שאלות פתוחות: צורות המתפרקות למשולשים ישרי-זווית: טרפז, משולש שווה-שוקיים ומעוין - כיתה י"א 5 יח"ל

חשבו את אורך הקטע $CO$.

חשבו את אורך השוק $AC$.

מצאו את גודל הזווית $COB$, וחשבו את אורך הקטע $CK$.

הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $CB$, ושטח המשולש $CKE$ הוא 2.

חשבו את אורך הקטע $BE$.

נתון כי אורך הקטע $BO$ גדול פי $\frac73$ מאורך הקטע $AO$.

מצאו את $\sin\alpha$ ואת $\alpha$.

מצאו את הערך של $r$.

הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $CB$. נתון כי שטח המשולש $CKE$ הוא 2.

חשבו את אורך הקטע $BE$.

הביעו באמצעות $\alpha$ את זוויות הטרפז, ובאמצעות $k$ ו-$\alpha$ את אורך הבסיס $DC$.

מצאו את כל הערכים של $\alpha$ שבעבורם המשכי השוקיים $DA$ ו-$CB$, מעבר לנקודות $A$ ו-$B$, נחתכים.

הביעו באמצעות $k$ ו-$\alpha$ את הרדיוס $r$ של המעגל החסום במשולש $EDC$.

נתון כי $r=\frac{k}{2}$. מצאו את $\alpha$.

הסבירו מדוע $\angle ACD=\alpha$, והראו כי $AC=13\cos\alpha$. (היעזרו בגובה $BM$ לצלע $AC$ במשולש $ABC$.)

נתון: $DC=13$, $AD=5$.

מצאו את $\alpha$.

הראו כי המשולש $ACD$ ישר-זווית, ומצאו את גודל הזווית $ADC$.

מצאו את הרדיוס של המעגל החסום במשולש $ACD$.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ($BC\parallel AD$) וטרפז BCDE ($CD\parallel BE$). הנקודה M היא נקודת החיתוך של הצלעות AD ו-BE. נתון: $ED=AB$, $ED\perp AD$, $AB\perp BM$. אורך הקטע AM גדול פי 3 מאורך הקטע DM. נסמן: $\angle EMD=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^n(x-1)^2$ ו-$g(x)=x^n(x+1)^2$, המוגדרות לכל $x$. $n$ הוא פרמטר טבעי גדול מ-1. כל אחד מן הגרפים I-IV לפניכם מייצג אחת מן הפונקציות בעבור $n$ זוגי או $n$ אי-זוגי.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. בסרטוט מצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

מצאו את תחום הערכים האפשריים של $\alpha$. נמקו.

הביעו באמצעות $\alpha$ את היחס $\frac{AB}{DC}$.

נתון: $AB:DC=1:5$. מצאו את $\alpha$.

הביעו את שטח הטרפז באמצעות $r$. מה ניתן לומר על השטח כאשר $\alpha$ משתנה?

הביעו באמצעות $k$ ו-$\alpha$ את אורכי הקטעים $ME$, $BM$, $DE$ ו-$DC$.

הראו כי סכום שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא $\frac54k^2\sin2\alpha$.

נתון כי סכום שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא $1.1k^2$.

מצאו את הערך של $\alpha$.

נתון: $k=3$.

הסבירו מדוע $AE$ הוא קוטר במעגל החוסם את המשולש $AED$, ומצאו את רדיוס המעגל. היעזרו בגובה $AH$ לבסיס $BC$.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac{3}{1\cdot2\cdot2}+\frac{4}{2\cdot3\cdot2^2}+\frac{5}{3\cdot4\cdot2^3}+\ldots+\frac{n+2}{n(n+1)\cdot2^n}=1-\frac{1}{(n+1)\cdot2^n}$

בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCD ($AD\parallel BC$, $\angle BAD=\angle ABC=90^\circ$). האלכסון BD מאונך לשוק CD. אורך השוק CD גדול פי 1.5 מאורך הבסיס AD. נסמן: $\angle ADB=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^n(x-1)(x+2)$ ו-$g(x)=x^n(x+1)(x-2)$, המוגדרות לכל $x$. $n$ הוא פרמטר טבעי גדול מ-1. כל אחד מן הגרפים I-IV לפניכם מייצג אחת מן הפונקציות בעבור $n$ זוגי או $n$ אי-זוגי.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. בסרטוט מצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

הראו כי $BD=2k\sin\alpha$.

הראו כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD הוא $\frac{k}{2\cos\alpha}$, והביעו באמצעות $k$ ו-$\alpha$ את רדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB.

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD גדול פי $\sqrt2$ מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB.

מצאו את $\alpha$. היעזרו בזהות $\sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha$.

נתון: $k=6$.

מצאו את שטח הדלתון ABCD.

הראו כי $AC=2k\cdot\cos\alpha$.

נתון: $DC=1.6k$, $AD=1.1k$.

מצאו את הערך של $\alpha$.

מצאו את גודל הזווית $ADC$.

המשכי הצלעות $DA$ ו-$CB$ נחתכים בנקודה $E$. נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש $EDC$ הוא 10.

מצאו את הערך של $k$.