שאלות פתוחות: הבעת נפח או שטח באמצעות נעלם ומציאת ממד חסר - כיתה י"ב 3 יח"ל

הבעת נפח או שטח בעזרת נעלם ומציאת ממד חסר, לכיתה י"ב 3 יחידות. בשאלות מסמנים ממד ב-x ובונים משוואה: קופסת אחסון שהיחס בין מקצועותיה 1:2:3 ושטח הפנים שלה ידוע, מכולה שאורכה גדול פי 4 מרוחבה, ומאגר מים גלילי שנתונים בו הנפח ושטח הדופן. יש גם נרות בצורת גליל וחרוט עם אותה כמות שעווה, וקופסאות בצורת תיבה ופירמידה עם בסיס משותף. רוב השאלות ברמה בינונית וקשה, ויש גם קלה. בחרו מהן שאלות למבחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים.

39 שאלותקלה: 3בינונית: 21קשה: 15

שאלה 1 · תיבה ופירמידה עם אותו בסיס ואותו גובהשאלה מלאה · קלה

קופסאות שי מיוצרות בשתי צורות: תיבה ופירמידה הפוכה. לשתיהן פתח זהה בצורת ריבוע שאורך צלעו 9 ס"מ, וגובה כל אחת מהן הוא 10 ס"מ.
KLMNSABCDEFGH

א.

חשבו את נפח הקופסה בצורת תיבה.

ב.

חשבו את נפח הקופסה בצורת פירמידה.

ג.

פי כמה גדול נפח הקופסה בצורת תיבה מנפח הקופסה בצורת פירמידה? הסבירו מדוע התשובה הייתה זהה לכל תיבה ופירמידה שיש להן אותו בסיס ואותו גובה.

ד.

מילאו 20 קופסאות בצורת תיבה ועוד כמה קופסאות בצורת פירמידה. הנפח הכולל של כל הקופסאות שמולאו הוא 20,250 סמ"ק.

כמה קופסאות בצורת פירמידה מולאו?

שאלה 2 · הבעת נפח או שטח באמצעות נעלם ומציאת ממד חסרשאלה קצרה · בינונית

קופסת אחסון סגורה היא בצורת תיבה. היחס בין אורכי שלושת המקצועות שלה (אורך, רוחב וגובה) הוא 1:2:31:2:31:2:3, ושטח הפנים שלה (כולל המכסה) הוא 198198198 סמ"ר.

א.

מצאו את אורכי המקצועות של הקופסה.

ב.

חשבו את נפח הקופסה.

שאלה 3 · נרות: ממד מיחס, מארזים, ציפוי ושינוי ממדיםשאלה מלאה · קשה

נויה מכינה נרות בשני סוגים של תבניות: נר מסוג א' בצורת קובייה, ונר מסוג ב' בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע.
אורך צלע הבסיס של הפירמידה שווה לאורך מקצוע הקובייה, וגובה הפירמידה גדול פי 1.5 מאורך מקצוע הקובייה.
הנפח של נר מסוג ב' הוא 256 סמ"ק.
A1A2A3A4A5A6A7A8B1B2B3B4TOנר א'נר ב'

א.

מצאו את אורך מקצוע הקובייה.

ב.

בכל מארז שמים נר אחד מכל סוג. לנויה יש 5,000 סמ"ק שעווה.

כמה מארזים יכולה נויה להכין, וכמה שעווה תישאר לה?

ג.

את ארבע הפאות הצדדיות של כל נר מסוג ב' שבמארזים מצפים בנייר זהב. כמה סמ"ר נייר זהב דרושים לכל המארזים יחד?

ד.

נויה החליטה להגדיל את מקצוע הקובייה ב-10%, ולשמור על הקשר בין מידות הפירמידה למקצוע הקובייה.

כמה מארזים תוכל נויה להכין עכשיו מ-5,000 סמ"ק שעווה?

שאלה 4 · תיבה ופירמידה עם אותו בסיס: קופסאות תהשאלה מלאה · קלה

בחנות תה יש שני סוגים של קופסאות.
קופסה מסוג א' היא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. קופסה מסוג ב' היא בצורת פירמידה ישרה שבסיסה זהה לבסיס של קופסה מסוג א' (ראו סרטוט).
אורך צלע הבסיס הוא 5 ס"מ. הגובה של קופסה מסוג א' הוא 8 ס"מ.
ABCDEFGHKLMNTקופסה מסוג א'קופסה מסוג ב'

א.

מהו הנפח של קופסה מסוג א'?

ב.

הנפח של קופסה מסוג ב' הוא 75 סמ"ק. מהו הגובה של קופסה מסוג ב'?

ג.

בכל קופסה ממלאים תה עד 80% מנפח הקופסה. מהו נפח התה בכל קופסה מכל סוג?

ד.

בחנות כל הקופסאות מלאות עד 80% מנפחן. מספר הקופסאות מסוג ב' גדול ב-4 ממספר הקופסאות מסוג א', ונפח התה בכל הקופסאות יחד הוא 2,440 סמ"ק. סמנו ב-nnn את מספר הקופסאות מסוג א', ומצאו כמה קופסאות מסוג א' יש בחנות.

שאלה 5 · הבעת נפח או שטח באמצעות נעלם ומציאת ממד חסרשאלה קצרה · בינונית

מאגר מים של יישוב הוא בצורת גליל ישר. נפח המאגר 486π486\pi486π מ"ק, ושטח הדופן שלו (שטח המעטפת) 108π108\pi108π מ"ר.

א.

מצאו את רדיוס הבסיס ואת הגובה של המאגר.

ב.

המאגר סגור מלמעלה במכסה. חשבו את שטח הפנים הכולל של המאגר (דופן, רצפה ומכסה).

שאלה 6 · תיבה ופירמידה עם אותו בסיס: יחס הנפחים וגובה הפאהשאלה מלאה · קשה

בחנות יש שני סוגים של קופסאות.
קופסה מסוג א' היא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. קופסה מסוג ב' היא בצורת פירמידה ישרה שבסיסה זהה לבסיס של קופסה מסוג א' (ראו סרטוט).
הגובה של קופסה מסוג ב' גדול פי 1.5 מהגובה של קופסה מסוג א'.
ABCDEFGHKLMNTקופסה מסוג א'קופסה מסוג ב'

א.

פי כמה גדול הנפח של קופסה מסוג א' מהנפח של קופסה מסוג ב'? נמקו.

ב.

נתון: אורך צלע הבסיס הוא 6 ס"מ, והנפח של קופסה מסוג א' גדול ב-180 סמ"ק מהנפח של קופסה מסוג ב'.

מצאו את הגובה של קופסה מסוג א' ואת הגובה של קופסה מסוג ב'.

ג.

מצאו את גובה הפאה הצדדית של קופסה מסוג ב' (הגובה של פאה צדדית לצלע הבסיס).

ד.

בחנות יש 30 קופסאות משני הסוגים. כל קופסה מסוג א' מולאה עד 75% מנפחה, וכל קופסה מסוג ב' מולאה עד הסוף. נפח החומר בכל הקופסאות יחד הוא 6,480 סמ"ק.

כמה קופסאות מכל סוג יש בחנות?

שאלה 7 · הבעת נפח או שטח באמצעות נעלם ומציאת ממד חסרשאלה קצרה · קלה

מכולה היא בצורת תיבה שגובהה 1.5 מטרים. אורך הבסיס של המכולה גדול פי 4 מרוחבו. נפח המכולה הוא 54 מ"ק.

מצאו את אורך הבסיס ואת רוחבו.

שאלה 8 · הבעת נפח או שטח באמצעות נעלם ומציאת ממד חסרשאלה קצרה · בינונית

במפעל נרות מייצרים שני סוגי נרות: נר בצורת גליל ונר בצורת חרוט. בשני הנרות יש אותה כמות שעווה (הנפחים שלהם שווים). לשני הנרות אותו רדיוס בסיס, 444 ס"מ, וגובה הנר החרוטי גדול ב-121212 ס"מ מגובה הנר הגלילי.

מצאו את הגובה של כל אחד מן הנרות.

שאלה 9 · גופים: ארגזים בעלי נפח שונה ושטח פנים שווהשאלה מלאה · קשה

חברת הובלות משתמשת בשני סוגים של ארגזי קרטון, A ו-B. כל הארגזים הם תיבות שבסיסן מלבן.
ממדי ארגז A: בסיס של 30 ס"מ על 20 ס"מ, וגובה 8 ס"מ.
בארגז B: אורך אחת מצלעות הבסיס הוא xxx ס"מ, אורך הצלע האחרת גדול ב-5 ס"מ מ-xxx, והגובה 20 ס"מ.
הנפח של ארגז B גדול ב-25% מהנפח של ארגז A.
כמות הקרטון הדרושה לארגז שווה לשטח הפנים שלו.
ארגז A30208ABCDEFGK
ארגז Bx+5x20ABCDEFGK

א.

מצאו את xxx.

ב.

לאיזה ארגז דרוש יותר קרטון? נמקו.

ג.

החברה רוצה להנמיך את ארגז B (בלי לשנות את הבסיס) כך שהנפח שלו יהיה שווה לנפח של ארגז A.

בכמה אחוזים צריך להקטין את הגובה של ארגז B? לאיזה ארגז יידרש אז יותר קרטון?

שאלה 10 · הבעת נפח או שטח באמצעות נעלם ומציאת ממד חסרשאלה קצרה · בינונית

רינה מכינה קישוט מקרטון בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע (ראו סרטוט). גובה הפירמידה שווה לאורך צלע הבסיס, ונפח הפירמידה 727272 סמ"ק.

א.

מצאו את אורך צלע הבסיס של הפירמידה.

ב.

את ארבע הפאות הצדדיות של הפירמידה (בלי הבסיס) רינה מצפה בנייר כסף. חשבו כמה סמ"ר נייר כסף דרושים.

עוד 24 שאלות על הבעת נפח או שטח באמצעות נעלם ומציאת ממד חסר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פירמידה וחרוט: מהשטח לגובה ומהנפח לרדיוס (שאלה מלאה · קשה)
נר בצורת פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה ריבוע $ABCD$ (ראו סרטוט). אורך צלע הבסיס הוא 14 ס"מ. על אחת הפאות הצדדיות הודבקה תווית המכסה אותה…
הבעת נפח או שטח באמצעות נעלם ומציאת ממד חסר (שאלה קצרה · בינונית)
קופסת עוגיות היא בצורת גליל, שבו הגובה שווה לקוטר הבסיס (ראו איור). נסמן ב- $x$ את אורך הקוטר בס"מ.
גופים במרחב: חיתוך לקוביות - צלע הקובייה כפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
עוגה נאפתה בתבנית בצורת תיבה שצלעות הבסיס שלה 30 ס"מ ו-18 ס"מ, וגובהה 6 ס"מ. העוגה ממלאת את כל התבנית. את העוגה חותכים לקוביות זהות שאורך…
תבניות נרות בצורת תיבה ופירמידה: נפחים, גובה ומספר נרות (שאלה מלאה · בינונית)
יצרנית נרות יוצקת שעווה לשני סוגים של תבניות: תבנית בצורת תיבה ותבנית בצורת פירמידה הפוכה. לשתי התבניות יש פתח זהה בצורת ריבוע (ראו סרטוט).…
גופים במרחב: מקפיא וקופסאות - ממדים לא ידועים (שאלה מלאה · קשה)
מקפיא הוא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. גובה המקפיא גדול פי 1.6 מאורך צלע הבסיס, ונפחו $345{,}600$ סמ"ק.
תיבה ופירמידה עם אותו בסיס: בקבוקי שמן (שאלה מלאה · בינונית)
בחנות לשמן זית יש שני סוגים של בקבוקים. בקבוק מסוג א' הוא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. בקבוק מסוג ב' הוא בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע (ראו…
גופים במרחב: מכל של דוד מים בתוך ארון (שאלה מלאה · קשה)
חברה מייצרת דודי מים חמים. הדוד הוא מכל בצורת גליל העומד על בסיסו, בתוך ארון בצורת תיבה. בסיס הארון הוא מלבן שמידותיו $70\times60$ ס"מ, ושטח…
הבעת נפח או שטח באמצעות נעלם ומציאת ממד חסר (שאלה קצרה · בינונית)
בגן משחקים יש ארגזי חול משני סוגים: ארגז בצורת קובייה שאורך מקצועה 5 דצ"מ, וארגז בצורת תיבה שממדיה 4 דצ"מ, 5 דצ"מ ו-6 דצ"מ. כל ארגז מלא בחול…
גופים במרחב: חרוט ופירמידה עם נפח שווה (שאלה מלאה · קשה)
במפעל מייצרים נרות שעווה מסוג א', שצורתם פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע. אורך צלע הבסיס של נר כזה הוא 8 ס"מ וגובהו 9 ס"מ. המפעל מתכנן נר חדש מסוג…
גופים: נפח ושטח פנים של קופסה כחולה וקופסה ירוקה (שאלה מלאה · בינונית)
בחנות מוכרים קופסאות כחולות וקופסאות ירוקות. כל הקופסאות הן תיבות שבסיסן הוא מלבן. נתון: אורך אחת מצלעות הבסיס של קופסה כחולה הוא 24 ס"מ,…
גופים במרחב: משפכים בצורת חרוט (שאלה מלאה · קשה)
במפעל מייצרים משפכים גדולים מפח בצורת מעטפת של חרוט (בלי בסיס). הגובה של כל משפך הוא 40 ס"מ, והקו היוצר שלו ארוך ב-20 ס"מ מרדיוס הבסיס שלו.
הבעת נפח או שטח באמצעות נעלם ומציאת ממד חסר (שאלה קצרה · בינונית)
אקווריום בצורת תיבה. אורך הבסיס 60 ס"מ, רוחב הבסיס $x$ ס"מ, והגובה שווה למחצית הרוחב. נפח האקווריום 48,000 סמ"ק.
מילוי מיכל בדליים גליליים: גובה המים ורדיוס מינימלי (שאלה מלאה · קשה)
מיכל בצורת תיבה: בסיסו מלבן שמידותיו $80$ ס"מ על $60$ ס"מ, וגובהו $75$ ס"מ. המיכל ריק. שופכים לתוכו מים בעזרת דלי בצורת גליל, שרדיוס בסיסו…
פירמידה וחרוט: ערכות נרות שעווה (שאלה מלאה · בינונית)
דנה יוצקת נרות שעווה בצורת פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה ריבוע $ABCD$ (ראו סרטוט). נתון כי אורך צלע הבסיס הוא 10 ס"מ וגובה הפירמידה $SO$ הוא…
גליל שגובהו כקוטרו: רדיוס מנפח ויחסי נפחים (שאלה מלאה · קשה)
מפעל מייצר אריזה לסוכריות בצורת גליל שגובהו שווה לקוטר הבסיס שלו. נפח האריזה שווה לנפח של קובייה שאורך המקצוע שלה 10 ס"מ.
תיבה בהקשר: בריכות גידול בחוות דגים (שאלה מלאה · בינונית)
בחוות דגים יש שתי בריכות גידול: בריכה גדולה ובריכה קטנה. כל בריכה היא בצורת תיבה שבסיסה מלבן (ראו סרטוט). נתון כי אורכי צלעות הבסיס של…
גליל: ממד חסר מתוך יחס נפחים ומחיר (שאלה מלאה · קשה)
בחנות נמכרות צנצנות ריבה שצורתן גליל. לצנצנת הנמוכה קוטר בסיס 12 ס"מ וגובה 8 ס"מ, והיא עולה 30 ₪. לצנצנת הגבוהה קוטר בסיס 6 ס"מ, והיא מכילה…
בריכה בצורת תיבה: נפח, שטח הבסיס, שטח הקירות, עלויות וגובה הדלי (שאלה מלאה · בינונית)
בחצר בית בונים בריכה בצורת תיבה. אורך הבריכה הוא 5 מטר, רוחב הבריכה הוא 4 מטר ועומק הבריכה הוא 1.2 מטר.
אקווריום: ממדים מתוך עלויות, נפח בליטרים ומילוי בכד (שאלה מלאה · קשה)
אקווריום בצורת תיבה, פתוח מלמעלה, עשוי זכוכית. אורך האקווריום גדול פי 2 מרוחבו. מחיר 1 מ"ר זכוכית הוא 240 שקלים. הזכוכית לתחתית האקווריום…
בריכת נוי בצורת תיבה: נפח, שטח הבסיס, שטח הדפנות, עלויות ומקצוע הדלי (שאלה מלאה · בינונית)
בגינה בונים בריכת נוי בצורת תיבה. אורך הבריכה הוא 3 מטר, רוחב הבריכה הוא 2 מטר ועומק הבריכה הוא 0.9 מטר.
משפך בצורת חרוט: רדיוס הבסיס כשהקו היוצר ארוך ב-20 ס"מ מהרדיוס (שאלה קצרה · קשה)
במפעל מייצרים משפכים גדולים מפח בצורת מעטפת של חרוט (בלי בסיס). הגובה של כל משפך הוא 40 ס"מ, והקו היוצר שלו ארוך ב-20 ס"מ מרדיוס הבסיס שלו.
מקפיא בבסיס ריבועי: צלע הבסיס והגובה מתוך הנפח (שאלה קצרה · בינונית)
מקפיא הוא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. גובה המקפיא גדול פי 1.6 מאורך צלע הבסיס, ונפחו $345{,}600$ סמ"ק.
חיתוך עוגה לקוביות: מספר הקוביות והשטח המצופה כביטוי בצלע (שאלת ביניים · קשה)
עוגה נאפתה בתבנית בצורת תיבה שצלעות הבסיס שלה 30 ס"מ ו-18 ס"מ, וגובהה 6 ס"מ. העוגה ממלאת את כל התבנית. את העוגה חותכים לקוביות זהות שאורך…
תיבה ופירמידה עם אותו בסיס: יחס הנפחים, הגבהים ומספר הקופסאות (שאלת ביניים · בינונית)
בחנות יש שני סוגים של קופסאות. קופסה מסוג א' היא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. קופסה מסוג ב' היא בצורת פירמידה ישרה שבסיסה זהה לבסיס של קופסה…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

תיבה ופירמידה עם פתח זהה: נפחים, גובה ומספר קופסאות · בגרות 372 חורף 2022, שאלה 4
בבית ספר מסוים הוחלט לארגן לתלמידים יום גיבוש שבו יוקרן סרט ויחולק פופקורן. בשיעור אומנות התבקשו התלמידים להכין שני סוגים של קופסאות לפופקורן: סוג אחד בצורת…
תיבה ופירמידה עם אותו בסיס: מלחיות · בגרות 372 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
במסעדה יש שני סוגים של מלחיות. מלחייה מסוג א' היא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. מלחייה מסוג ב' היא בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע (ראו סרטוט). הבסיס של מלחייה מסוג…
גופים: נפח ושטח פנים של קופסה לבנה וקופסה אפורה · בגרות 372 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
בחנות כלי בית מוכרים קופסאות לבנות וקופסאות אפורות. כל הקופסאות הן תיבות שבסיסן הוא מלבן. נתון: אורך אחת מצלעות הבסיס של קופסה לבנה הוא 12 ס"מ, ואורך הצלע האחרת…
פירמידה וחרוט: ממתקי שוקולד · בגרות 372 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5
רינה מכינה ממתקי שוקולד בצורת פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה ריבוע $ABCD$ (ראו סרטוט). נתון כי אורך צלע הבסיס הוא 4 ס"מ וגובה הפירמידה $SO$ הוא 3.75 ס"מ.
תיבה בהקשר: בריכת מבוגרים ובריכת ילדים · בגרות 372 חורף 2024, שאלה 5
במרכז ספורט יש שתי בריכות: בריכת מבוגרים ובריכת ילדים. כל בריכה היא בצורת תיבה שבסיסה מלבן (ראו סרטוט). נתון כי אורכי צלעות הבסיס של בריכת המבוגרים הם 25 מטרים…