח המשולש AFB.

עוד 18 שאלות על חישוב צלע במשולש ישר-זווית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

בעיית קיצון טריגונומטרית: סכום ניצב וגובה במשולש ישר זווית (שאלה מלאה · בינונית)
הקטע AB הוא היתר במשולש ישר הזווית AFB, $\angle AFB=90^\circ$ , ו-FH הוא הגובה ליתר, כמתואר בסרטוט. ידוע כי $AF>BF$ . נתון: $\angle FAB=x$ .…
משיקים למעגל מנקודה: יחס שטחים כפונקציה של $cos 2 β$ ומתי זווית B ישרה (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל (ראו סרטוט).…
תיכון וחותך מאונכים במשולש: חישוב קטעים, שטח ויחס רדיוסים (שאלה מלאה · קלה)
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ ומאונכים זה לזה (ראו סרטוט). נתון:…
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במשולש חסום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $2+7+\ldots+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)^2}{2}$ .
נקודה נעה על בסיס משולש שווה-שוקיים: סכום קבוע, שטח מינימלי ומספר המעגלים ברדיוס נתון (שאלה מלאה · קשה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) אורך הבסיס הוא $BC=12$ . נסמן $\angle ABC=\alpha$ . הנקודה $E$ נעה על הבסיס $BC$ (שונה מ- $B$ ומ- $C$ ), ונסמן…
משולש ישר זווית ומשולש צמוד בנתונים מספריים: משפט הקוסינוסים ומרחק בין מרכזי המעגלים (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC ( $\angle ABC=90^\circ$ ), ובו $AB=6$ . על הצלע AC בנו משולש ACD כך ש-AC חוצה את הזווית BAD. נסמן…
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ , $AE$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $AP=4\cdot PE$ .…
משיקים למעגל מנקודה: צלע בעזרת $sin 2 β$ , שטח וצלע שלישית - בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, והנקודה C…
משולש ישר זווית ומשולש צמוד: משפט הקוסינוסים, מעגל חסום ומרחק בין מרכזי המעגלים (משולש 3-4-5) (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC ( $\angle ABC=90^\circ$ ). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש-AC הוא חוצה זווית BAD. נסמן:…
משולש שווה-שוקיים ואנכים מנקודה על הבסיס (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $BC$ כך ש- $BE=2\cdot EC$ . $ED$ מאונך לצלע $AC$ ו- $EM$ מאונך לצלע…
משיקים למעגל מנקודה ומשולש שווה-שוקיים: צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר…
טריגונומטריה במעגל: זווית ישרה, זווית מרכזית ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $6$ . מרכז המעגל נמצא על הצלע $AB$ , והמשך הצלע $AB$ פוגש את המעגל בנקודה…
משולש ישר-זווית ואנכים מנקודה על היתר: סכום שטחים, $sin 2 α$ ומעגל חוסם (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש ישר-זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ). הנקודה $E$ נמצאת על היתר $BC$ כך ש- $BE=2\cdot EC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הניצב…
משיקים וקוטר במעגל: זוויות ואורך משיק במספרים (שאלה מלאה · קלה)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ , $AF$ הוא קוטר ו- $B$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ והמשיק למעגל בנקודה $F$ נפגשים בנקודה $E$ . נתון:…
שאלות קצרות: משיקים בזווית $12 0^{\circ}$ ויחס שטחים, פרמטר בהסתברות של פריטים במפעל, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (πn)$ (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AOB$ משטח המשולש $AKB$ .
שאלות קצרות: יחס שטחים כשאורך המשיק נתון, פרמטר בהסתברות של שני חצים, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (\frac{4 ^{n} π}{3})$ (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AKB$ משטח המשולש $AOB$ .
שני משיקים שנפגשים על המשך הקוטר: זוויות, אורך משיק ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . $AF$ הוא קוטר במעגל, והמשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נפגשים…
אורך משיק מזווית בין משיקים (שאלה קצרה · בינונית)
מהנקודה $E$ יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 5. המשיקים נוגעים במעגל בנקודות $B$ ו- $F$ , ו- $\angle BEF=100^\circ$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן ועובר דרך הקודקוד הנגדי: זוויות, משפט הסינוסים וזהויות · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
המרובע $ABCD$ הוא מלבן ששניים מצלעותיו, $AB$ ו- $AD$ , משיקות למעגל שרדיוסו $R$ בנקודות $E$ ו- $K$ בהתאמה. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
משיק וחותך דרך המרכז: זוויות, דמיון, משפט המשיק והחותך ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
נתון מעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שלושה ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, הישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C…
משיק וחותך מנקודה חיצונית: משפט הקוסינוסים, זהות וזוויות מיחס רדיוסים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $R$ . מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בנקודה B כמתואר בסרטוט. נסמן:…
בעיית קיצון טריגונומטרית: סכר דרך פינה של תעלות · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 8
תעלת מים ראשית ברוחב קבוע $a$ מחוברת בניצב לתעלה משנית ברוחב קבוע $b$ . הנקודה $C$ היא נקודת המפגש בין דופן של התעלה הראשית ובין דופן של התעלה המשנית (ראו…
בעיית קיצון טריגונומטרית: הפרש קטעים במלבן ובמשולש ישר זווית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 8
הנקודה E היא אמצע הקטע AB. על הקטע AB בונים מלבן ABCD ומשולש ישר זווית AFB, $\angle AFB=90^\circ$ , כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle FAB=2x$ , $\angle ECB=x$ . נסמן את…
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במרובע חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $4+13+\ldots+\frac{5n^2+3n}{2}=\frac{n(n+1)(5n+7)}{6}$ .
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $BD$ ו- $AE$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $BP=3\cdot PD$ . נסמן: $AB=k$ ,…
משולש ישר זווית ומשולש צמוד: משפט הקוסינוסים, מעגל חסום ומרחק בין מרכזי המעגלים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC ( $\angle ABC=90^\circ$ ). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש-AC הוא חוצה זווית BAD. נסמן: $\angle CAB=\alpha$ , $AB=k$ .
משיקים למעגל מנקודה: הבעת צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר בסרטוט. נתון:…
משולש שווה-שוקיים ואנכים מנקודה על הבסיס: סכום שטחים, $sin 2 α$ ומעגל חוסם · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם משולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $BC$ כך ש- $BE=3\cdot EC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ כך ש- $ED$ מאונך ל- $AC$ .…
משיקים וקוטר במעגל: זוויות, אורך משיק ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . ידוע כי: $AF$ הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . הנקודה $E$ היא נקודת החיתוך של המשיק למעגל ב- $F$ עם…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

טריגונומטריה: מרחק המצוף משתי זוויות (שאלה מלאה · קלה)
נוי וטל עומדות על החוף בנקודות $A$ ו- $B$ , שהמרחק ביניהן $200$ מטרים. מצוף נמצא בים בנקודה $C$ . הנקודה $D$ …
בניין ואנטנה: שתי זוויות ראייה מאותה נקודה (שאלה מלאה · קלה)
נועה עומדת בנקודה A, במרחק לא ידוע מבניין. הבסיס של הבניין בנקודה B וראש הבניין בנקודה C. על גג הבניין מוצבת…
טריגונומטריה בטרפז: גשר להולכי רגל - הבסיס העליון מתוך זוויות, ומתי הטרפז נעלם (שאלה מלאה · קלה)
גשר להולכי רגל מעל כביש בנוי בצורת טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ), כמתואר בסרטוט. הולכי הרגל עולים ברמפה $AD$ ,…
טרפז ישר זווית: מהדרישה אל אורך הקורה (שאלה מלאה · קלה)
מתכננים מתקן שצורתו טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $BC\parallel AD$ , $\angle BCD=90^\circ$ ). הצלע $AD$ על הקרקע, $BE$ …
טריגונומטריה: גובה פנס על מגדל טיפוס משתי נקודות תצפית (שאלה מלאה · קלה)
מגדל טיפוס בגן שעשועים בנוי משתי רגליים שוות באורכן, $DB$ ו- $CB$ , הנפגשות בקודקוד $B$ . מעל $B$ מותקן מוט אנכי…
טריגונומטריה: גובה רחפן משתי זוויות עומק ומרחק ידוע (שאלה מלאה · קלה)
רחפן $D$ מרחף בגובה $h$ מטר מעל הנקודה $C$ שעל הקרקע. מהרחפן רואים שני סלעים, $A$ ו- $B$ , שנמצאים על קו ישר אחד…
הגדרת משיק: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (שאלה קצרה · קלה)
$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הקטע $PO$ חותך את המעגל בנקודה $C$ . נתון: $\angle APO=30^\circ$ .
נפח פירמידה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה הריבוע $ABCD$ , שאורך צלעו $6$ ס"מ. הזווית בין המקצוע הצדדי $SA$ לבין אלכסון…
בעיות יישומיות בסכום אינסופי (שאלה קצרה · בינונית)
נתון משולש שווה-צלעות $ABC$ שאורך צלעו $12$ ס"מ. מורידים את הגובה $AM$ לצלע $BC$ . מהנקודה $M$ מורידים אנך לצלע…